北师大版数学七年级下册第五单元图形的轴对称单元检测培优卷（含解析）

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北师大版数学七年级下册第五单元图形的轴对称单元检测培优卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（2025七下·深圳期中）将△ABC纸片沿EF折叠，使得A落在A'处，已知BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB，且∠BA'C=118°，则∠BEA'+∠CFA'的度数为（　　） A．112° B．114° C．116° D．118° 2．（2024·织金期末） 如图， 在△ABC中， BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， 若DE=3cm， 则点 D到BC的距离为(　　) A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm 3．（2024七下·揭西期末）如图，△ABC的面积是6，∠C=90°，AB=5，D，E分别是BC，AB上的动点，连接AD，DE，则AD+DE的最小值是（　　） A．247 B．127 C．245 D．125 4．（2024七下·新兴期末）如图，AF∥GC，AB⊥BC，∠ABD=∠C=∠DEB，BE平分∠DBC，则∠DEB的度数为（　　） A．50° B．45° C．35° D．30° 5．（2024七下·嘉兴月考）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（　　） A． B． C． D． 6．（2024七下·惠来期末）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论①AE=12AB+AD；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE−S△BCE=S△ACD．其中，正确结论的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024七下·博罗期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠FGA=42°；④∠MGK=21°．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024七下·荣成期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB=90°+∠C；②若AB=4，OD=1，则S△ABO=2；③当∠C=60°时，AF+BE=AB；④若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的结论为（　　） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 二、填空题（每题3分，共15分） 9．（2025七下·达州期末）如图，在直角△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边作△ACD，满足AC=AD，点E为BC上一点，连接AE，DE，∠CAD=2∠BAE．有下列结论：①∠ACB=∠ADE；②AC⊥DE；③DE−BE=BE+CE；④若CD∥AB，则AE⊥AD．其中正确结论的序号是　 　． 10．（2024七下·西安月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD是△ABC的角平分线，若P、Q分别是AD和AC边上的动点，则PC+PQ的最小值是　 　． 11．（2025七下·武汉期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AC=13,∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN=45°，连接MN，若△BMN的周长为4，则Rt△ABC的面积为　 　． 12．（2023七下·大竹期末）如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=4，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为　 　． 13．（2023七下·道县月考）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座AO⊥OE于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM,DN组成的∠MDN始终保持不变．如图2，调节台灯使光线DN∥BA，此时∠BAO=130°，且CD的延长线恰好是∠MDN的角平分线，则∠MDN=　 　．如图3，调节台灯使光线MD垂直AB于点B，此时∠BAO=120°，则∠PDN=　 　． 三、解答题（共7题，共61分） 14．（2025七下·普宁期末） 如图，已知△ABC中， （1） 尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别交边BC、AB于点D、E（不写作法，保留作图痕迹并标明字母）； （2） 连接AD，若AB=8，△ABC的周长是18，求△ACD的周长. 15．（2024七下·利津期末）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE． （1）证明：△ADC≌△BCE； （2）若CF=3，DF=4，求△DCE的面积． 