北师大版 (2019)必修 第二册简单几何体的再认识优秀导学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册简单几何体的再认识优秀导学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 棱柱的侧面积和表面积
【知识点的认识】
棱柱是底面为多边形的几何体，侧面为平行四边形．棱柱的主要特征包括底面周长P和高h．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为底面周长P与高h的乘积，即P⋅ℎ．
﹣表面积：包括底面和顶面的面积及侧面的面积，计算公式为2B+P⋅ℎ，其中B为底面的面积．
1．高中某DIY社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为32cm，则该正四棱柱侧面积的最大值为 18 cm2．
【答案】18．
【解答】解：设正四棱柱上底面所在圆的半径为r，高为h，
则正四棱柱底面棱长为2r，
因为圆锥的底面圆半径为3，高为32，
且r3=32−ℎ32，
得ℎ=2(3−r)，
所以正四棱柱的侧面积为S=42r×2(3−r)=8r(3−r)=−8(r−32)2+18，
当r=32时，侧面积的最大值为18．
故答案为：18．
▉题型2 棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
棱台1．底面是多边形2．侧面是梯形3．两底面互相平行4．平行于底面的截面与底面相似
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台=13×(S+S′+S×S′)×ℎ．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：侧面体形的面积之和．
﹣表面积：侧面积与上下底面的面积之和．
2．正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积和体积分别为（ ）
A．1621+603；263B．1621+603；523
C．2421+603；783D．2421+603；843
【答案】C
【解答】解：如图在正六棱台ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，
因为A1B1＝2，AB＝6，AA1＝5，
所以侧面的梯形ABB1A1的高即正六棱台斜高为：52−(6−22)2=21，
所以梯形ABB1A1的面积为：S=12×(2+6)×21=421，
所以该正六棱台的上底面积为：S1=6×12×2×2×sin60°=63，
同理下底面积为：S2=6×12×6×6×sin60°=543，
所以正六棱台的表面积为：6S+S1+S2=2421+603，
正六棱台的高为OO1=52−(6−2)2=3，
所以正六棱台的体积为：V=13(S1+S2+S1S2)ℎ=13×(63+543+63×543)×3=783，
故选：C．
▉题型3 棱柱的体积
【知识点的认识】
棱柱的体积可以通过底面面积B和高度h计算．底面为多边形的几何体．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为V=B⋅ℎ．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
（多选）3．如图所示，PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，PA＝AB＝2，⊙O上异于A，B一点，且E，F分别是点A在PB，PC上的投影，则下列说法正确的是（ ）
A．EF∥平面ABC
B．AF⊥PB
C．AF2+EF2＝2
D．当三棱锥P﹣AEF的体积最大时，PC与底面ABC所成的角为π3
【答案】BCD
【解答】解：对于A，由题意得AE⊥PB，∵PA＝AB，
∴E为PB的中点，
连接AC，由题意得AF⊥PC，∵PA≠AC，
∴F不是PC的中点，故EF与BC不平行，
∴在平面PBC内，直线EF与BC为相交直线，
故EF与平面ABC相交，故选项A错误；
对于B，∵C是⊙O上异于A、B的一点，∴AC⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，
∵PA∩AC＝A，PA、AC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
∵AF⊂平面PAC，∴AF⊥BC，
∵AF⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，
∴AF⊥平面PBC，
∵PB⊂平面PBC，∴AF⊥PB，故选项B正确；
对于C，∵PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，
∵PA＝AB＝2，∴PB=PA2+AB2=22，
∵E为PB的中点，∴AE=12PB=2．
∵AF⊥平面PBC，EF⊂平面PBC，∴AF⊥EF，
∴AF2+EF2＝AE2＝2，故选项C正确；
对于D，由选项B得，AF⊥PB．
∵AE⊥PB，AE∩AF＝A，AE、AF⊂平面AEF，∴PB⊥平面AEF，
∵PE=12PB=2，AF⊥EF，
