圆锥曲线：双曲线中的定点问题、双曲线中的定值问题、双曲线中的定直线问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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例1．（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为，右顶点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设，是轴上的两个动点，以线段为直径的圆过双曲线的焦点，直线，与双曲线的另一个交点分别为，．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）与圆相离，理由见解析.
【详解】（1）由题意，，则，所以双曲线的标准方程为．
（2）（ⅰ）设点，的坐标分别为，，
由题意得：，
又设直线，的斜率为，，所以．

当直线的斜率不存在时，设：（），联立双曲线方程得点，的坐标为，
则，得或2（舍）．
当直线的斜率存在时，设：，联立，消得：
，所以．
设，，由韦达定理得：，，
所以，
代入韦达定理得：，所以或（舍），
则：，综上直线过定点．
（ⅱ）因为，，所以，
设，则，所以，即．
故到直线：的距离．
又圆的半径．
显然，所以直线与圆相离．
例2．（2026·山东济南·一模）已知双曲线的实轴长为4，且经过点.
(1)求的方程；
(2)记的右顶点为，点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在第一象限），点满足，设直线与的另一个交点为.
（i）用表示直线的斜率；
（ii）证明直线过定点.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）由题意可知，
解得，
故的方程为.
（2）（i）因为，所以直线方程为，
由于，故，
因为，所以，
所以.
（ii）由（i）可知，
即.
由题意可知，直线的斜率显然存在，
设直线，联立，消得
，
，
，
所以，
所以直线，
所以直线过定点.
例3．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以.
又因为双曲线经过点，所以，解得.
所以双曲线的方程为：.
（2）由题意得，故，
过的直线分别交双曲线于A，B两点，故过的直线斜率不为0，
设过的直线方程为，
联立，得，
则，
所以，
因为，

故直线BD的斜率为，直线BD方程为，
由对称性分析可知直线BD过的定点在轴上，
故中，令得
，
又，
将其代入上式中得，，
故直线BD过定点.
变式1．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知双曲线的左焦点为，C的一条渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)已知动点，满足．
（ⅰ）若的外接圆与C在第一象限内的交点为M，直线BM与x轴交于点N，设的面积为，的面积为，求；
（ⅱ）记C的左顶点为A，若直线AB，AD与C的左支的另一交点分别为E，H，证明：直线EH恒过定点．
【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【详解】（1）由焦点坐标知且，又，可得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）由，且，则，故，即，
（i）由题意，的外接圆以为直径，则方程为，
所以，则，
设，则，所以，
整理得，即，
而，则，故，即，
所以直线，即，
令，则，且，
所以，，
所以；
（ii）由（1），则，且，
联立，可得，可得，
所以，可得（舍），
所以，即，同理得，
所以
，
所以，则，
所以，显然直线恒过定点.
变式2．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且过点.设，分别是的左、右顶点，，是的右支上异于点的两点.
(1)求的方程；
(2)若直线经过的右焦点，且斜率为2，求的面积；
(3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析，恒过定点.
【详解】（1）由题意得，又，解得，
所以的方程为.
（2）由题意，直线的方程为，
设，，由，得，
所以，.
则，
点到直线的距离为，
所以的面积为.
（3）
方法一:由题意得，的斜率不为0，
设为，，.
由，得，
所以，且，.
因为，，，
所以.
又，即，所以，
即，
整理得，
所以，
化简得，解得或3.
当时，的方程为，此时过点，不合题意，
当时，的方程为，此时过点，符合题意，
所以恒过定点.
方法二:由题意得，的斜率不为0，
设为，，.
由，得，
所以，且，.
又，即，
整理得，
即，
所以，
整理得，解得或，
当，，
此时，不符合，
所以，此时的方程为，所以恒过定点.
变式3．（25-26高二上·四川巴中·期末）已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，．
(1)求的方程；
(2)过点作直线的垂线，垂足为．
①证明：直线过定点；
②求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）由轴时，，可令，
代入双曲线得，又因为，
解得，
则所求方程为；
（2）①设，则，由（1）知，
由斜率不为0，可设，
联立双曲线并整理得，
则，，
所以，
由，直线，
根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，
令，则，解得，
因为，所以，
而，所以，则，
所以过定点；
②，
由①得，解得，
令，
则，
因为，所以，则，当时取等号，
所以的最小值为.
考点二 双曲线中的定值问题
例1．（25-26高二上·辽宁大连·月考）已知双曲线经过点，其一条渐近线斜率为．圆，点为第一象限上一点，点是的右顶点，点为上一点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且．
(1)求的曲线方程；
(2)求证：直线经过定点，并求出点的坐标；
(3)设的右焦点为，直线交于点，作点关于轴的对称点，连接，直线与交于点．在的渐近线上是否存在点，使得的面积为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)存在，或．
【详解】（1）根据一条渐近线的斜率为，可知该双曲线为等轴双曲线．
设，将代入得，解得．
双曲线的方程为．
（2）直线过定点．
已知直线的斜率为，直线的斜率为且，设的斜率为．
点在圆上，为直径，，即，
．
点在双曲线上，设，所以，
，即，，三点共线．
直线过定点，得证．