16．（2024七下·丰城期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D．连接DE． （1）若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长． （2）若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的度数． 17．（2023七下·西安期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E． （1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数； （2）若AB＝7，BC的长为5，求△CBD的周长． 18．（2024七下·镇平县月考）在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上任意一点，连结AD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边BC上时，请画出△ABC中AC边上的高BG； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想DE，DF，BG之间的数量关系为__________；为了说明DE，DF，BG之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵S△ABC=__________+S△ACD， ∴12AC⋅BG=12AB⋅DE+__________． ∵AB=AC，∴__________． 【运用】（3）如图②，当点D为BC中点时，试判断BG与DE的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在CB的延长线上时，请直接写出DE、DF、BG之间的数量关系． 19．（2025七下·榕城期末） 如图， 在 △ABC中， ∠BAC=110∘,AC=AB,射线AD，AE的夹角为 55∘,过点B作 BF⊥AD于点 F， 直线BF交AE于点G， 连接CG. （1）如图1， 射线AD， AE都在 ∠BAC的内部. ①设 ∠BAD=α,则 ∠CAG=　 　(用含有α的式子表示)； ②作点B关于直线AD 的对称点 B',则线段 B'G与图1 中已有线段　 　的长度相等； （2）如图2，射线AE在 ∠BAC的内部，射线AD在 ∠BAC的外部，其他条件不变，用等式表示线段 BF，BG，CG之间的数量关系，并证明. 20．（2024·七下成都期中） 如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°． （1）填空：∠PNB+∠PMD　 　∠P（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②． ①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数； ②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．  答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：在△AA'BC中，∠BA'C＝118°，∴ ∠A'BC+∠A'CB=180°-118°=62°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴ ∠ABC=2∠A'BC，∠ACB=2∠A'CB，∴ ∠ABC + ∠ACB=2(∠A'BC+ ∠A'CB) = 62°x 2=124°，∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=56°，∴∠AEF+∠AFE=180°-∠A=124°，由折叠的性质可得∠A'EF= ∠AEF，∠A'FE= ∠AFE，∴∠A'EA+ ∠A'FA=2(∠AEF+∠AFE)=2x 124°= 248°∴∠BEA'+∠CFA'=360°-248°=112°， 故答案为：A. 【分析】由三角形内角和可推∠A＝56°，从而可求∠AEF+∠AFE=180°-∠A=124°，再根据折叠的性质可得∠A'EF=∠AEF，∠A'FE=∠AFE，最后根据平角的定义求解即可。 2．【答案】C 【解析】【解答】解：过D作DH⊥BC于H，如图所示： ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE=3cm， ∴DH=DE=3cm， ∴点 D到BC的距离为3cm； 故答案为：C 【分析】过D作DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DE=3cm，进而即可求解. 3．【答案】C 【解析】【解答】 解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，如图：则AD=A'D，∴AD+DE=A'D+DE≥A'E，即AD+DE的最小值为A'E，∵S△AA'B=12AB·A'E=2S△ABC=2×6=12，∴A'E=2×125=245，即AD+DE的最小值为245.故答案为：C.【分析】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，则AD=A'D，所以AD+DE=A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E，根据三角形的面积公式即可求解. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：设∠ABD=∠C=∠DEB=x°，如图，过B作BT∥DF，∵AF∥GC，∴AF∥BT∥CG，∴∠EBT=∠DEB=x°，∠CBT=∠C=x°，∵AB⊥BC，∴∠ABE=90°−2x°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，∴2x=x+90−2x．∴x=30，∴∠DEB=30°；故答案为：D．【分析】设∠ABD=∠c=∠DEB=x°，如图，过B作BT∥DF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得DF∥BT∥CG，由两直线平行，内错角相等，得∠EBT=∠DEB=x°，∠CBT=∠C=x°，由垂直的定义可得∠ABE=90°−2x°，由角平分线的定义∠DBE=∠CBE，据此建立方程求解即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，将P向下平移，使PP'=河宽，连接P'Q交直线L于点N，过点N作MN⊥L，交河的另一边于点M，连接MP， ∵PP'∥MN，PP'=MN∴四边形PP'NM是平行四边形∴PM=P'N∴PM+MN+QN=P'N+MN+QN=P'Q+MN最小故答案为：C. 【分析】将P向下平移，使PP'=河宽，连接P'Q交直线L于点N，过点N作MN⊥L，交河的另一边于点M，连接MP，构造平行四边形，根据两点之间，线段最短，将PM转化为P'N，从而PM+QN=P'Q，河宽不变，故P'Q+MN最小. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：①、在AE取点F，使EF=BE． ∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE， ∴AB=AF+2BE， ∴AD=AF， ∴AB+AD=AF+2EF+AD=2AF+2EF=2AF+EF=2AE， ∴AE=12AB+AD，故①正确； ②、AB上取点F，使BE=EF，连接CF． ∵CE⊥AB∴CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B．在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC， ∴△ACD≌△ACF， ∴∠ADC=∠AFC． 又∵∠AFC+∠CFB=180°， ∴∠ADC+∠B=180°， ∴∠DAB+∠DCB=360−∠ADC+∠B=180°，故②正确； ③、由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF， 又∵CF=CB， ∴CD=CB，故③正确； ④、在△BCE与△FCE中，∴CE=CE∠CEF=∠CFB=90°EF=BE，∴△BCE≌△FCE(SAS) ∴S△ACE−S△BCE=S△ACE−S△FCE=S△ACF， 又∵△ACD≌△ACF， ∴S△ACF=S△ADC， ∴S△ACE−S△BCE=S△ADC，故④正确． 综上可知 ①②③④ 正确；故答案为：D． 【分析】 ①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，利用线段垂直平分线的性质可得CF=CB再由AB=AD+2BE即可求解； ②利用SAS证明△ACD和△ACF全等，再根据∠AFC+∠CFB=180°即可求解； ③由△ACD和△ACF全等可得CD=CF，结合CF=CB即可得解； ④由SAS证明△BCE≌△FCE，从而可得到面积关系，即可得解． 7．【答案】B 【解析】【解答】∵∠EAD=∠D，∠B=∠D， ∴∠EAD=∠B， ∴AD∥BC，故①正确； ∴∠AGK=∠CKG， ∵∠CKG=∠CGK， ∴∠AGK=∠CGK， ∴GK平分∠AGC；故②正确； 延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q， ∵EF∥CH， ∴∠EPQ=∠CQP， ∵∠EPQ=∠E+∠EAG， ∴∠CQG=∠E+∠EAG， ∵AD∥BC， ∴∠HCK+∠CQG=180°， ∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°； ∵∠FGA的余角比∠DGH大16°， ∴90°−∠FGA−∠DGH=16°， ∵∠FGA=∠DGH， ∴90°−2∠FGA=16°， ∴∠FGA=∠DGH=37°，故③错误； 设∠AGM=α，∠MGK=β， ∴∠AGK=α＋β， ∵GK平分∠AGC， ∴∠CGK=∠AGK=α＋β， ∵GM平分∠FGC， ∴∠FGM=∠CGM， ∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK， ∴37°＋α=β＋α＋β， ∴β=18.5°， ∴∠MGK=18.5°，故④错误， 故选：B． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，由平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得∠D+∠DCG+∠GCK=180°，再根据题目已知∠CKG=∠CGK，得∠D+∠DCG=2∠GKC，又根据AD∥BC，得∠D+∠DCG=2∠AGK，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质，即可得到结论． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA=12∠CBA，∠OAB=12∠BAC， ∴∠AOB=180°−∠OBA−∠OAB=180°−12∠ABC+∠BAC=180°−12180°−∠C=90°+12∠C，故①错误； 过O点作OP⊥AB于P， 又∵BF平分∠ABC，OD⊥BC， ∴OP=OD=1， ∵AB=4， ∴S△ABO=12×4×1=2，故②正确； ∵∠C=60°， ∴∠BAC+∠ABC=120°， ∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线， ∴∠OAB+∠OBA=12∠BAC+∠ABC=60°， ∴∠AOB=120°， ∴∠AOF=60°， ∴∠BOE=60°， 如图，在AB上取一点H，使BH=BE， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO=∠EBO， 在△HBO和△EBO中，BH=BE∠HBO=∠EBOBO=BO， ∴△HBO≌△EBOSAS， ∴∠BOH=∠BOE=60°， ∴∠AOH=180°−60°−60°=60°， ∴∠AOH=∠AOF， 在△HAO和△FAO中，∠HAO=∠FAOAO=AO∠AOH=∠AOF ， ∴△HAO≌△FAOASA， ∴AF=AH， ∴AB=BH+AH=BE+AF，故③正确； 作ON⊥AC于N，OH⊥AB于H， 又∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，OD⊥BC， ∴ON=OH=OD=a， ∵AB+AC+BC=2b， ∴S△ABC=12AB⋅OH+12BC⋅OD+12AC⋅ON=12a⋅2b=ab，故④正确，综上，正确的有②③④. 故答案为：C． 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求得∠AOB与∠C的关系，据此判定①；过O点作OP⊥AB于P，由角平分线上的点到角两边的距离相等得OP=1，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在AB上取一点H，使BH=BE，用SAS证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，结合平角定义推出∠AOH=∠AOF，由ASA证△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定③正确；作ON⊥AC于N，OH⊥AB于H，由角平分线上的点到角两边的距离相等得ON=OH=OD=2a，根据三角形的面积可证得④正确． 9．【答案】①③④ 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，△ACD中，AC=AD， 如图，延长EB至G，使BE=BG，设AC与DE交于点M， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG=AE，∠GAB=∠EAB=12∠DAC， ∴∠BAE=12∠GAE， ∴∠GAE=∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC=∠EAD， 在△GAC与△EAD中， AG=AE∠GAC=∠EADAC=AD ， ∴△GAC≌△EADSAS， ∴∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE， 故①符合题意； ∵AG=AE， ∴∠G=∠AEG=∠AED， ∴AE平分∠BED， 当∠BAE=∠EAC时，∠AME=∠ABE=90°，则AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE， 故②不符合题意； 设∠BAE=x，则∠CAD=2x， ∴∠ACD=∠ADC=12180°−2x=90°−x， ∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD=90°−x， ∴∠CAE=∠BAC−∠EAB=90°−x−x=90°−2x， ∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°−2x+2x=90°， ∴AE⊥AD， 故③符合题意； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG=DE， ∵CG=CE+GE=CE+2BE， ∴DE=CE+2BE， ∴DE−BE=BE+CE， 故④符合题意； 故答案为：①③④．【分析】根据∠CAD=2∠BAE．且∠ABC=90°，构造2倍的∠BAC，故延长EB至G，使BE=BG，从而得到∠GAE=∠CAD，进一步证明∠GAC=∠EAD，且AE=AG，接着证明△GAC≌△EADSAS，则∠ADE=∠ACG，DE=CG，可判断①，也可以通过线段的等量代换运算判断④，设∠BAE=x，则∠DAC=2x，因为CD∥AB，所以∠BAC=∠ACD=90°−x，接着用x表示出∠EAC，再计算出∠DAE=90°，可判断③，当∠CAE=∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，可判断②． 10．【答案】125 【解析】【解答】解：如图，在AB上截取AQ1=AQ，连接QD，Q1D， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠QAD=∠Q1AD 在△AQD与△AQ1D中 AQ=AQ1∠QAD=∠Q1ADAD=AD ∴△AQD≌△AQ1DSAS ∴点Q1和点Q关于AD对称，连接CQ1，CQ1与AD交于P点，连接PQ，此时PC+PQ=CQ1， ∵Q是动点， ∴Q1也是动点，当CQ1与AB垂直时，CQ1最小，即PC+PQ最小． 