∴三棱锥P﹣AEF的体积VP−AEF=13S△AEF⋅PE=26⋅AF⋅EF．
∵AF2+EF2＝AE2＝2，∴AF⋅EF≤AF2+EF22=1，当且仅当AF＝EF＝1时等号成立，
此时三棱锥P﹣AEF的体积最大，
由AF⊥PC，AF＝1，PA＝2，得∠APF=π6，
由PA⊥平面ABC得PA⊥AC，且∠PCA为PC与底面ABC所成的角，
∴∠PCA=π2−π6=π3，
即PC与底面ABC所成的角为π3，故选项D正确．
故选：BCD．
4．我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出以下体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理计算球的体积时，如图1，将同底等高的半球与圆柱放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，用任意一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．已知平面α截半球所得截面是半径为1的圆，则平面α截新几何体所得截面面积为 π ．如图2是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为 43 ．
【答案】π；43．
【解答】解：第一空：由祖暅原理可得，平面α截新几何体所得截面面积为πr2＝π×1＝π；
第二空：如图，
设截面与底面的距离为h，平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷所得截面为A′B′C′D′，
设底面中心为O，截面A′B′C′D′中心为O′，则O′C′=1−OO′2=1−ℎ2，
所以B′C′=2⋅1−ℎ2，所以截面为A′B′C′D′的面积为2（1﹣h2），
设截面截正四棱柱得四边形为A1B1C1D1，截正四棱锥得四边形为A2B2C2D2，
底面中心O与截面A2B2C2D2中心O2之间的距离为OO2＝h，
在正四棱柱中，底面正方形边长为2，高为1，AO＝1，
所以∠AOA2＝∠COC2＝45°，所以∠A2OC2＝90°，△A2OC2为等腰直角三角形，
所以A2C2＝2h，所以四边形A2B2C2D2边长为2ℎ，所以四边形A2B2C2D2面积为2h2，
所以图2中阴影部分的面积为SA1B1C1D1−SA1B2C2D2=2−2ℎ2，与截面AB′C′D′面积相等，
由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
即V帐篷=V四棱柱−V四棱锥=(2)2×1−13×(2)2×1=43．
故答案为：π；43．
▉题型4 棱锥的体积
【知识点的认识】
棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为V=13B⋅ℎ．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=23BC=2，PA=PB=6，PC=PD=3，则该四棱锥的体积为（ ）
A．1B．2C．233D．2103
【答案】B
【解答】解：如图，
取AB，CD的中点E，F，连接PE，PF，EF，
则PE⊥AB，EF⊥AB，且PE∩EF＝E，PE，EF⊂平面PEF，
故AB⊥平面PEF，
AB⊂平面ABCD，故平面ABCD⊥平面PEF，
平面ABCD∩平面PEF＝EF，
过P作EF的垂线，垂足为O，即OP⊥EF，OP⊂平面PEF，故OP⊥平面ABCD，
由题意可知PE=PA2−(12AB)2=6−1=5，PF=PC2−(12CD)2=3−1=2，EF=3，
由余弦定理可得cs∠PFE=PF2+FE2−PE22PF⋅FE=2+9−52×3×2=22，
因为∠PFE∈（0，π），所以∠PFE=π4，
故OF=OP=22PF=1，
所以四棱锥的高为1，则四棱锥的体积为V=13SABCD⋅OP=13×6×1=2．
故选：B．
6．如图，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，且BE＝1，BC＝2，△ABC的面积为3，若点P为线段DE上一点，则三棱锥P﹣ACE的最大体积为（ ）
A．33B．1C．3D．32
【答案】B
【解答】解：过点A作AF⊥CB的延长线于F，在线段ED上任取一点P，连接CP，AP，
因为平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，AF⊂平面ABC，所以AF⊥平面BCDE，
又因为△ABC的面积为3，BC＝2，所以S△ABC=12BC⋅AF=3，所以AF＝3，
所以VP−ACE=VA−PEC=13S△PEC⋅AF≤13S△EDC⋅AF=13×12×2×1×3=1，
当P在点D时，取等号，故三棱锥P﹣ACE的最大体积为1．
故选：B．
（多选）7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，AD＝3，AA1＝4，点P为侧面BCC1B1内一点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．直线AP与平面ADD1A1所成角的最大值为π4
B．若P到直线C1D1的距离等于到点B的距离，则点P的轨迹为抛物线的一部分
C．三棱锥P﹣ADD1的体积为定值
D．当BP＝2时，点P的轨迹长度为π
