2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点35概率与统计的综合问题(学生版+解析)

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\l "_Tc23106" 【题型1 概率的综合问题】 PAGEREF _Tc23106 \h 3
\l "_Tc7259" 【题型2 二项分布与超几何分布的综合应用】 PAGEREF _Tc7259 \h 6
\l "_Tc26545" 【题型3 正态分布的综合问题】 PAGEREF _Tc26545 \h 10
\l "_Tc16001" 【题型4 概率与其它知识的交汇问题】 PAGEREF _Tc16001 \h 15
\l "_Tc1678" 【题型5 离散型随机变量与其他知识综合】 PAGEREF _Tc1678 \h 17
\l "_Tc9248" 【题型6 回归分析与其他知识综合】 PAGEREF _Tc9248 \h 23
\l "_Tc6319" 【题型7 独立性检验与其他知识综合】 PAGEREF _Tc6319 \h 28
\l "_Tc2016" 【题型8 概率、统计与数列的综合问题】 PAGEREF _Tc2016 \h 33
1、概率与统计的综合问题
概率与统计是历年高考的重点、热点内容，概率与统计专题相关的知识点错综复杂又环环相扣，往往多个知识点结合考查.从近几年的高考情况来看，题量通常为“两小一大”，选择题、填空题考查比较全面，侧重基础知识，难度不大；解答题重点考查概率统计主干知识，主要涉及古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、回归分析、独立性检验等内容，试题难度中等；复习时加强这部分内容的练习，灵活求解.
知识点1 概率问题及其解题策略
1．古典概型中基本事件的求解方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.
2．求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n( A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n( AB)，得.
3．利用全概率公式的解题思路
(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算.
知识点2 频率分布直方图中的数字特征
1．众数、中位数、平均数的应用要点
中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用.
2．频率分布直方图的数字特征
(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标；
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.
知识点3 离散型随机变量及其分布的解题策略
1．离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列；
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
2．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每个值的概率.
(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值的定义求E(ξ).
(5)由方差的定义求D(ξ).
知识点4 二项分布与超几何分布、正态分布的解题策略
1．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点：
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
2．超几何分布的应用
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.
超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
3．正态分布问题的解题策略
解决正态分布问题有三个关键点：
(1)对称轴x=μ；
(2)标准差σ；
(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
知识点5 回归分析、独立性检验的解题策略
1．回归分析的三大常用结论
(1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，应充分利用回归直线过样本点的中心.
(2)根据经验回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
(3)根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大.
2．独立性检验的应用问题的解题策略
解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式计算χ2；
(3)通过比较χ2与临界值的大小关系来作统计推断.
【题型1 概率的综合问题】
【例1】（2025·辽宁·三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（ ）
A．310B．13C．35D．110
【答案】B
【解题思路】根据条件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)来求解，先分别求出P(A)（至少有一门是“美育”课程的概率）和P(AB)（两门都是“美育”课程的概率），再代入公式计算.
【解答过程】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程，
从五门课程中任选两门的选法数为C52=5×42×1=10种.
“至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”.
两门都是“劳动教育”课程的选法数为C22=1种.
所以至少有一门是“美育”课程的选法数为10−1=9种.则P(A)=910.
从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为C32=3×22×1=3种，所以P(AB)=310.
由条件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)，将P(A)=910，P(AB)=310代入可得：
P(B|A)=310910=310×109=13.
故选：B.
【变式1-1】（24-25高二下·山东烟台·期中）某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（ ）
A．138343B．190343C．3449D．290343
【答案】C
【解题思路】先分类求出甲部分员工情况及对应概率，再根据题意求解即可.
【解答过程】从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，有以下四种情况：
第一种，甲部门经验丰富的员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为57×47=2049，
第二种，甲部门新员工与乙部门新员工交换，则概率为27×37=649，
第三种，甲部门经验丰富的员工与乙部门新员工交换，则概率为57×37=1549，
第四种，甲部门新员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为27×47=849，
第一种与第二种甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为57，
第三种甲部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为47，
第四种甲部门有6名经验丰富的员工和1名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为67，
故甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为2049×57+649×57+1549×47+849×67=3449.
故选：C.
【变式1-2】（2025·湖北·三模）某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.
(1)求该部门招工的淘汰率;
(2)求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率.
【答案】(1)0.7192
(2)0.48.
【解题思路】（1）对于独立事件，它们同时发生的概率等于各事件发生概率的乘积；运用乘法公式和对立事件概率公式计算即可；
（2）可通过条件概率和对立事件的概率和为1来计算.
【解答过程】（1）设B表示最终通过考核，A1,A2,A3,A4分别表示通过第一、二、三、四项考核.
因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为P(B)=0.6×0.8×0.9×0.65=0.2808，因此该部门招工的淘汰率为P(B)=1−P(B)=1−0.2808=0.7192.
（2）在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为P(B|A1A3)= P（B）P（A1A3）=0.28080.6×0.9=0.52，
因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为1−P(B|A1A3)=1−0.52=0.48.
【变式1-3】（2025·山东·二模）甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1−p，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择：
方案一：规定每局比赛的胜方得1分，败方得0分，则首次比对手高两分的一方获胜．
方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜．
(1)若p=0.75，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率．
(2)若00，即p>12，
因为0