2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点32圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点32圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题(学生版+解析)，文件包含2026年高考数学复习举一反三训练全国通用重难点30圆锥曲线中的弦长问题与长度和差商积问题教师版docx、2026年高考数学复习举一反三训练全国通用重难点30圆锥曲线中的弦长问题与长度和差商积问题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30576" 【题型1 三角形面积问题】 PAGEREF _Tc30576 \h 2
\l "_Tc24675" 【题型2 四边形面积问题】 PAGEREF _Tc24675 \h 3
\l "_Tc17732" 【题型3 三角形面积之比问题】 PAGEREF _Tc17732 \h 4
\l "_Tc14968" 【题型4 三角形面积之和、之差问题】 PAGEREF _Tc14968 \h 5
\l "_Tc14280" 【题型5 已知面积求其他量】 PAGEREF _Tc14280 \h 6
\l "_Tc2608" 【题型6 三角形（四边形）面积的最值、范围问题】 PAGEREF _Tc2608 \h 7
\l "_Tc5599" 【题型7 三角形（四边形）面积的存在性问题】 PAGEREF _Tc5599 \h 8
1、圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题
圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题考查热度较高，考查形式多种多样，主要考查三角形、四边形的面积及其最值（范围）问题、面积之比问题、已知面积求其他量等问题，各种题型都有考查，在解答题中考查时，计算量较大，难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.
知识点1 圆锥曲线中的面积问题及其解题策略
1．三角形面积问题的解题策略
(1)利用三角形面积公式求解：
①(一般选弦长做底，点到直线的距离为高)；
②.
2．四边形面积问题的解题策略
面积的拆分：不规则的多边形的面积问题通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形.
3．三角形面积之比问题的解题策略
(1)三角形面积公式：利用三角形面积公式分别求出各个三角形的面积，再研究它们之间的比值问题.
(2)面积的关系的转化：寻找这些三角形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化.
知识点2 圆锥曲线中面积的最值（范围）问题
1．圆锥曲线中面积的最值（范围）问题的解题策略
一般都是利用三角形面积公式表示面积，然后将面积的关系式转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值(常用方法有：单调性法、换元法、基本不等式、三角函数求最值、利用导数求最值等)，在计算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活求解，简化计算.
【题型1 三角形面积问题】
【例1】（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C：x24+y23=1的焦点为F1，F2，椭圆C上有一点P处于第一象限，且PF1+PF2=15，则△PF1F2的面积为（ ）
A．12B．22C．32D．1
【变式1-1】（2025·河北·模拟预测）已知抛物线C:y2=2pxp>0，过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点（A在第一象限）且OA⋅OB=−34（O为坐标原点），则当AF=4FB时，△OAB的面积为（ ）
A．12B．58C．34D．78
【变式1-2】（2025·广西南宁·三模）已知双曲线C的中心为坐标原点O，且焦点在x轴上，点P(4,−3)在双曲线C上，其一条渐近线方程为3x+2y=0．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点Q(0,2)且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M、N两点，求△OMN的面积．
【变式1-3】（2025·北京东城·二模）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个顶点为A0,1.且过点1,32.
(1)求椭圆E的方程及焦距
(2)过点(0,2)的直线与椭圆E交于不同的两点B，C.直线AB,AC的斜率分别记为k1与k2，当k1+k2=23时，求△ABC的面积.
【题型2 四边形面积问题】
【例2】（2025·甘肃白银·三模）如图，抛物线E:y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交抛物线E于A,B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C,MN⊥y轴于点N，则四边形CMNF的面积等于（ ）
A．12B．8C．6D．7
【变式2-1】（24-25高三下·河北保定·开学考试）已知A是左、右焦点分别为F1,F2的椭圆E:x24+y23=1上异于左、右顶点的一点，C是线段AF1的中点，O是坐标原点，过F2作AF1的平行线交直线CO于B点，则四边形AF1BF2的面积的最大值为（ ）
A．2B．34C．334D．332
【变式2-2】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知直线l与双曲线C:x2−y2b2=1b>0交于A，B两点．
(1)若l过右焦点F，且AB的最小值为2，求b的取值范围；
(2)若b=1，且AB=4，过弦AB的中点P分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为M、N，求四边形OMPN的面积的最大值．
【变式2-3】（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2上下顶点分别为B1，B2，△B1F1F2是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆Γ于P、Q两点（P、Q分别在第一、四象限）.
