2026年高考数学复习举一反三训练(全国通用)重难点14解三角形的图形类问题和重要模型(学生版+解析)

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\l "_Tc25098" 【题型1 两次使用余弦定理】 PAGEREF _Tc25098 \h 3
\l "_Tc2721" 【题型2 等面积法】 PAGEREF _Tc2721 \h 3
\l "_Tc27110" 【题型3 解三角形中的中线模型】 PAGEREF _Tc27110 \h 4
\l "_Tc14127" 【题型4 解三角形中的倍角模型】 PAGEREF _Tc14127 \h 4
\l "_Tc27515" 【题型5 解三角中的角平分线模型】 PAGEREF _Tc27515 \h 6
\l "_Tc8659" 【题型6 解三角中的高模型】 PAGEREF _Tc8659 \h 6
\l "_Tc19970" 【题型7 解三角形中的等分点模型】 PAGEREF _Tc19970 \h 7
\l "_Tc16640" 【题型8 三角形的重心问题】 PAGEREF _Tc16640 \h 9
\l "_Tc4568" 【题型9 三角形的外接圆、内切圆问题】 PAGEREF _Tc4568 \h 10
1、解三角形的图形类问题和重要模型
解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；解答题中正、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、解三角形的图形类问题和一些重要模型也是考查的重要内容，中等难度，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，解题方法多种多样，需要灵活求解.
知识点1 三角形图形类问题的解题策略
1．解决三角形图形类问题的常用方法：
(1)两次使用余弦定理：两次使用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理
的性质解题；
(2)等面积法：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
(3)正、余弦定理结合：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
(4)相似三角形：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
(5)平面向量：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
(6)建系：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
知识点2 解三角形中的重要模型
1．中线模型
(1)中线长定理：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则.
(2)向量法：.
2．倍角模型
，这样的三角形称为“倍角三角形”．
推论1：；
推论2：.
3．角平分线模型
角平分线张角定理：如图，为平分线，则
斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积．
4．等分点模型
如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.易知∥，且，，．

【题型1 两次使用余弦定理】
【例1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在△ABC中，已知AC=5,AB=3,BC=7,AD是BC边上的中线，则AD=（ ）
A．154B．192C．72D．157
【变式1-1】（2025·云南昆明·模拟预测）在△ABC中，AB=2,AC=3,csA=34，则csB=（ ）
A．18B．−18C．19D．−19
【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=3,BC边上中线AD长为1，则bc最大值为（ ）
A．74B．72C．3D．23
【变式1-3】（24-25高三下·河南·阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=3，b2=c2+3c+9，∠ABC的平分线交边AC于点D，且BD=2，则b=（ ）
A．25B．27C．6D．37
【题型2 等面积法】
【例2】（2024·海南·模拟预测）在△ABC中，∠ACB的平分线与对边AB交于点D，若△CAD的面积为△CBD的2倍，且CD=2,∠ACB=120°，则BC=（ ）
A．3B．4C．6D．8
【变式2-1】（2025·重庆·三模）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若A=2π3,D为BC边上的点，且 ∠CAD=π2,AB=8,AC=4，则AD=（ ）
A．4B．43C．3D．23
【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知∠BAC=5π6，边BC上一点D使得AD=2，且∠BAD=π6，则3b+c的最小值为（ ）
A．23B．43C．83D．8
【变式2-3】（2025·河南信阳·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a=5,b=8,c=7，若P为△ABC内一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120∘，则PA2+PB2+PC2=（ ）
A．44B．49C．88D．98
【题型3 解三角形中的中线模型】
【例3】（2025·河北保定·一模）记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c=26,ccsA−B+23asinBcsC=−ccsC，则AB边上的中线CD长度的最小值为（ ）
A．12B．22C．2D．22
【变式3-1】（24-25高一上·北京顺义·期中）如图，在△ABC中，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，BC，AB边上的两条中线AD，CE相交于点P，则cs∠DPE=（ ）
A．32114B．217C．17D．714
【变式3-2】（2025·安徽合肥·三模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足3asinC+acsC=b+c.
(1)求角A；
(2)已知△ABC面积为103，BC为7，求BC边上中线AD长.
【变式3-3】（2025·甘肃庆阳·三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcsB，C＝2π3.
(1)求角B的大小；
(2)①△ABC的面积为334，求BC边上的中线AM的长度；
②△ABC的周长为4＋23，求BC边上的中线AM的长度.
【题型4 解三角形中的倍角模型】
【例4】（2025·陕西西安·模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csB=a−c2c.
(1)求证：B=2C；
(2)若△ABC为锐角三角形且c=1，求a的取值范围.
【变式4-1】（2025·北京东城·一模）在△ABC中a=6,b−c=1,sinC=74.
(1)求b的值及△ABC的面积；
(2)求证：A=2C.
【变式4-2】（2025·河北石家庄·一模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2−c2=b2acs2A−b.
(1)求证：C=2A；
(2)若a=4,b=5，求△ABC的面积.
【变式4-3】（2025·河北沧州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcsA=c−b．
(1)求证：A=2B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且b=1，求△ABC周长的取值范围．
【题型5 解三角中的角平分线模型】
【例5】（2025·湖北武汉·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C=π3，c=6，△ABC面积为3，D为边AB上一点，CD是∠ACB的角平分线，则|CD|=（ ）
A．3B．1C．32D．12
【变式5-1】（24-25高三上·天津·期中）在△ABC中，AB=4，E是BC边中点，线段AE长为3，∠BAC=120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的角平分线，则AD的长为（ ）
A．23B．43C．2D．83
【变式5-2】（2025·北京大兴·三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D，且asinC=ccsA2．
(1)求A；
(2)若b=2，且△ABC的面积为32，角A的角平分线为AD，求AD的长．
【变式5-3】（2025·河北·模拟预测）如图，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知AD是∠BAC的角平分线，且AD=bcb+c．
(1)求角A的值；
(2)若a=1，求AD长的最大值．
【题型6 解三角中的高模型】
【例6】（2024·河北·模拟预测）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=3,b=2,∠BAC的平分线AD的长为465，则BC边上的高线AH的长等于（ ）
A．43B．423
C．2D．433
【变式6-1】（2024·陕西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csinA−sinC=a−bsinA+sinB，若△ABC的面积为34，周长为3b，则AC边上的高为（ ）
A．33B．32C．3D．23
【变式6-2】（2025·北京丰台·二模）在△ABC中，3csinB+bsin2C=0．
(1)求∠C；
(2)若a=1,b=3，求AB边上的高．
【变式6-3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3asinC−c=ccsA.
(1)求A；
(2)若b=2，c=3，求BC边上的高AD.
【题型7 解三角形中的等分点模型】
【例7】（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，在△ABC中，D为边BC上靠近点B的四等分点，∠ADC=π3，AD=2，△ABC的面积为43，则sin∠BCA等于（ ）

