高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题04圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题04圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共36页。试卷主要包含了必备秘籍，定值问题，定直线问题等内容，欢迎下载使用。
一、必备秘籍
一、定点问题
1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量，视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二、定值问题
1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.
2. 定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
三、定直线问题
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
二、典型题型
题型一：定点问题
1．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）椭圆的离心率为，上、下顶点与一个焦点围成的三角形的面积为．
(1)求椭圆C的方程：
(2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点．
2．（2024上·湖北·高二湖北省武汉市汉铁高级中学校联考期末）已知抛物线，点为的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于两点，已知点，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点.使直线恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由.
3．（2024上·山东泰安·高二统考期末）已知双曲线的左焦点，一条渐近线方程为，过做直线与双曲线左支交于两点，点，延长与双曲线右支交于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)判断直线是否过定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．
题型二：定值问题
1．（2024上·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校联考期末）已知点，动点满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若轨迹的左右顶点分别为，直线与直线交于点，直线与轨迹交于相异的两点，当点不在轴上时，分别记直线与的斜率为 ，，求证： 是定值.
2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）已知双曲线：（，）的一条渐近线与双曲线：的一条渐近线垂直，且的一个焦点到的一条渐近线的距离为2．
(1)求的方程；
(2)若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值．
3．（2024上·浙江舟山·高二统考期末）拋物线上的到焦点的距离为4，直线经过与抛物线相交于两点，是直线与轴的交点，直线分别交轴于两点．
(1)求抛物线方程；
(2)求证：为定值．
题型三：定直线问题
1．（2023上·山东济南·高二山东师范大学附中校考期中）已知圆F：，点，点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C上一点，动圆N：，且点M在圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A，B
①求证：直线AB的斜率为定值；
②若直线AB与交于点Q，且时，求直线AB的方程．
2．（2024上·福建福州·高二校联考期末）设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点P，且它们的斜率之积为，动点P的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程，
(2)动直线与Γ相交于不同的两点C，D，若直线与直线相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
3．（2024上·河北邯郸·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，.
(1)求抛物线的方程.
(2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
三、专项训练
1．（2024上·江西鹰潭·高二统考期末）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于、两点，证明直线过定点，并求面积的最大值．
2．（2024上·四川成都·高二校联考期末）已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线.
(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程；
(2)已知， 设x轴上一定点， 过T的直线交轨迹C于 两点（直线与轴不重合），求证：为定值.
5．（2024上·河北·高三校联考期末）已知抛物线，过焦点的直线与交于两点，且的最小值为2．
(1)求的方程；
(2)过且与垂直的直线交于两点，设直线的中点分别为，过坐标原点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
6．（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)点在抛物线上，直线与抛物线交于两点（第一象限），过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点（为坐标原点），且，证明：直线过定点．
7．（2024上·湖北·高二校联考期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为．
(1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；
(2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上．
8．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：为定值.
专题04 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
一、定点问题
1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量，视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二、定值问题
1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.
2. 定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
三、定直线问题
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
二、典型题型
题型一：定点问题
1．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）椭圆的离心率为，上、下顶点与一个焦点围成的三角形的面积为．
(1)求椭圆C的方程：
(2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据已知条件，求得，即可求得椭圆方程；
（2）先证明过椭圆上一点的切线方程的形式，再求得过点的切线方程，从而得到直线的方程，即可证明其恒过的顶点.
【详解】（1）根据题意可得：，又，
解得，故椭圆方程为：.
（2）下证过椭圆上一点作椭圆的切线，其切线方程为：.
当且，，求导得：；
同理可得，当且时，，所以，当时，；
根据导数的几何意义可得，过点的切线的斜率为，
故切线方程为：，即，
又，故切线方程为：，即证.
设坐标为，
故可得过点切线方程为：，又其过点，
则；同理可得，
故直线方程为，其恒过定点.
【点睛】关键点点睛：解决第二问的关键是证明过椭圆上一点作椭圆的切线，其切线方程为：，本题利用导数的几何意义求得斜率，是解决问题的关键.
2．（2024上·湖北·高二湖北省武汉市汉铁高级中学校联考期末）已知抛物线，点为的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于两点，已知点，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点.使直线恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线恒过此定点.
【分析】（1）设出直线方程为，与抛物线方程联立，再利用根与系数关系及抛物线中焦半径公式从而得，从而可求解.