(1)求椭圆Γ的离心率；
(2)已知点M0,m，m>0，求椭圆Γ上的动点R到点M的最大距离；
(3)求四边形B1B2QP面积的取值范围.
【题型3 三角形面积之比问题】
【例3】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m=（ ）
A．23B．23C．−23D．−23
【变式3-1】（2025·重庆·模拟预测）已知抛物线C: y2=4x的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点(A在x轴上方)，过点A、B作准线的垂线，垂足分别为A′、B′ 线段A′B′中点为E， 四边形AA′EF和四边形BB′EF的面积分别记为S1,S2，则S1S2=（ ）
A．3−22B．3−2C．3+2 D．3+22
【变式3-2】（2025·北京丰台·二模）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A−2,0，焦距为22．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为原点，过点A且斜率为k的直线l与椭圆E的另一个交点为T，线段AT的垂直平分线与x轴交于点M，与y轴交于点N．过点P1,0且与l平行的直线与y轴交于点Q．若△OMN与△NPQ的面积之比为4:3，求k的值．
【变式3-3】（2025·湖南永州·三模）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的虚轴长为2，离心率为233.
(1)求双曲线E的标准方程：
(2)过点M1,0的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点C2,3，直线BC与直线x=3交于点N.
（ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值：
（ⅱ）记S1，S2分别为△MBC，△ABN的面积，求S1S2的取值范围.
【题型4 三角形面积之和、之差问题】
【例4】（2025·湖南·二模）若椭圆x24+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y=−x+1与椭圆交于A，B两点，若点P为线段AB上的动点，则S△AF1P+S△BF2P的最小值为（ ）
A．43+15B．43−15C．43−15D．43+15
【变式4-1】（2025·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，F为抛物线C:y2=4x的焦点，直线l与C交于点A,B（点A在第一象限），若OA⋅OB=0，则△AOF与△AOB面积之和的最小值为（ ）
A．65B．75C．85D．95
【变式4-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线E的中心在原点，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为5，其离心率为32，记直线l从下到上与x轴、双曲线的右支、两条渐近线、双曲线的左支依次交于点P，A，B，C，D，如图所示：
(1)求双曲线E的方程；
(2)求证：AB=CD；
(3)若1PA，1PB，1PD成等差数列，问△OPA，△OCD的面积之和是否为定值?并说明理由.
【变式4-3】（2025·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为：x+32+y2=16，定点F3,0，B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T.
(1)求点T的轨迹W的方程；
(2)轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 k1，NQ的斜率为k2且k1=3k2，△MPQ与△NPQ的面积分别为S1，S2，求 S1−S2的最大值.
【题型5 已知面积求其他量】
【例5】（2025·全国·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为223，点A在椭圆E上，且AF1=2AF2，△AF1F2的面积为47，则椭圆E的焦距为（ ）
A．42B．82C．6D．12
【变式5-1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知倾斜角为2π3的直线l经过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，且与C交于不同的两点A,B，过A,B分别作直线y=−p2的垂线，垂足分别为M,N，若梯形AMNB的面积为48，则p=（ ）
A．1B．2C．3D．2
【变式5-2】（2025·江苏扬州·三模）已知A4,0和P2,2，直线AP与椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0切于点P.
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为42，求l的方程.
