第五章 图形的轴对称 单元整体教案-2024-2025学年北师大版数学七年级下册

这是一份第五章 图形的轴对称 单元整体教案-2024-2025学年北师大版数学七年级下册，共14页。
第五章　图形的轴对称5．1　轴对称及其性质1．在生活实例中认识轴对称图形，理解轴对称的概念，能够识别简单的轴对称图形和成轴对称的图形及其对称轴；2．掌握轴对称图形和两个图形成轴对称的性质，会利用其性质解决有关问题．重点掌握轴对称的图形和两个图形成轴对称性质，会利用其性质解决有关问题．难点轴对称图形和两个图形成轴对称的区别．一、导入新课观察下面的图片：面对生活中这些美丽的图片，你是否强烈地感受到美就在我们身边！这是一种怎样的美呢？请谈谈你的感想．二、探究新知探究点一：轴对称图形的概念如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴．如图①是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴，沿对称轴折叠后，点A与点A′重合，点A关于对称轴的对应点是点A′.类似地，线段AB关于对称轴的对应线段是线段A′B′，∠B关于对称轴的对应角是∠B′.你还能在图①中找出其他的对应点、对应线段和对应角吗？探究点二：轴对称图形的性质思考：图②是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴．观察这个图形，回答下列问题：(1)在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有什么关系？为什么？(2)在图中任意选一组对应角，这两个角之间有什么关系，说说你的理由．(3)连接对应点A与点A′，线段AA′与对称轴之间有什么关系？连接其他任意一组对应点再试一试．同学之间相互交流．【类型一】轴对称图形的识别【例1】下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有(　　)A．4个　　　B．3个　　　C．2个　　　D．1个【类型二】判断对称轴的条数【例2】下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是(　　)A．正方形 B．等腰三角形C．长方形 D．圆探究点三：轴对称的概念观察图中的每组图案，你发现了什么？归纳：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴．【类型三】判断两个图形是否成轴对称练习：如图所示，哪一组的右边图形与左边图形成轴对称？探究点四：轴对称的性质如图，将一张纸对折后，用笔尖在纸上扎出数字“14”，再将纸打开后铺平．在铺平的图中：(1)两个“14”之间有什么关系？(2)对应线段之间有什么关系？对应角之间有什么关系？连接对应点的线段与对称轴l之间有什么关系？请举例说明，并与同伴进行交流．归纳：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．【例3】如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠ABC＝125°，AB＝3 cm，EH＝4 cm.(1)试写出EF，AD的长度；(2)求∠EFG的度数；(3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？解：(1)因为四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，AB＝3 cm，EH＝4 cm，所以EF＝AB＝3 cm，AD＝EH＝4 cm.(2)因为∠ABC＝125°，所以∠EFG＝125°.(3)因为对称轴垂直平分对应点的连线，所以直线MN垂直平分BF.三、课堂练习1．如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是(　　)A．130°　　B．150°　　C．40°　　D．65° eq \o(\s\up7(),\s\do5(第1题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 2．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为(　　)A．4 cm2 B．8 cm2 C．12 cm2 D．16 cm23．如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝(　　)A.20°B．30°C．40°D．50°4．如图是一个轴对称图形的一半，直线MN是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半．方法总结：我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可得到．四、课堂小结1．轴对称图形和两个图形成轴对称的定义2．轴对称图形的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．3．画轴对称图形的步骤：(1)找出图形的关键点；(2)根据对称轴确定关键点的对称位置；(3)将找到的对称点顺次连接起来．五、课后作业完成本节课对应练习．本节教学从学生熟知的生活情境出发，让学生初步感知对称的事物，从而引入对称，逐步将实物抽象成平面图形，通过操作实践发现其共同特征，在列举实际生活中的轴对称的例子时，可以让更多的同学发言，让他们知道自然界里隐藏着美妙的数学．5．2　简单的轴对称图形第1课时　等腰三角形的性质1．理解并掌握等腰三角形和等边三角形的性质；2．会运用等腰三角形和等边三角形的性质解决有关问题．重点理解并掌握等腰三角形和等边三角形的性质．难点运用等腰三角形和等边三角形的性质解决有关问题．一、导入新课探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？二、探究新知探究点一：等腰三角形的性质(1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角？(2)等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线？你是如何描述的？(3)你认为等腰三角形有哪些特征？与同伴进行交流．归纳总结：等腰三角形是轴对称图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线是等腰三角形的对称轴．等腰三角形的两个底角相等．【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝CD.求证：∠ABD＝∠ACD.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB.∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB，即∠ABD＝∠ACD.思考：如图所示，△ABC是一个等腰三角形，直线l是它的对称轴．请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形？探究点二：等边三角形的性质想一想(1)等边三角形有几条对称轴？(2)你能发现它的哪些特征？归纳：等边三角形三个内角都相等，且均为60°；等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角平分线所在的直线；等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合．【例2】如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数．