（2）设出的方程及，然后与抛物线联立，利用根与系数关系求得，由以线段为直径的圆过点，可得，且设出，由几何关系可求出，从而求出直线方程为，从而可求解.
【详解】（1）焦点，则直线为，
联立，消去消可得，
恒成立，
设，则，
，解得
所以抛物线的方程为.
（2）设直线为，
联立方程，消可得，
显然：
设，则，
不妨设点，
以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，
则，又轴，所以平行轴，则.
设，所以，即
所以，即，
所以直线为：，
令，解得，
所以直线恒过此定点.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
3．（2024上·山东泰安·高二统考期末）已知双曲线的左焦点，一条渐近线方程为，过做直线与双曲线左支交于两点，点，延长与双曲线右支交于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)判断直线是否过定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点
【分析】（1）由双曲线几何性质求方程；
（2）分斜率存在于不存在分别研究，直线方程与双曲线方程联立，设，则直线的方程为，与双曲线求交点得，同理，从而求出直线的方程，可证.
【详解】（1）由题意可知：
解得
双曲线的方程为
（2）当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为
由
整理得
与左支交于两点
，解得
设，则直线的方程为
代入整理得
设，则
，，
，同理
直线的斜率
直线的方程为，即
直线过定点
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
不妨设点在轴上方，则，直线的方程为
由，解得
同理
此时直线过点
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系结合韦达定理运算求解.
题型二：定值问题
1．（2024上·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校联考期末）已知点，动点满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若轨迹的左右顶点分别为，直线与直线交于点，直线与轨迹交于相异的两点，当点不在轴上时，分别记直线与的斜率为 ，，求证： 是定值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据椭圆的定义求解；
（2）设点，求出直线的方程，与椭圆联立，求出坐标，则可以表示出的斜率，计算即可得定值.
【详解】（1）因为动点满足，
所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，
设椭圆方程为，
则，
所以，
所以点的轨迹的方程为；
（2）设点，则，，
联立，消去得，，
得，
所以，，即，
联立，消去得，，
得，
所以，，即，
所以，
，
所以，是定值.
【点睛】关键点点睛：当过圆锥曲线上一点作一条直线与圆锥曲线相交时，可以联立方程，利用韦达定理快速求出另一交点坐标，有了交点坐标，计算起来会更加方便快捷，不需要韦达定理来解题.
2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）已知双曲线：（，）的一条渐近线与双曲线：的一条渐近线垂直，且的一个焦点到的一条渐近线的距离为2．
(1)求的方程；
(2)若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合题意，利用渐近线之间的关系找到，再利用点F到双曲线的一条渐近线的距离，求出即可;
（2）分别将直线的方程，直线的方程与联立，结合弦长公式表示出，化简即可证明为定值.
【详解】（1）由双曲线：可得其中一条渐近线的方程为，
因为双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，
所以双曲线的一条渐近线的方程为，
所以，即，
所以，所以的一个焦点为，
点F到双曲线的一条渐近线的距离为，
所以，故的方程为．
（2）设，则，即，，
由题意上任意一点关于直线的对称点为，得，
设，，由题意直线与的渐近线的平行，故的斜率为，
则直线的方程为，与，
联立得，
直线的方程为，与,
联立得，
所以，
故为定值．

【点睛】关键点点睛：当过圆锥曲线上一点或平面上的一点作一条直线与圆锥曲线相交时，可以联立方程,当该点特殊时，利用韦达定理快速求出另一交点坐标，有了交点坐标，计算起来会更加方便快捷，不需要韦达定理来解题.
3．（2024上·浙江舟山·高二统考期末）拋物线上的到焦点的距离为4，直线经过与抛物线相交于两点，是直线与轴的交点，直线分别交轴于两点．
(1)求抛物线方程；
(2)求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由焦半径公式和点的坐标列方程组求得得抛物线方程；
（2）设直线方程为：，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，求出面积，由直线方程求得点坐标得面积，计算两面积的乘积并代入韦达定理的结论化简即得．
【详解】（1）由题可得或(舍去)，
所以；
（2）设直线方程为：，
联立，
则，
所以，
直线，可得，同理，
所以
，
所以．

【点睛】方法点睛：抛物线中定值问题，一般设交点为坐标为，设直线方程，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得（或），再利用交点坐标求得需要确定定值的量，代入（或）化简后即可得．
题型三：定直线问题
1．（2023上·山东济南·高二山东师范大学附中校考期中）已知圆F：，点，点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C上一点，动圆N：，且点M在圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A，B
①求证：直线AB的斜率为定值；
②若直线AB与交于点Q，且时，求直线AB的方程．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析 ；②或.