【答案】CD
【解答】解：对于选项A：因为线面夹角最大为π2，
所以当P和B重合时，直线AP与平面ADD1A1所成角最大为π2，故选项A错误；
对于选项B：如图示：
在平面BCC1B1内，P到直线C1D1的距离等于PC1，
所以PC1＝PB，即P的轨迹为直线，故选项B错误；
对于选项C：如图示：
三棱锥P﹣ADD1的底面ADD1固定，高为P到平面ADD1的距离，
由于P在侧面BCC1B1内运动，平面BCC1B1和平面ADD1平行，
则高为两平面间的距离，且保持不变，故体积是定值，故选项C正确；
对于选项D：如图示：
当BP＝2时，在矩形BCC1B1中，
以B为圆心，2为半径画圆，与侧面交出的MN长为圆周长的14，即2πr4=4π4=π，故选项D正确．
故选：CD．
（多选）8．在矩形ABCD中，AB＝1，BC=3，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为△A'BD，连接A′C得到三棱锥A′﹣BCD，在翻折过程中，（ ）
A．三棱锥A′﹣BCD体积的最大值为14
B．点A′，B，C，D都在同一球面上
C．存在点A′在某一位置时，可使BD⊥A′C
D．当A′B⊥DC时，A′C=2
【答案】ABD
【解答】解：如图所示：分别过A，C作AM⊥BD，CN⊥BD，
对于选项A，当平面A′BD⊥平面BCD时，
三棱锥A′﹣BCD的高最大为A′M=AM=AB⋅ADAB2+AD2=1×32，
所以三棱锥A′﹣BCD体积的最大值为13×12×1×3×32=14，故选项A正确；
对于选项B，因为∠BA′D＝∠BCD＝90°，
BD的中点为O，则OB＝OD＝OC＝OA′，
故O为三棱锥A′﹣BCD的外接球球心，故选项B正确；
对于选项C，若存在点A′在某一位置，使BD⊥A′C，连接A′N，
由于BD⊥A′C，CN⊥BD，A′C∩CN＝C，A′C，CN⊂平面A′CN，
则BD⊥平面A′CN，又A′N⊂平面A′CN，
所以A′N⊥BD，这与A′M⊥BD相矛盾（M，N不重合），
所以不存在点A′在某一位置，使BD⊥A′C，故选项C错误；
对于选项D，当A′B⊥DC，又BC⊥DC，A′B∩BC＝B，
A′B∩BC＝B，A′B，BC⊂平面A′BC，
所以DC⊥平面A′BC，又A′C⊂平面A′BC，
所以DC⊥A′C，又A′D=3，CD＝1，所以A′C=3−1=2，故选项D正确．
故选：ABD．
▉题型5 棱台的体积
【知识点的认识】
棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为V=13ℎ(B1+B2+B1B2)．
﹣底面面积计算：两个底面的面积B1和B2可以根据底面多边形的性质计算．
9．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为28，AB＝4，A1B1＝2，则正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为（ ）
A．20+610B．16+1210C．20+1210D．20+2410
【答案】C
【解答】解：如图，连分别取B1D1，BD中点为O1，O，连接O1O，
过D1做O1O平行线，交BD于E，
设正四棱台的高为h，又正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为28，AB＝4，A1B1＝2，
所以13×(4+16+8)×ℎ=28，所以h＝3，
又B1D1=22，BD=42⇒DE=12(BD−B1D1)=2，
则DD1=CC1=DE2+D1E2=11．
过C1做DC垂线，垂足为F，则FC=12(DC−D1C1)=1，
所以侧面梯形的高为FC1=C1C2−FC2=10，
所以四个侧面面积之和为：4×12×(2+4)×10=1210，
又上下底面面积之和为：22+42＝20，
故表面积为：20+1210．
故选：C．
10．正四棱台的上、下底面棱长分别是1和5，且棱台的侧棱长为5，则该棱台的体积是（ ）
A．1243B．31317C．31315D．31321
【答案】B
【解答】解：因为正四棱台的上、下底面棱长分别是1和5，且棱台的侧棱长为5，
所以棱台的高ℎ=52−(522−22)2=17，
所以该圆台的体积为13×(1+25+5)×17=31317．
故选：B．
11．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱与底面所成的角为45°，A1B1=2AB=22，则该四棱台的体积为 143 ．
【答案】143．
【解答】解：如图，
由已知，AC=2AB=2，A1C1=2A1B1=4，
因为侧棱与底面所成的角为45°，所以该四棱台的高h=A1C1−AC2=1，
所以该四棱台的体积V=13(2+8+2×8)×1=143．
故答案为：143．
12．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为32cm，24cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 148cm3 ．
【答案】148cm3．
【解答】解：依题意，该四棱台的上、下底面边长分别为8cm，6cm，而棱台的高为3cm，
所以该香料收纳罐的容积为13×3×(82+8×6+62)=148cm3．