（3）设，，则．
直线，直线．
联立、整理得，
即，
即，
即．
设直线，则，
代入得
，
联立，消去整理得，
所以，
代入．
点的轨迹是定直线．
要使的面积为定值，
点为过点与轴平行的直线与两条渐近线的交点，
又双曲线的渐近线方程为，
由，解得或，所以或．

例2．（2026·四川遂宁·一模）已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为.
(1)求的方程和的方程；
(2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，
【详解】（1）因为直线与轴的交点为，所以点的坐标为，半焦距，
又双曲线的渐近线方程为，即，由点到直线的距离公式得到点到其中一条渐近线的距离为，所以，则，又，所以双曲线的方程为
又设为抛物线的焦点，则，如图，已知，为到准线的距离且为垂足，则，
当且仅当三点共线且在之间时等号成立，所以，解得，因为，所以，故抛物线的方程为

（2）假设存在常数满足条件，由（1）知，
设直线，
联立方程得，消去，整理可得，
所以，，
．
因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以．
此时，即，所以．
设，将代入抛物线方程，得，
则，
所以
．
所以．
故当时，为定值，所以，当时，为定值

例3．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)已知直线与双曲线相切.
①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值；
②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值.
【答案】(1)
(2)①是，；②是
【详解】（1）因为的虚轴长为，所以.
因为PF垂直于轴，所以，
因为为实半轴长和半焦距的等差中项，所以，
因为，所以，则，故，
所以双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线的方程为，
因为，所以直线与直线PF的交点，
直线与直线的交点，
由，得，
则，即.
①因为，且，
所以，所以，为定值.
②由得，同理可得，
所以.
因为原点到直线的距离，所以.
因为，所以，即的面积为定值.