【变式5-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，点M为平面内一点，线段F1M的中点在该双曲线右支上，N在x轴上，F1N=2F1F2，|MF1|−|MN|=4，A2,3为双曲线C上一点．
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)已知过A的直线l交该双曲线于A，B，D0,3，△DAB的面积为6，求直线l的方程．
【题型6 三角形（四边形）面积的最值、范围问题】
【例6】（24-25高三下·湖北·开学考试）过抛物线C:y2=4x上的一点P作切线l，设l与x轴相交于点M,F为C的焦点，直线PF交C于另一点Q，则△PQM面积的最小值为（ ）
A．833B．4C．1639D．3
【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，直线l:y=kx+mk>0与双曲线x2−y29=1相交且只有一个交点，与椭圆x225+y216=1交于M，N两点，则△OMN面积的最大值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【变式6-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知点S(−1,0)，T是圆Q:(x−1)2+y2=16上的动点，线段ST的垂直平分线与直线QT交于点P.设点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C与x轴的正半轴交于点A，过x轴上不同于点A的点(t,0)作直线l与曲线C交于M，N两点.若使得△AMN的面积最大的直线l有两条，求t的取值范围，并用t表示△AMN面积的最大值.
【变式6-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，F1F2=25，且点F2到C的渐近线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)记C的左顶点为A，过点E(2,0)的直线l与C交于M,N两点（异于点A）．
（ⅰ）证明：直线AM,AN的斜率之积为定值；
（ⅱ）过点E分别作直线AM,AN垂线，垂足分别为P,Q，记△AEP，△AEQ的面积分别为S1,S2，求S1S2的最大值．
【题型7 三角形（四边形）面积的存在性问题】
【例7】（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知平面内一动点Px,y到点F1,0的距离与它到直线x=4的距离之比为12，过点F的直线l与动点P的轨迹C相交于A,B两点．
(1)求动点P的轨迹C的方程．
(2)是否存在直线l，使得△AOB的面积为3？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【变式7-1】（2025·江西·三模）已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，下顶点为M，离心率为12，且MF=2．
(1)求椭圆Γ的方程．
(2)已知过点F的动直线l与椭圆Γ交于A，B两点，且A，C关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OFBC的面积为94？若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】（2025·山东青岛·一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，短轴长为23，离心率为12.
(1)求C的方程；
(2)记C的左顶点为A，直线l与C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为−14.
（i）证明：直线l过定点；
（ii）若P在x轴上方，直线PF1与圆M:(x+1)2+y2=16交于点B，点B在x轴上方.是否存在点P，使得△PBF2与△QF1F2的面积之比为3：5？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由.
【变式7-3】（2025·福建福州·模拟预测）已知直线y=2x与抛物线Γ:y2=2px(p>0)交于G1，G2两点，且G1G2=5，过椭圆C:x24+y23=1的右顶点Q的直线l交于抛物线Γ于A，B两点.
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)若P为x=−2上一点，PA，PB与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积xM⋅xN是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由；
(3)若射线OA，OB分别与椭圆C交于点D，E，点O为原点，△ODE，△OAB的面积分别为S1，S2，问是否存在直线l使S2=3S1？若存在求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.