故答案为：148cm3．
▉题型6 圆柱的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆柱的侧面积和表面积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为2πrℎ．
﹣表面积：包括两个底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为2πr2+2πrℎ．
13．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，世界“最大最重”陀螺就出自六盘水（水城区野玉海景区），重达3018斤，直径98cm，高115cm，可视作一个圆柱和一个圆锥的组合体，圆柱部分的高是陀螺高的35，则圆柱部分的侧面积为（ ）
A．6726πcm2B．9136πcm2C．6762πcm2D．9163πcm2
【答案】C
【解答】解：由题可得整体的高为115cm，
所以陀螺圆柱部分的高为35×115=69cm，
故圆柱部分的侧面积为98π•69＝6762πcm2．
故选：C．
14．已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为 π2 ．
【答案】π2．
【解答】解：设圆柱的半径为r，
作出圆锥的轴截面，如图：
由圆锥的底面半径为1，高为1，
可得r1=1−x1，即r＝1﹣x，0＜x＜1，
则圆柱的侧面积S＝2πrx＝2π（1﹣x）x，（0＜x＜1），
而S=2π(−x2+x)=2π[−(x−12)2+14]，
∴当x=12时，圆柱的侧面积S取最大值π2．
故答案为：π2．
15．已知一圆柱的底面半径r＝2，母线长l与底面圆的周长相等，则该圆柱的表面积为 16π2+8π ．
【答案】16π2+8π．
【解答】解：由题意，一圆柱的底面半径r＝2，母线长l与底面圆的周长相等，
可得圆柱的母线l＝2πr＝4π，
所以该圆柱的表面积S＝2πrl+2πr2＝16π2+8π．
故答案为：16π2+8π．
16．将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为 22π ．
【答案】22π
【解答】解：由题意可得圆锥的底面半径r=2，母线长为l＝2．
则圆锥的侧面积S=πrl=22π．
故答案为：22π．
▉题型7 圆锥的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆锥的侧面积和表面积依赖于底面圆的半径r、母线长度l和底面圆的面积．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为πrl．
﹣表面积：包括底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为πr2+πrl．
17．已知一个圆锥的底面半径为3，其体积为12π，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．6πB．9πC．12πD．15π
【答案】D
【解答】解：设圆锥的高为h，母线长为l，则V=13π×32ℎ=12π，可得h＝4，
母线长l=32+42=5．
∴该圆锥的侧面积为S＝π×3×5＝15π．
故选：D．
18．已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．4πB．12πC．16πD．1623π
【答案】B
【解答】解：根据题意，圆锥的底面半径为2，高为42，
则该圆锥的母线长l=4+32=6，
则其侧面积S＝πrl＝12π．
故选：B．
19．已知某圆锥的底面半径和球的半径都为3，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（ ）
A．317πB．217πC．315πD．215π
【答案】A
【解答】解：设圆锥的高为h，
又圆锥的底面半径和球的半径都为3，
则母线长L=ℎ2+(3)2=ℎ2+3．
根据已知条件有13⋅π⋅(3)2⋅ℎ=43⋅π⋅(3)3，
解得ℎ=43，
所以L=ℎ2+3=51．
故圆锥的侧面积S=π3⋅L=π3⋅51=317π．
故选：A．
20．某圆锥的体积为33π，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（ ）
A．π3B．π2C．2π3D．π
【答案】D
【解答】解：设圆锥的高为h，又圆锥的体积为33π，底面半径为1，
所以13πℎ=33π，解得ℎ=3，可得母线长为12+(3)2=2，
所以圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为2π2=π．
故选：D．
▉题型8 圆台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆台的侧面积和表面积依赖于底面和顶面圆的半径r1、r2以及母线l和两个底面圆的面积．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为π（r1+r2）l．
﹣表面积：包括两个底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为πr12+πr22+π(r1+r2)l．