解：因为PA＝PQ＝AQ，所以△APQ是等边三角形．所以∠APQ＝∠PQA＝∠QAP＝60°.因为PA＝PB，所以∠B＝∠PAB.又因为∠B＋∠PAB＋∠APB＝∠APB＋∠APQ＝180°，所以∠B＋∠PAB＝∠APQ＝60°.所以∠PBA＝∠PAB＝30°.同理∠QAC＝30°.所以∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°.三、课堂练习1．等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A．65°或50° B．80°或40°C．65°或80° D．50°或80°2．如图，a∥b，△ABC为等边三角形．若∠1＝45°，则∠2的度数为(　　)A．105° B．120° C．75° D．45° eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图)) 3．如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AC边于点E，则∠DEC的度数为(　　)A．60° B．75° C．75° D．115°4．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角等于(　　)A．15°或75° B．30°C．150° D．150°或30°5．如图，已知△ABC为等腰三角形，BD，CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，试说明：EC∥DF.四、课堂小结1．等腰三角形和等边三角形的性质；2．在本节学习过程中用到了哪些数学思想？(方程思想、转化思想、分类讨论思想)五、课后作业完成本节课对应练习．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高．第2课时　线段垂直平分线的性质及画法1．理解线段的垂直平分线的概念；2．探索并掌握线段的垂直平分线的性质定理及画法；3．能运用线段的垂直平分线的性质进行证明或计算．重点掌握线段的垂直平分线的性质定理．难点用尺规作图作线段的垂直平分线，并能解决一些实际问题．一、导入新课1．我们学过轴对称图形，这类图形因为具有轴对称的特征而显得匀称美丽．那么什么样的图形是轴对称图形？2．我们学过的图形中，有哪些图形是轴对称图形？3．线段是轴对称图形吗？如果是，请描述它的对称轴的特点．二、探究新知探究点一：线段垂直平分线的性质在纸片上画一条线段AB，然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O.你发现了什么？归纳总结线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线(简称中垂线).思考：如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点．在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D’，连接CD和CD′.(1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由．(2)特别地，当点D与点A重合时，点D′位于什么位置？此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗？由此你能得到什么结论？总结：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．【例1】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，求△ABC的周长．解：因为DE是AC的垂直平分线，所以AD＝CD，AC＝2AE＝6 cm.因为△ABD的周长为13 cm，所以AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝13 cm.所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝13＋6＝19(cm).探究点二：线段垂直平分线的作图思考：如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线假设线段AB的垂直平分线已作出，那么(1)这条直线有什么特征？(2)如何确定这条直线上的两个点？用三角尺、量角器、圆规等工具试一试．如果只用尺规呢？与同伴进行交流．【例1】利用尺规，作线段AB的垂直平分线．作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于 eq \f(1,2) AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；2．作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．思考：为什么直线CD是线段AB的垂直平分线，说说这样作的理由．三、课堂练习1．如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.试说明：∠B＝∠CAF. eq \o(\s\up7(),\s\do5(第1题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 2．如图，已知AB是CD的垂直平分线，下列结论：①CO＝DO；②AO＝BO；③AB⊥CD；④CD⊥AB.正确的有(　　)A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个3．如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为(　　)A．22厘米 B．16厘米C．26厘米 D．25厘米 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图)) 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.试说明：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD. eq \o(\s\up7(),\s\do5(第4题图)) 四、课堂小结1．线段垂直平分线的定义2．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．五、课后作业完成本节课对应练习．本节课通过动手操作同学们很轻松地理解了线段垂直平分线的概念，在老师的指导下，对线段垂直平分线性质的探究也非常顺利，为后面的练习奠定了基础．在利用尺规作图解决实际问题时，让同学们充分感受到教学来源于生活，反过来又服务于生活．第3课时　角平分线的性质及画法1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；2．能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题．重点掌握角的平分线的性质定理．难点运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题．一、导入新课问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：新修建的两条最短管道的长有什么关系？二、探究新知探究点一：角的轴对称性角(如图①、图②)是生活中常见的图形．角是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴．如图②，将∠AOB对折，你发现了什么？总结：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．探究点二：角平分线的性质如图③，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点．在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D’，连接CD和CD′.(1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由．(2)特别地，当CD⊥OA时(如图④)，CD′与OB有怎样的位置关系？为什么？此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗？由此你能得到什么结论？归纳总结性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．应用所具备的条件：(1)点在角的平分线上；(2)到角两边的距离．几何语言：因为OC是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CD′⊥OB，所以CD＝CD′探究点三：角平分线的画法【例1】如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是10 cm2，AB＝6 cm，AC＝4 cm，求DE的长．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC＝10，∴ eq \f(1,2) AB·DE＋ eq \f(1,2) AC·DF＝10.∴3DE＋2DF＝10.∴5DE＝10.∴DE＝2 cm.【例2】利用尺规，作∠AOB的平分线．作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；(2)分别以点M、点N为圆心，大于 eq \f(1,2) MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；(3)作射线OC.射线OC即为所求．三、课堂练习1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD为(　　)A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第1题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 2．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF.3．如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．4．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于 eq \f(1,2) EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝130°，求∠MAB的度数．四、课堂小结1．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的作法．五、课后作业完成本节课对应练习．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练．☆　问题解决策略：转化理解转化思想的含义并能运用转化思想解决数学问题．重点运用转化思想来解决数学问题．难点寻找转化的方法．一、提出问题如图，甲、乙两个居民楼在一条道路的同一侧，要在道路旁建一个快递自助取货柜．你认为自助取货柜应建在什么地方，才能使甲、乙两个居民楼到它的距离之和最短？二、理解问题如果把两个居民楼和自助取货柜所在的位置都看作点，道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画．问题：如图①，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．三、拟定计划(1)你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你有哪些认识？(2)相信你能解决以下问题：如图②，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC＋CB最短．原问题与此图这个问题有什么区别和联系？你能将原问题转化为此图这样的问题吗？说说你的想法．思考：1．若点B与点A在直线异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小；2．现在点B与点A在直线同侧，能否将点B移到l的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB＝CB′？3．你能根据轴对称的知识，找到(2)中符合条件的点B′吗？四、实施计划(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求．你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知BC＝B′C，BC′＝B′C′，∴AC＋BC＝AC＋CB′＝AB′，AC′＋C′B＝AC′＋C′B′.∵在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′，即AC＋BC最短．五、回顾反思(1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？(2)利用转化策略解决问题时，需要注意些什么？六、课堂练习1．下列说法中不正确的是(　　)A．角是轴对称图形B．角平分线是角的对称轴C．将∠AOB对折，边OA与边OB重合，折痕所在的直线是∠AOB的对称轴D．角可以看作是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形2．如图是一块三角形的草坪(△ABC)，现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　)A．△ABC三条边的垂直平分线的交点B．△ABC三个内角的角平分线的交点C．△ABC三角形三条边上的高的交点D．△ABC三角形三条中线的交点 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图)) 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D.若AC＝3，则AE＋DE的长为(　　)A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．54．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8 cm，点D到AB的距离为3 cm，则BD的长是(　　)第4题图A．3 cmB．8 cmC．6 cmD．5 cm七、课堂小结利用转化的思想解决有关数学问题，就是要把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的．八、课后作业如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么OB与OC相等吗？请说明理由．本节课是将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，通过实例和练习让同学们感受到转化是解决数学问题的一种重要策略，也是我们今后学习中经常会用到的数学方法之一．