【分析】（1）由垂直平分线的性质，探讨点T具有的几何特征，再结合圆锥曲线的定义求解即得；
（2）①设出直线的方程，与曲线C的方程联立，结合圆的切线性质，利用韦达定理及斜率坐标公式推理即得；②利用①的信息，利用给定的面积关系求出点横坐标关系，即可计算得解.
【详解】（1）圆F：的圆心，半径，
如下左图，，
如上右图，，
因此，
点T的轨迹是以点E、F为焦点，且实轴长为的双曲线，其中焦距，虚半轴长，
所以点T的轨迹方程为.
（2）①设点，，直线AB的方程为，
由消去y得，
其中，且，
，，
由点在曲线C上，得，显然直线MA和直线MB关于对称，
直线MA和直线MB的斜率满足，即，
整理得，
即，
整理得，
即，
于是，即，则或，
当，直线方程为，此直线过定点，不符合题意，
所以直线AB的斜率为定值.
②由①知，，显然，即，
当时，，，即，，
，解得或，
当时，，不符合题意，当时，直线方程为，
当时，，即，，
，解得（舍去）或，
当时，直线方程为，
所以直线AB的方程为或.
【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
2．（2024上·福建福州·高二校联考期末）设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点P，且它们的斜率之积为，动点P的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程，
(2)动直线与Γ相交于不同的两点C，D，若直线与直线相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)点在定直线上
【分析】（1）设出点的坐标，表示出直线、的斜率计算即可得其轨迹；
（2）联立直线方程与曲线方程，借助韦达定理得到，再计算即可得.
【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标为，
所以直线的斜率，
同理直线的斜率，
由已知，有，
化简，得Γ的方程为；
（2）点M位于定直线上，理由如下：

设，，
由，得，
所以，
，，
因为A，B两点的坐标分别为，，
直线方程为，直线方程为，
由，得，
又，代入得，
由，得，
即，
所以，
所以点在定直线上.
【点睛】关键点睛：本题关键在于联立直线方程与曲线方程，得到与两交点纵坐标有关韦达定理，借助韦达定理得到，从而解决非对称问题.
3．（2024上·河北邯郸·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，.
(1)求抛物线的方程.
(2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由为的中点，分别表示出，，的坐标，再利用抛物线的定义表示出即可求出的值，从而得到抛物线的方程；
（2）设直线，将直线与抛物线的方程联立方程，由韦达定理得到，再分别设出过和两点的切线方程，分别与抛物线联立方程，利用，化简得到：，，再联立两条切线方程，化简可得轴，分别表示出与的面积，利用面积相等，化简即可得到答案.
【详解】（1）由题意知，当为的中点时，设，则，则，所以，
所以，解得，所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，设直线，
将直线与抛物线的方程联立消得，
则.
设抛物线在点处的切线方程为，
与抛物线的方程联立消得，则，得.
设抛物线在点处的切线方程为，同理可得.
联立，消得，所以轴.
故，，假设存在直线使与的面积相等，则，得.
又，解得或，此时重合，与题意矛盾，
故不存在直线使与的面积相等.
三、专项训练
1．（2024上·江西鹰潭·高二统考期末）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于、两点，证明直线过定点，并求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，面积的最大值为
【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，直线不与轴垂直，设直线的直线方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出的值，可得出直线所过定点的坐标，然后利用三角形的面积公式结合对勾函数的单调性可求得面积的最大值.
【详解】（1）解：由已知可得：，解得：，，
所以，椭圆的方程为．
（2）解：易知点，设点、，则，
若直线轴，则，，
所以，，不合乎题意，
设的直线方程为，
联立，整理得，
，
由韦达定理可得，．
因为，且，，
所以，
，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
所以，直线的方程为，
，
则．
令，
则，
由对勾函数单调性知，函数在上为增函数 ，
则．
所以，当且仅当时，即时等号成立，
此时最大值为．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
2．（2024上·四川成都·高二校联考期末）已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线.