21．中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展．现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（ ）
A．(40+1211)π7cm2B．(80+2411)π7cm2
C．(40+2411)π7cm2D．(80+1211)π7cm2
【答案】B
【解答】解：将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，
可得圆台体积V=43πR3=32π3cm3，
如图所示，设圆台较大的底面半径为O1A＝2r，则较小的底面半径为O2B＝r，
于是V=13(πr2+4πr2+2πr2)⋅2=32π3，解得r=47cm，
过点B作BB1⊥O1A，垂足为B1，由圆台的结构特征得BB1⊥底面O1，
母线l=AB12+BB12=(47)2+22=2117，
圆台表面积S=π[(47)2+(87)2+(47+87)⋅2117]=(80+2411)π7(cm2)．
故选：B．
22．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）
A．7B．6C．5D．3
【答案】A
【解答】解：设上底面半径为r，
因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，
所以π（r+3r）l＝84π，解得r＝7，
所以圆台较小底面的半径为7．
故选：A．
23．《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ）
A．51+π24πB．51+4π24π
C．51+π22πD．51+4π22π
【答案】B
【解答】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，
则有2πr＝2，2πR＝3，
解得r=1π，R=32π，
又圆台的高为1丈，
所以圆台的母线长为l=12+(R−r)2=1+4π22π，
所以圆台的侧面积为S=π(R+r)⋅l=π×(1π+32π)×4π2+12π=51+4π24π．
故选：B．
24．已知一个圆台的上下底面直径分别为6和8，母线长为2，则该圆台的侧面积为 72π ．
【答案】72π．
【解答】解：因为圆台的上下底面直径分别为6和8，
所以圆台的上下底面半径为3和4，
根据题意可知：圆台的侧面积为π×(3+4)×2=72π．
故答案为：72π．
▉题型9 圆柱的体积
【知识点的认识】
圆柱的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为V=πr2ℎ．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆柱尺寸进行体积计算．
25．已知一圆柱的底面半径为2，体积为16π，若该圆柱的底面圆周都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A．32πB．40πC．64πD．80π
【答案】A
【解答】解：设圆柱高为h，由已知得，圆柱底面半径为r＝2，所以π×22h＝16π，h＝4，
圆柱的轴截面是球O的大圆的内接矩形，矩形的对角线是球的直径，
设球半径为R，
则2R=ℎ2+(2r)2=42+42=42，R=22，
球表面积为S=4πR2=4π×(22)2=32π．
故选：A．
▉题型10 圆锥的体积
【知识点的认识】
圆锥的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆锥的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为V=13πr2ℎ．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆锥尺寸进行体积计算．
26．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（ ）
A．9πB．12πC．16πD．20π
【答案】B
【解答】解：由题意，可得底面半径r=l2−ℎ2=52−42=3，
则V=13πr2ℎ=13π×32×4=12π．
故选：B．
27．已知Rt△ABC，分别以直角边AC，以直角边BC，以斜边AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的三个几何体的体积为V1，V2，V，则V1，V2，V的关系为（ ）
A．V＝V1+V2B．1V=1V1+1V2
C．1V2=1V12+1V22D．V2=V12+V22
【答案】C
【解答】解：以直角边AC所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为V1=13×b×πa2=13πa2b，
以直角边BC所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为V2=13×a×πb2=13πab2，
以斜边AB所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为V=13×c×π(abc)2=13cπa2b2，