一、单选题
1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆C:x23+y2=1的右焦点为F，过点F作两条相互垂直的直线分别与C相交于A，B和P,Q，则四边形APBQ面积的最小值为（ ）
A．1B．32C．2D．52
2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C:x23−y2=1的左、右焦点为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m=（ ）
A．23B．23或6C．−6D．−6或−23
3．（2025·甘肃白银·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，准线为直线x=−3，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则△AOB面积的最小值为（ ）
A．24B．18C．16D．12
4．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知F1，F2是椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点，P是C上第一象限内一点，∠F1PF2的平分线l经过点M14,0，则△PF1F2的面积为（ ）
A．32B．2C．52D．3
5．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在直角坐标系xOy中，点P是双曲线x23−y2=1上任意一点，过点P所作的两条渐近线的平行线与渐近线的交点分别为A, B，则四边形OAPB的面积（ ）
A．为定值3B．最大值为3
C．为定值32D．最大值为32
6．（2025·云南·模拟预测）设O为坐标原点，直线l:y=kx+1与抛物线C:x2=4y交于A，B两点，与C的准线交于点M．若MA=2AB，点F为C的焦点，则△OAF与△OBF的面积之比为（ ）
A．25B．23C．34D．12
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆E：x22+y2=1的左焦点为F，过点P2,t分别作E的切线PA、PB，切点分别为A、B，则△ABF面积最大值为（ ）
A．2B．3C．2D．22
8．（2025·云南昆明·模拟预测）双曲线x2−y23=1的左､右焦点分别为F1,F2，过F1的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则S△AF1F2S△ABF2的取值范围是（ ）
A．(0,13)B．(0,12)C．(13,12)D．(12,+∞)
二、多选题
9．（2025·江苏·模拟预测）设抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，直线y=kx+1(k>0)与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，与x轴交于点C，AF=52,BF=4，则下列说法正确的是（ ）
A．y1y2=2B．p=4
C．AB=3217D．△AFB与△AFC的面积之比为3:1
10．（2025·江西新余·模拟预测）已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y23=1(a>0)的左、右焦点，M是该双曲线右支上一点，N在线段F1M上，ON=12OF1+OM,NF1⋅NO=0，离心率为72，则下列结论正确的为（ ）
A．实轴长为4B．NF1−NO=1
C．△F1MF2的面积为3D．MF1+MF2=210
11．（2025·湖北·三模）已知点Fc,0是椭圆C:x2a2+y28=1a>22的右焦点，点A，B分别是椭圆的左、右顶点，过点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，点P在第一象限，用kAP，kAQ，kBP分别表示直线AP，AQ，BP的斜率，kAPkAQ+kBP=−43，则（ ）．
A．kAPkBP=−34B．kAPkBQ=12
C．a=3D．△AFP面积的最大值为42
三、填空题
12．（2025·广东·一模）F1,F2分别为双曲线x2−y23=1的左、右焦点，A,C两点在双曲线上且关于原点对称（点A在第一象限），直线CF2与双曲线的另一个交点为点B，若AF1−BF2=6，则△ABC的面积为 ．
13．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆E:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2，经过点F1的直线与E相交于A,B两点，则△ABF2的面积的最大值为 ．
14．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点M3,0的直线l与抛物线相交于A，B两点，直线l与抛物线的准线相交于点N，若BF=3，则△BNF与△ANF的面积之比为 .
四、解答题
15．（2025·浙江金华·三模）双曲线C′:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，过左焦点F的直线l与双曲线的左支、右支分别交于点A,B，当直线l与y轴垂直时，AB=23.
(1)求双曲线C′的方程；
(2)点C12,0满足CB∥OA，其中O是坐标原点，求四边形OABC的面积.
16．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，已知直线l与抛物线y2=2pxp>0交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于点D1,1．
(1)求直线l的方程；
(2)求△OAB的面积．
17．（2025·天津·一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左顶点为A，上顶点为B,△OAB的面积为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P(0,−3)的动直线l与椭圆C交于不同的两点M,N（M在P,N之间），求S△OMNS△OPM的取值范围．
18．（2025·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为3,F1,F2分别是双曲线C的左､右焦点，过F2的直线l与双曲线C交于A,B两点，当直线l垂直于x轴时，AB=16.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若△ABF1的面积为4827，求直线l的方程.
19．（2025·河南信阳·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0过点1,22，焦距为2.
(1)求E的方程；
(2)若F1,0，过F作两条相互垂直的直线AB，CD与曲线E分别交于A，B，C，D四点，设线段AB，CD与的中点分别为M，N.
（i）证明：直线MN过定点；
（ii）求四边形ACBD面积的取值范围.