此时，由面积法得CQ1=3×4÷5=125． 故答案为：125．【分析】在AB上截取AQ1=AQ，连接QD，Q1D，连接CQ1，CQ1与AD交于P点，连接PQ，用边角边可证△AQD≌△AQ1D，根据全等三角形的性质可知点Q1和点Q关于AD对称，再根据轴对称的性质和最短路径可知：当CQ1⊥AB时，CQ1最小，即PC+PQ最小；根据S△ABC=12×AB×CQ1=12×AC×BC可得关于CQ1的方程，解方程即可求解． 11．【答案】30 【解析】【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，在FC上截取FP=EM，连接BD， ∵DA平分∠BAC， ∴DE=DH， 同理可得DF=DH， ∴DE=DF， 在Rt△ADE和Rt△ADH中， AD=ADDE=DH， ∴Rt△ADE≌Rt△ADHHL， ∴AE=AH， 同理可得CF=CH， ∵DE=DF，∠DEM=∠DFP，EM=FP ， ∴△DEM≌△DFPSAS ， ∴DM=DP,∠EDM=∠FDP， ∴∠EDM+∠MDF=∠PDF+∠MDF， ∴∠MDP=∠EDF， ∵DE⊥AB，BF⊥AB， ∴DE∥BF， ∵DF⊥BC， ∴DE⊥DF， ∴∠MDP=∠EDF=90°，DF=BE=DE=BF（平行线间间距相等）， ∵∠MDN=45°， ∴∠PDN=45°， 在△DMN和△DPN中， DM=DP∠MDN=∠PDN=45°DN=DN， ∴△DMN≌△DPNSAS ， ∴MN=NP=NF+FP=NF+EM． ∴△BMN的周长=MN+BM+BN =EM+BM+BN+NF =BE+BF =4， ∴BE=BF=DE=DF=DH=2， 设AB=a，BC=b， ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD， ∴12ab=12×2a+12×2b+12×2×13， ∴12ab=a+b+13； ∵AE=AB−BE=a−2，CF=BC−BF=b−2， ∴AC=AH+CH=AE+CF=a−2+b−2=13， ∴a+b=17， ∴12ab=a+b+13=17+13=30， ∴Rt△ABC的面积为30． 故答案为：30． 【分析】过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，在FC上截取FP=EM，连接BD，利用角平分线的性质可得DE=DH=DF，然后根据HL得到Rt△ADE≌Rt△ADH，即可得到AE=AH，然后推理Rt△CDF≌Rt△CDH，即可得到CF=CH，然后推导△DEM≌△DFP，即可得到DM=DP,∠EDM=∠FDP，再推理得到△DMN≌△DPNSAS，进而得到MN=NP=NF+FP=NF+EM．求出BE=BF=2，设AB=a，BC=b，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD+S△BCD，即可得到12ab=a+b+13；然后根据AC=AH+CH得到a+b=17，即可求出面积． 12．【答案】18​​​​​​​ 【解析】【解答】解：连接OP，如图所示： ∵ 点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，∴OP1=OP=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2， ∵∠AOB=45°，∴∠P1OP2=∠AOP1+∠AOP+∠BOP+∠BOP2=2∠AOP+∠BOP=2∠AOB=90°，∴S△P1OP2=12OP1⋅OP2=12OP2，∴当OP最小时，△OP1P2 的面积也最小.∵点P在直线MN上运动，∴OP⊥MN时，OP的值最小.当OP⊥MN时，如图所示：∵MN=4，S△OMN=12MN⋅OP=12 ∴OP=6， ∴△OP1P2的面积的最小值为12×62=18， 故答案为：18．【分析】连接OP，根据对称性可得OP1=OP=OP2，∠P1OP2=90°，然后利用三角形的面积公式可得△OP1P2的面积为12OP2，根据垂线段最短可得当OP⊥MN时，OP取得最小值，△OP1P2的面积最小，利用三角形的面积公式求出OP的长，即可得到△OP1P2面积的最小值. 13．【答案】80°；20° 【解析】【解答】解：（1）过点A作AF∥OE，过点B作BG∥AF交DN于点H， ∵AO⊥OE， ∴∠AOE=90°， ∵AF∥OE， ∴∠OAF=90°， ∴∠BAF=∠BAO−∠OAF=40°， ∵BG∥AF， ∴∠BAF=∠HBA=40°， ∵DN∥BA， ∴∠DHB=∠HBA=40°， ∵AF∥OE，CD∥OE,BG∥AF， ∴BG∥CD； ∴∠DHB=∠PDN=40°， ∵CD的延长线恰好是∠MDN的角平分线， ∴∠MDN=2∠PDN=80°； 故答案为：80°； （2）由题意，得：∠MBA=90°， 过点D作DK∥AB，过点A作AL∥OE，过点B作BQ∥AL交DK于点Q， 同（1）法可得：∠PDK=∠BQD=∠ABQ=∠BAL=∠BAO−∠OAL=30°， ∵DK∥AB， ∴∠MDK=∠MBA=90°， ∴∠NDQ=∠MDK−∠MDN=90°−80°=10°， ∴∠PDN=∠PDK−∠NDQ=30°−10°=20°． 故答案为：20°． 