所以1V12+1V22=(3πa2b)2+(3πab2)2=9(a2+b2)π2a4b4=9c2π2a4b4=1V2，
所以1V2=1V12+1V22．
故选：C．
28．半径为4的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）
A．23π3B．43π3C．83π3D．163π3
【答案】C
【解答】解：显然圆锥的母线长为 l＝4，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝4π，即r＝2，
所以圆锥的高ℎ=l2−r2=23，
圆锥的体积 V=13⋅πr2⋅ℎ=13×4π×23=83π3，
故选：C．
29．已知圆锥的底面圆半径为3，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）
A．12πB．9πC．3πD．43π3
【答案】C
【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为h，母线长为l，底面半径r=3，
若其侧面展开图是一个半圆面，则有2πr＝πl，则l＝2r＝23，
故h=l2−r2=12−3=3，
故该圆锥的体积V=πr2ℎ3=3π．
故选：C．
▉题型11 圆台的体积
【知识点的认识】
圆台的体积计算依赖于底面圆的半径r1、顶面圆的半径r2和圆台的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为V=13πℎ(r12+r1r2+r22)．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆台尺寸进行体积计算．
30．已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则该圆台的体积为（ ）
A．10π3B．7π3C．14π3D．20π3
【答案】B
【解答】解：因为圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，
所以台体的高为ℎ=(2)2−12=1，
所以该圆台的体积为V台体=13×1×(π+4π+π⋅4π)=7π3．
故选：B．
31．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则该圆台的体积V＝（ ）
A．29πB．31πC．87πD．93π
【答案】B
【解答】解：设该圆台的母线长为l，
根据题意可得π（1+5）l＝30π，
解得l＝5，
所以该圆台的高为52−(5−1)2=3，
则V=π3×3×(12+1×5+52)=31π．
故选：B．
32．已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，r2+r1=32．若存在一球与圆台上、下底面及所有母线均相切，则该圆台的体积为（ ）
A．28π3B．40π3C．56π3D．112π3
【答案】C
【解答】解：根据题意，设圆台的内切球的半径为R，
由于r2＝2r1，r2+r1=32，解可得r1=2，r2＝22，
如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，
设圆O与梯形的腰相切于点E，与上、下底分别切于点O1，O2，则有ED＝r1=2，EA＝r2＝22，
注意到OD与OA均为角平分线，因此∠DOA＝90°，
Rt△DOA中，OE⊥DA，则有OE2＝DE•EA，即R2=2×22=4，则R＝2，
故圆台的高为4，
故该圆台的体积V=13（2π+8π+2π×8π）×4=56π3．
故选：C．
33．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°（如图），那么圆台的体积是 700033πcm3 ．
【答案】700033πcm3．
【解答】解：设圆台的母线长为l，
由题意可得，180°=20−10l×360，
解得l＝20cm，
所以圆台的高h=202−102=103cm，
故圆台的体积为V=13π(100+400+10×20)×103=700033πcm3．
故答案为：700033πcm3．
▉题型12 球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为4πr2．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：表面积计算公式为4πr2．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．
34．如果一个棱长为a的正方体的外接球的表面积为π，则a＝（ ）
A．1B．12C．22D．33
【答案】D
【解答】解：设一个棱长为a的正方体的外接球的半径为R，
则球的表面积为4πR2＝π，解得R=12，
所以正方体的体对角线3a=2R=1，所以a=33．
故选：D．
35．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题正确的个数为（ ）
①直线BD1⊥平面A1DC1
②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为π2
③三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4，π2]