A．12B．217C．32114D．2114
【变式7-1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且CD=1，a−bsinA=c+bsinC−sinB，则a+3b的最大值是（ ）
A．832B．833C．23D．43
【变式7-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b−3c=2acsC.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为43，sinB=1+csC，点D为边BC上靠近B的四等分点，求AD的长.
【变式7-3】（2025·湖北·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a21+csA=2bcsin2A．
(1)判断△ABC的形状；
(2)已知D为BC上一点，则当A=2π3，a=33，AD=3时，D为BC的几等分点？
【题型8 三角形的重心问题】
【例8】（2025高一·全国·专题练习）已知△ABC的重心为G，AB=6，AC=8，BC=213，则△BGC的面积为（ ）
A．123B．83
C．43D．4
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sinA=acsC,c=2．若G为△ABC的重心，则GA2+GB2−GC2的最小值为（ ）
A．12−429B．8+429C．42−23D．4+223
【变式8-2】（2024·江苏苏州·二模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a+bc=sinC−sinBsinA−sinB．
(1)求角A；
(2)若a=6，点M为△ABC的重心，且AM=23，求△ABC的面积．
【变式8-3】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且AG⋅BG=0．
(1)若∠GAB=π3，求tan∠GAC的值；
(2)求cs∠ACB的取值范围．
【题型9 三角形的外接圆、内切圆问题】
【例9】（2025·江西新余·模拟预测）已知△ABC的外接圆面积为3π，∠A=π3，则BC=（ ）
A．14B．4C．3D．32
【变式9-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形ABCD的外接圆直径为4213，AB=6，AD>2，∠ABC=π3，则梯形ABCD的内切圆半径为（ ）
A．2B．3C．2D．22
【变式9-2】（2025·云南昆明·二模）在△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=3π4．
(1)求sinC；
(2)点D在△ABC外接圆上，设△BCD的面积为S，若S=52CD，求△BCD的周长．
【变式9-3】（24-25高三下·重庆·开学考试）已知四边形ABCD的外接圆面积为7π3，且BD=7,CD=2,∠BAD为钝角，
(1)求∠BCD和BC；
(2)若sin∠ABD=217，求四边形ABCD的面积．
一、单选题
1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在△ABC中，AB=4，AC=6，csB=18.若△ABC的角平分线AD交边BC于点D，则AD=（ ）
A．125B．835C．95D．32
2．（2025·全国·模拟预测）已知△ABC的面积为25，BC=4，csB=23，则AC=（ ）
A．5B．3C．4D．5
3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=π3,a=7,b