【分析】（1）过点A作AF∥OE，过点B作BG∥AF交DN于点H，由二直线平行，同旁内角互补及垂直定义得出∠OAF=90°，由角的构成求出∠BAF=40°，由二直线平行，内错角相等，得∠BAF=∠HBA=∠DHB=40°；由平行于同一直线的两条直线互相平行得BG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠DHB=∠PDN，再根据角平分线的定义可得∠MDN=2∠PDN，从而得出答案； （2）过点D作DK∥AB，过点A作AL∥OE，过点B作BQ∥AL交DK于点Q，同法（1），利用平行线的判定和性质，进行求解即可． 14．【答案】（1）解：如图所示，直线DE即为所求， （2）解：连接AD，∵△ABC的周长是18，∴AB+AC+BC=8+AC+BC=18，∴AC+BC=10，∵直线DE为线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴△ACD的周长为：AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10. 【解析】【分析】（1）根据作线段垂直平分线的方法作图求解即可；（2）根据题意先求出AB+AC+BC=8+AC+BC=18，再根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，最后计算求解即可. 15．【答案】（1）证明：∵AD∥BE， ∴∠A=∠B， 在△ACD和△BEC中， AC=BE∠A=∠BAD=BC， ∴△ACD≌△BEC（SAS）； （2）解：由（1）知△ADC≌△BCE， ∴DC=CE， 又∵CF平分∠DCE， ∴CF⊥DE，DF=EF， ∴CF垂直平分DE， ∵CF=3，DF=4． ∴DE=2DF=8， ∴S△DCE=DE·CF2=8×32=12， 即△DCE的面积是12． 【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠A=∠B，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.（2）根据全等三角形性质可得DC=CE，再根据角平分线性质可得CF⊥DE，DF=EF，由垂直平分线性质可得DE=2DF=8，再根据三角形面积即可求出答案. （1）证明：∵AD∥BE， ∴∠A=∠B， 在△ACD和△BEC中， AC=BE∠A=∠BAD=BC， ∴△ACD≌△BEC（SAS）； （2）解：由（1）知△ADC≌△BCE， ∴DC=CE， 又∵CF平分∠DCE， ∴CF⊥DE，DF=EF， ∴CF垂直平分DE， ∵CF=3，DF=4． ∴DE=2DF=8， ∴S△DCE=DE·CF2=8×32=12， 即△DCE的面积是12． 16．【答案】（1）解：∵BD是线段AE的垂直平分线，∴AB=BE，AD=DE，∵△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，∴AB+BE+CE+CD+AD=19，CD+EC+DE=CD+CE+AD=7，∴AB+BE=19−7=12，∴AB=BE=6 （2）解：∵∠ABC=30°，∠C=45°，∴∠BAC=180°−30°−45°=105°，在△BAD和△BED中，BA=BEBD=BDDA=DE，∴△BAD≌△BEDSSS，∴∠BED=∠BAC=105°，∴∠CDE=∠BED−∠C=105°−45°=60° 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出AB=BE，AD=DE，结合△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，可得AB+BE=19−7=12，即可求解； （2）根据三角形内角和是180°求出∠BAC=105°，根据三组对应边分别相等的两个三角形全等可证明△BAD≌△BED，根据全等三角形的对应边相等即可求解. 17．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠A=50°， ∴∠ABC=∠C=12×(180°−50°)=65°， ∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠ABD=∠A=50°， ∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=15° （2）解：∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴DB+DC=DA+DC=AC， ∵AB=AC=7，BC=5， ∴△CBD周长为12． 【解析】【分析】（1）根据题意得到∠ABC的大小，再根据垂直平分线的性质得到DA=DB，∠ABD=∠A=50°，最后求出 ∠CBD的度数； （2）根据垂直平分线的性质得到DA=DB，DB+DC=DA+DC=AC，最后求出周长即可. 18．【答案】（1）见详解；（2）BG=DE+DF，S△ABD，12AC⋅DF，BG=DE+DF；（3）BG与DE的数量关系为BG=2DE，理由见解析；（4）DF=DE+BG 【解析】【解答】解：（1）依题意，AC边上的高BG如图所示： （2）BG=DE+DF； 证明：∵S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴12AC⋅BG=12AB⋅DE+12AC⋅DF， ∵AB=AC， ∴BG=DE+DF； （3）过点B作BG⊥AC交AC于一点G， ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴12AC⋅BG=12AB⋅DE+12AC⋅DF， ∵点D为BC中点， ∴12AB⋅DE=12AC⋅DF， ∵AB=AC， ∴DE=DF； ∵12AC⋅BG=12AB⋅DE+12AC⋅DF，AB=AC， ∴BG=DE+DF， ∴BG=2DE， （4）过点B作BG⊥AC交AC于一点G， ∵S△ADC=S△ADB+S△ACB， ∴12DF×AC=12DE×AB+12BG×AC， ∵AB=AC， ∴DF×AC=DE×AC+BG×AC， 则DF=DE+BG， 【分析】 本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．