变式1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知圆圆与圆均外切.
(1)求圆心的轨迹方程.
(2)过点的直线与的轨迹交于两点，过原点作直线，点为直线与点的轨迹的交点.
①当的斜率为时，求的值；
②当的斜率不为时，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）由题意可知，圆的圆心,半径，圆的圆心,半径,
由条件可得，即，
即根据双曲线的定义可知点是以为焦点，以为实轴长的双曲线的上支，
则,可得，
故圆心的轨迹方程为.
（2）显然直线的斜率存在.
①当斜率为时，可知直线方程为，代入双曲线方程可解得；
所以,则.
②证明：当的斜率不为0时，设直线的方程为，点如下图：
联立与双曲线的方程得，易知，
则
因为直线与双曲线交于上支两点，所以，
则.
设直线的方程为，联立与双曲线的方程得
∴可得.
故为定值.
变式2．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点记为，（点在点的左侧）．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与圆相切，且与曲线交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧）．记直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设圆，的交点为，则，，
因为，所以，
故点的轨迹（曲线）是以，为焦点的双曲线，
从而，，即，，
故曲线的方程为；
（2）设，，其中，
由条件，直线的斜率存在，设的方程为．
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，消去并整理得，
所以，
由条件，，即，
所以，
由题意知，，．
所以
即为定值．
变式3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线C：的焦距为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线C上任意一点，且的最小值是.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为，，直线：与C的右支交于M，N两点.
（i）求实数m的取值范围；
（ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）证明见解析
【详解】（1）设，
则，
所以，
因为在双曲线上，所以，所以，
所以，
又因为，所以当时，取得最小值为，所以，
因为，所以，又因为焦距为所以，即，
由，可得，所以双曲线的方程为.
（2）（i）设，
由，得：，
由直线与双曲线的右支交于两点，可得．
解得，所以的取值范围是；
（ii）双曲线的左右顶点，斜率，
故，代入，
得
由（i）可知，可得
代入，可得
即是定值．
考点三 双曲线中的定直线问题
例1．（25-26高三上·上海·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点，
(1)求双曲线的方程；
(2)过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值；
(3)若直线交于点，证明：在定直线上．
【答案】(1)
(2)24
(3)证明见解析
【详解】（1）因为双曲线的离心率，故，
而双曲线的渐近线为，故右焦点到渐近线的距离为，
而，故，
故双曲线的方程为：.
（2）显然直线与轴不垂直，设，
由双曲线的对称性知，结合，即四边形为平行四边形，
且为平行四边形的对角线中点，故，
联立，故，
由于均在双曲线右支，故，故，
而
，
令，则，
易知在上为减函数，则当时，，
综上，四边形的面积的最小值为
（3）证明：左顶点，右顶点，
设过的直线方程
直线的方程为，直线的方程为，
两式相除得，代入
计算：．
由（2）知，
注意到，代入得：，
因此，解得.
故交点的横坐标恒为，即在定直线上.
例2．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知双曲线的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)设的左、右顶点分别为，过点的直线与的右支交于P，Q两点，
（i）证明：直线与的交点在定直线上；
（ii）已知直线，记直线，与围成的三角形面积为，直线，与（i）中的定直线围成的三角形面积为，若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）或
【详解】（1）已知双曲线的离心率为，故，
，
点在曲线上，
，解得，故，
双曲线．
（2）（i）双曲线的左右顶点为，
设过点的直线，与双曲线右支交于，
联立直线与双曲线方程，整理得，
方程的判别式，
由韦达定理得，
直线的方程为，直线的方程为，
设直线与直线的交点为，则，
，展开整理得，

，
直线与的交点在定直线上；

（ii）设直线与的斜率为，则，
设与交点为，与交点为，
联立与，，解得，
故，同理可得，
，
，
，
，
定直线与的交点纵坐标为，
三角形顶点，到的距离，
，
，
，解得，故，
当时，方程为，
当时，方程为，
直线的方程为或．
例3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，四边形为矩形，且面积为．
(1)求四边形的外接圆方程；
(2)设，为的左、右顶点，直线过点与交于，两点（异于，），直线与交于点，证明：点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由双曲线的左、右焦点分别为，，
直线与的左、右两支分别交于，两点，且四边形为矩形，
所以，且，
由，解得或，
即，则，又，，
解得，，，
所以双曲线的方程为，
所以，，，，
所以的中点为，又，
所以矩形的外接圆的方程为.
（2）由（1）知，，
依题意知直线的斜率不为零，设直线为，，，
由，得.
当且，
所以，，
所以，
直线的方程为，直线的方程为，
联立两方程可得，所以，
，
所以，
解得，
故点在定直线上.
变式1．（25-26高三上·河南周口·月考）已知双曲线C：实轴的左、右端点分别为，，点在C上，且，的斜率之积为．
(1)求C的方程；
(2)已知直线l与C交于M，N两点（均与P不重合），与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，若，线段MN的中点为R，证明：点R在一条定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知，，
所以，解得，
又，所以，所以C的方程为．
（2）因为，所以，
又因为点M，N在直线的两侧，
所以直线PQ：是的平分线，
所以．
由题意可知直线l的斜率存在且斜率不是，
设直线l：，，，
联立，可得，
故，．
，
化简得，
故，
即，而直线l不过P点，故．
所以线段MN的中点R的坐标为，
所以点R恒在直线上．
变式2．（25-26高三上·重庆·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）因为渐近线方程为，所以，设双曲线为，
代入得，双曲线的标准力程为；
（2）法一、
设直线，联立双曲线得：，
，且；
设直线，联立双曲线得：，
，且；
所以
则
设，则，两式相除消得
所以在直线上；
法二、
设直线，
直线，
由于，即，
由于，即，
则.
设，则，两式相除消得
所以在直线上；

变式3．（25-26高二上·湖北·月考）双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点H在定直线上
【详解】（1）由，，
则，
所以，解得，，
所以双曲线的标准方程为．

（2）因为，设，则，
设，则有，
由，得，
即，可化为，
由，得，
即，可化为，
所以，
所以，
即，
所以点H在定直线上．
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