新高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十七）直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）

课时跟踪检测（四十七）  直线与圆锥曲线的位置关系

一、综合练——练思维敏锐度

1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．2

C．1或2  D．0

解析：选A　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．

2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝(　　)

A.  B．

C．5  D．

解析：选D　过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.∵p＝2，∴|AB|＝2＋＝.

3．(2021·佛山模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为(　　)

A．2  B．

C.  D．

解析：选D　∵过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝x平行，∴＝1，由e＝＝＝.

4．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　　)

A．y＝x－1  B．y＝－2x＋5

C．y＝－x＋3  D．y＝2x－3

解析：选D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴＝＝＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.

5．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是(　　)

A．直线AB与OM垂直

B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0

C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为

D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝

解析：选BD　对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－＝    －2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，

所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；

对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1·4＝4≠－2，所以C项不正确；

对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得：3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝＝，所以D项正确．

6.如图，过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若<k<，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C　由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝.又<k<，所以<<，化简可得<<，从而可得<e<，选C.

7．(2021·漳州质检)已知双曲线E：－＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的方程为(　　)

A．4x＋y－1＝0  B．2x＋y＝0

C．2x＋8y＋7＝0  D．x＋4y＋3＝0

解析：选C　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则有两式相减得＝，

即＝×.

又线段AB的中点坐标是，

因此x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，

＝－，＝－，

即直线AB的斜率为－，

直线l的方程为y＋1＝－，

即2x＋8y＋7＝0.

8．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，O为坐标原点，则       S△AOB＝(　　)

A．2  B．

C.  D．3

解析：选A　由题意知抛物线的焦点为F(1,0)，设直线l：y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

所以x1＋x2＝2＋，x1x2＝1，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝2k＋－2k＝，所以线段AB的中点为，线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－.因为线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0)，

所以0－＝－，解得k＝±1，所以直线AB的方程为y＝±(x－1)，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0，所以点O到直线AB的距离d＝＝.又|AB|＝|x1－x2|＝＝×＝8，所以S△AOB＝××8＝2，故选A.

9．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．

解析：如图，记椭圆的右焦点为F′，取PF的中点为M，

由题意知，a＝3，b＝，∴c＝2，

连接OM，PF′，

则|OM|＝|OF|＝2，

又∵M为PF中点，O为FF′中点，

∴|PF′|＝2|OM|，PF′∥OM，∴|PF′|＝4，

又∵P在椭圆上，∴|PF′|＋|PF|＝6，∴|PF|＝2，

在△PFF′中，|PF′|＝|FF′|＝4，|PF|＝2，

连接F′M，则F′M⊥PF，

∴|F′M|＝＝＝，

∴kPF＝tan∠PFF′＝＝＝.

答案：

10．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．

解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.则|AB|＝·|x1－x2|＝

＝ ＝.

答案：

11．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是______________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，又点A，B在抛物线y2＝4x上，所以两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则＝＝2，即直线AB的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

答案：2x－y－1＝0

12．已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线与抛物线交于点A，B，＝3，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为________．

解析：设直线AB的方程为x＝my＋，

x＝my＋与y2＝4x联立可得

y2－4my－8＝0，yAyB＝－8，

∵＝3，∴yB＝－yA，y＝24⇒yA＝±2，

则24＝4xA，

可得xA＝3，AM＝xA＋＝3＋＝4，

四边形AMCF的面积为(CF＋AM)×|yA|

＝×(2＋4)×2＝12.

答案：12

13．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点．

解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，

得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.　　　　 ③

方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．

这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．

(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．

这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

14．(2020·天津高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点C满足3＝，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程．

解：(1)由已知可得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3.又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18.

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．

设直线AB的方程为y＝kx－3.

联立消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，

解得x＝0或x＝.

依题意，可得点B的坐标为.

因为P为线段AB的中点，点A的坐标为，

所以点P的坐标为.

由3＝，得点C的坐标为(1,0)，

故直线CP的斜率为＝.

又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，

整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.

所以直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3.

二、自选练——练高考区分度

1.(多选)如图，过点P(2,0)作两条直线x＝2和l：x＝my＋2(m>0)分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D(其中A，C位于x轴上方)，直线AC，BD交于点Q.则下列说法正确的是(　　)

A．C，D两点的纵坐标之积为－4

B．点Q在定直线x＝－2上

C．点P与抛物线上各点的连线中，PA最短

D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP

解析：选AB　设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，将直线l的方程x＝my＋2代入抛物线方程y2＝2x得：y2－2my－4＝0.

则y1y2＝－4，故A正确；

由题得A(2,2)，B(2，－2)，

直线AC的方程为y－2＝(x－2)，

直线BD的方程为y＋2＝(x－2)，

消去y得x＝，

将y1y2＝－4代入上式得x＝－2，故点Q在直线x＝－2上，故B正确；

设抛物线y2＝2x的任一点M的坐标为，

则MP＝ ＝ .

当a2＝2时，MP取得最小值，又PA＝2>，故C错误；

因为PA＝PB，但QA≠QB，所以D错误．

2．过抛物线y2＝mx(m>0)的焦点F作斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l有公共点M，若|MF|＝，则|AB|＝________.

解析：不妨设A在x轴上方，根据抛物线的性质可得，以AB为直径的圆与准线l有公共点M，∴MA⊥MB，

取AB中点C，连接MC，如图．

根据抛物线性质，

∴MC平行于x轴，且MF⊥AB，

∴|MF|2＝|AF|·|BF|，

∵直线AB过抛物线y2＝mx(m＞0)的焦点F且斜率为2，

根据抛物线的定义和直角梯形的性质可得|AF|＝2|BF|，

∵|MF|＝，∴()2＝2|BF|2，

∴|BF|＝1，|AF|＝2，∴|AB|＝3.

答案：3

3．(2020·北京高考)已知椭圆C：＋＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点B(－4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求的值．

解：(1)因为a＝2b，所以椭圆的方程为＋＝1，

又因为椭圆过点A(－2，－1)，所以有＋＝1，解得b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由题意知直线MN的斜率存在．

当直线MN的斜率为0时，不妨设M(－2，0)，N(2，0)，

则直线MA：y＝(x＋2)，

直线NA：y＝(x－2)，

则yP＝，yQ＝－，＝1.

当直线MN的斜率不为0时，设直线MN：x＝my－4(m≠0)，与椭圆方程＋＝1联立，

化简得(m2＋4)y2－8my＋8＝0，

Δ＝64m2－32(m2＋4)＝32(m2－4)>0，解得m2>4.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则y1y2＝，y1＋y2＝.

直线MA的方程为y＋1＝(x＋2)，

则P，即P.

直线NA的方程为y＋1＝(x＋2)，

则Q，即Q.

所以＝＝

＝＝＝1.

综上，＝1.