2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 029-第八节 直线与圆锥曲线的位置关系（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 029-第八节 直线与圆锥曲线的位置关系（教用），共15页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。
第八节 直线与圆锥曲线的位置关系
课标要求
1.会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，能够根据位置关系求所含参数的值（或范围）.
2.会利用根与系数的关系解决弦长、中点弦问题.
3.理解“设而不求”的思想，能解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的综合应用问题.
回归教材 强基础
1.直线与圆锥曲线的位置关系
（1）从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交.
①i.直线与椭圆有两个公共点⇔ 相交.
ii.直线与椭圆只有一个公共点⇔ 相切.
iii.直线与椭圆没有公共点⇔ 相离.
②i.直线与双曲线有两个公共点⇒ 相交.
ii.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能满足直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的某条渐近线平行.
iii.直线与双曲线没有公共点⇔ 相离.
③i.直线与抛物线有两个公共点⇒ 相交.
ii.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能满足直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
iii.直线与抛物线没有公共点⇔ 相离.
（2）从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数确定直线与圆锥曲线的位置关系.
设直线l的方程与圆锥曲线方程联立消元后得到ax2+bx+c=0(b≠0).
①若a=0，则当圆锥曲线是双曲线时，l与双曲线的某条渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合.
②若a≠0，则Δ=b2−4ac，
i.Δ>0时，l与圆锥曲线相交于两点；
ii.Δ=0时，l与圆锥曲线相切于一点；
iii.Δb>0)一定相交.（ ）
（3） 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切.（ ）
（4） “直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） ×
2．（人教A版选择性必修第一册P114例7改编）直线y=x+1与椭圆x25+y24=1的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法判断
【答案】A
【解析】解法一（通解）：联立y=x+1,x25+y24=1,消去y得9x2+10x−15=0，则Δ=100−4×9×(−15)>0，所以直线与椭圆相交.
解法二（优解）：直线过点(0,1)，而0+140，即−320，∴y1+y2=4m，
∴x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=4m2+2，
∴|AB|=x1+x2+p=4m2+4=8，
解得m=±1，
∴l的方程为x−y−1=0或x+y−1=0.
例5 （2025·全国Ⅱ卷·16，15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,长轴长为4.
（1） 求C的方程；
（2） 过点(0,−2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为2,求|AB|.
【解析】
（1） 由题意，得ca=22,2a=4,
解得a=2,c=2,
所以b=a2−c2=2，
故C的方程为x24+y22=1.
（2） 由题意知，直线l的斜率必存在.
设直线l的方程为y=kx−2，A(x1,y1)，B(x2,y2).
联立x24+y22=1,y=kx−2, 消去y，得(1+2k2)x2−8kx+4=0，
由Δ=(−8k)2−4×4(1+2k2)>0，
得k2>12,
由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=8k1+2k2，x1x2=41+2k2，
所以|AB|=1+k2|x1−x2|
=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2
=1+k2⋅(8k1+2k2)2−4⋅41+2k2
=41+k2⋅2k2−11+2k2.
又原点O到直线l的距离d=2k2+1，且△OAB的面积为2，
所以12⋅41+k2⋅2k2−11+2k2⋅2k2+1=2，解得k2=32，满足Δ>0，
所以|AB|=41+k2⋅2k2−11+2k2=5.
考点三 中点弦问题考教衔接
例6 ［2023·全国乙卷（理）·11，5分］设A,B为双曲线x2−y29=1上两点，下列四个点中，可以为线段AB中点的是（ ）
A. (1,1)B. (−1,2)C. (1,3)D. (−1,−4)
【答案】D
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(x1+x22,y1+y22)，∵ 四个选项中的横、纵坐标均不为0，∴x1≠x2,y1≠y2，∴kAB=y1−y2x1−x2,设过原点与线段AB的中点的直线的斜率为k，则k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2，∵A,B在双曲线x2−y29=1上，
∴x12−y129=1,x22−y229=1,两式相减得(x12−x22)−y12−y229=0，∴kAB⋅k=y12−y22x12−x22=9.
对于A,易得k=1,则kAB=9，则直线AB的方程为y=9x−8，
联立y=9x−8,x2−y29=1,消去y得72x2−144x+73=0，此时Δ=1442−4×72×73=−288