熟练运用数形结合思想是解题关键. （1）过点B作BE⊥AC交AC于一点E，即可作答． （2）通过观察、测量可确定DE、DF、BG之间的数量关系：BG=DE+DF，根据猜想的数量关系，通过三角形面积之间的关系：S△ABC=S△ABD+S△ACD，代入三角形面积计算公式：S△=12×底×高，化简得：12AC⋅BG=12AB⋅DE+12AC⋅DF，结合AB=AC，化简即可得出答案． （3）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：S△ABC=S△ABD+S△ACD，代入三角形面积计算公式：S△=12×底×高，化简得：12AC⋅BG=12AB⋅DE+12AC⋅DF，由点D为BC中点，可知：12AB⋅DE=12AC⋅DF，由AB=AC，点D是BC中点。结合等腰三角形性质：三线合一可知：DE=DF，等量代换化简得：BG=2DE，即可得出答案． （4）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：S△ADC=S△ADB+S△ACB，代入三角形面积计算公式：S△=12×底×高，化简得：12DF×AC=12DE×AB+12BG×AC，由AB=AC，化简即可得出答案． 19．【答案】（1）55°-α；CG （2）解：CG=BG+2BF， 证明如下： 作点B关于直线AD的对称点P，连接AP，如下图， 由对称的性质可得AB=AP，∠BAD=∠PAD，BF=PF， ∵AB=AC，∴AP=AC， 设∠BAD=∠PAD=β， ∵DAG=55°，∴BAG=∠DAG-∠BAF=55°-β， ∴∠PAG=∠PAD+∠BAD+∠BAG=55°+β， ∵∠BAC=110°，∴∠CAG=∠BAC+∠BAF-∠DAG=55°+β， ∴∠CAG=∠PAG， 在△CAG和△PAG中， AG=AG∠CAG=∠PAGAC=AP ∴△CAG≌△PAG（SAS)，∴CG=PG ∵PG=PF+BF+BG=2BF+BG，∴CG=BG+2BF. 【解析】【解答】解：（1）① ∠CAG =∠BAC-∠EAD-BAD=110°-55°-α=55°-α；②连接AB'，根据对称性可得：∠B'AD=∠BAD=α，又∠EAD=55°，∴∠GAB'=55°-α，又由①知：∠CAG =55°-α，∴∠GAB'=∠CAG，在△CAG和△B'AG中：∵AC=AB=AB'，∠GAB'=∠CAG，AG=AG，∴△CAG≌△B'AG，∴B'G=CG；故答案为：CG；【分析】（1）①根据角度的和差进行计算，即可得出答案；②根据对称性可得∠B'AD=∠BAD=α，结合结论①，可得出∠GAB'=∠CAG，然后根据SAS可证明△CAG≌△B'AG，得出B'G=CG；，即可得出答案；（2）CG=BG+2BF，作点B关于直线AD的对称点P，连接AP，设∠BAD=∠PAD=β，仿（1）①可得∠CAG=55°+β，然后根据SAS证明△CAG≌△PAG，得出CG=PG，进而根据线段的和及对称的性质，得出CG=BG+2BF。 20．【答案】（1）＝ （2）解：①∵NO∥EF，PM∥EF， ∴NO∥PM， ∴∠ONM＝∠NMP， ∵∠PMN＝60°， ∴∠ONM＝∠PMN＝60°， ∵NO平分∠MNO， ∴∠ANO＝∠ONM＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠NOM＝∠ANO＝60°， ∴α＝∠NOM＝60°； ②点N在G的右侧时，如图②， ∵PM∥EF，∠EHD＝α， ∴∠PMD＝α， ∴∠NMD＝60°+α， ∵AB∥CD， ∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α， ∵NO平分∠ANM， ∴∠ANO＝12∠ANM＝30°+12α， ∵AB∥CD， ∴∠MON＝∠ANO＝30°+12α， 点N在G的左侧时，如图， ∵PM∥EF，∠EHD＝α， ∴∠PMD＝α， ∴∠NMD＝60°+α， ∵AB∥CD， ∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON， ∵NO平分∠MNG， ∴∠BNO＝12 [180°﹣（60°+α）]＝60°﹣12α， ∴∠MON＝60°﹣12α， 综上所述，∠MON的度数为30°+12α或60°﹣12α． 综上所述，∠MON的度数为30°+12α或60°﹣12α． 【解析】【解答】解：（1）如图，过点P作PQ∥AB，∴∠PNB=∠NPQ,∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠PMD=∠QPM，∴∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM=∠MPN，故答案为：=.【分析】（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB=∠NPQ,∠PMD=∠QPM，进而可求出等量关系；（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠NOM＝∠ANO＝60°，再利用平行线的性质可求解；②利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解.