(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程；
(2)已知， 设x轴上一定点， 过T的直线交轨迹C于 两点（直线与轴不重合），求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）是圆的切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，由，利用椭圆定义可得轨迹方程；
（2）设直线的方程为，设，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，然后计算，代入化简可得．
【详解】（1）如图，是圆的切线，分别过作直线的垂直，垂足分别为，又是中点，则是直角梯形的中位线，，
设是以为准线的抛物线的焦点，则，，
所以，
所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为8，
，则，因此，
所以抛物线的焦点轨迹方程为；

（2）由题意设直线的方程为，设，
由得，
，，
，
代入，，得
为常数．

【点睛】方法点睛：本题考查椭圆中定值问题，解题方法是设交点坐标．设直线方程，直线方程与椭圆方程联立方程组后消元应用韦达定理得（或），利用交点坐标计算出要证明常数的量，然后代入韦达定理的结果化简变形即可得．
3．（2024上·江苏苏州·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，直线与轴交于点，过的直线与交于两点（异于），记直线和直线的斜率分别为.
(1)求的标准方程；
(2)求的值；
(3)设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）将点代入方程计算即可得；
（2）分直线的斜率存在与不存在进行计算，结合题意得到、的表示形式，结合韦达定理计算即可得；
（3）结合题意设出直线、方程，结合第二问得到的值，得到交点的横纵坐标的关系或通过联立联立直线方程计算交点纵坐标即可得.
【详解】（1）由题意知，所以，
所以的标准方程为；
（2）直线的方程为，所以，
当直线的斜率不存在时，
①若，
则；
②若，
则，
所以，
当直线的斜率存在时，设，
直线的方程为，
由，得，
所以，
所以，
所以
，
综上，；
（3）直线的方程为，直线的方程为，
设交点，
法一：，
即，
因为，所以，即点在定直线上.
法二：由（2）得，
由，得，
即点在定直线上.
【点睛】关键点睛：本题第二问关键在当直线的斜率存在时，需联立直线的方程与椭圆方程，借助韦达定理得到交点坐标间的关系，从而计算的值.
4．（2024上·云南·高二统考期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在，且定直线方程为
【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则，
则，可得，则，，
因此，双曲线的方程为.
（2）证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，可得，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得
，解得.
因此，点在定直线上.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
5．（2024上·河北·高三校联考期末）已知抛物线，过焦点的直线与交于两点，且的最小值为2．
(1)求的方程；
(2)过且与垂直的直线交于两点，设直线的中点分别为，过坐标原点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点，使得为定值
【分析】（1）设出直线，联立抛物线方程，求出，得到，求出答案；
（2）在（1）的基础上，得到，，得到直线的方程，得到直线过定点，在以为直径的圆上，所以存在定点，使得为定值．
【详解】（1）当直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去；
设直线，与抛物线方程联立可得，
设，则，
所以，
所以，所以的方程为．
（2）由（1）可知，，
所以，同理可得，
所以直线斜率为，
所以直线，即，
所以直线过定点，
因为⊥，所以在以为直径的圆上，
取的中点，则为定值，
所以存在定点，使得为定值．
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
6．（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)点在抛物线上，直线与抛物线交于两点（第一象限），过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点（为坐标原点），且，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义计算即可；
（2）设坐标及直线方程，含参表示坐标，由得出坐标的关系，联立抛物线根据韦达定理消元计算即可.
【详解】（1）由题意可知抛物线准线方程为：，则，且，
解之得，即抛物线方程为；
（2）依题意与抛物线于第一象限有两个交点，
故可设，
由（1）可知，即，所以，
则，
又，所以，
因为，故，
联立抛物线方程有，
则，显然过定点.
【点睛】思路点睛：第二问通过设点设线，由向量关系得出点的坐标关系，再联立抛物线根据韦达定理消元转化得出直线参数的关系即可.
7．（2024上·湖北·高二校联考期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为．
(1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；
(2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上．
【答案】(1)或；
(2)证明见解析
【分析】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程；
（2）设出直线方程并利用韦达定理可得，结合即可求出动点在直线上.
【详解】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为，
与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意，
当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为，
代入抛物线方程化简得：，
，即，直线方程即为
因此所求直线方程为或；
（2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为，
由，消去整理得，
因为与抛物线C相切，所以，
即．
又因为，是方程的两根，则有，
由 ，可得，即
从而动点在直线上.
8．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线
，
，
所以，
即为定值.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键点是利用韦达定理求出弦长、两点间的距离公式求出.