⑤三棱锥A1﹣BDC1外接球表面积是3π
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：如图，连接B1D1，正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
因为正方体的棱BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥A1C1，
又因为BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1，
所以A1C1⊥平面BB1D1，
又BD1⊂平面BB1D1，所以A1C1⊥BD1，
同理A1D⊥BD1．
又A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1⊂平面A1C1D，
所以BD1⊥平面A1C1D，故①正确；
因为CD⊥平面BCB1，CB1⊂平面BCB1，所以CD⊥CB1，
又平面B1CD∩平面BCD＝CD，BC⊥CD，BC⊂平面BCD，B1C⊂平面B1CD，
则∠B1CB是平面B1CD与平面BCD的夹角，因为△B1BC为等腰直角三角形，
所以该角大小为π4，故②错误；
因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，AB∥CD，AB＝CD，
所以A1B1∥CD，A1B1＝CD，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，因此有A1D∥B1C，
又因为A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，
所以B1C∥平面A1C1D，
又P∈B1C，所以P到平面A1C1D的距离为定值，
故三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故③正确；
因为A1D∥B1C，所以异面直线AP与A1D所成角就是AP与B1C所成的角，
即图中∠APC或∠APB，设正方体棱长为1，
所以AB1=AC=B1C=12+12=2，
当点P为B1C中点时，此时AP⊥B1C，
因为△AB1C是等边三角形，P在线段B1C上，
所以∠APC或∠APB中较小的角的范围是[π3，π2]，故④错误；
三棱锥A1﹣BDC1的外接球即为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，
因为2R=BD1=BA2+BC2+BD2=12+12+12=3，
所以R=32，
所以三棱锥A1﹣BDC1外接球表面积是πR2＝3π，故⑤正确．
故选：C．
36．已知圆锥的母线长为23，其外接球体积为32π3，则该圆锥的表面积为（ ）
A．3πB．6πC．9πD．12π
【答案】C
【解答】解：圆锥及其外接球的轴截面如图，
该其外接球的半径为R，则外接球体积为32π3=43πR3，
则R＝2，
即|AO|＝|OC|＝2，
设圆锥的高为|AO1|＝h，圆锥的底面圆半径为|O1C|＝r，
则r2+ℎ2=(23)2，
由（h﹣R）2+r2＝R2，
解得h＝3，r=3，
则此圆锥的表面积为πr2+πrl＝9π．
故选：C．
37．魔方，Rubik'sCube又叫魔术方块，也称鲁毕克方块．是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克教授在1974年发明的．若正方体魔方的体积为33，则该正方体魔方外接球的表面积为（ ）
A．81πB．9πC．27π2D．9π2
【答案】B
【解答】解：由正方体魔方的体积为33，
设正方体的棱长为a，
则a3=33，
解得a=3，
所以该正方体体对角线长为3a=3×3=3，
故外接球直径为3，半径R=32，
所以该正方体魔方外接球的表面积为4πR2＝9π．
故选：B．
▉题型13 球的体积
【知识点的认识】
球的体积依赖于球的半径r，计算公式为43πr3．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为43πr3．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行体积计算．
38．已知球的半径为2，则该球的体积为（ ）
A．4π3B．32π3C．4πD．16π
【答案】B
【解答】解：因为球的半径为2，
所以该球的体积为4π3×23=32π3．
故选：B．
39．海南椰雕不仅仅是一门传统手艺，更是一段传承千年的文化史．图（1）是一个椰雕工艺台灯，其灯罩的几何模型如图（2）所示，相当于球O被一个平面截得的一部分，若AB是截面圆O′的直径，∠AOB=2π3，圆O′的面积为27πcm2，则球O的体积为（ ）
A．8643πcm3B．432πcm3
C．288πcm3D．144πcm3
【答案】C
【解答】解：由圆O′的面积为27πcm2，得圆O′的半径r=33cm，
又等腰△AOB的顶角∠AOB=2π3，则球半径R=OA=rcsπ6=6（cm），
所以球O的体积V=4π3R3=4π3×63=288π（cm3）．
故选：C．
40．一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球与该正四棱台的各面均相切，则该球的体积为（ ）
A．26πB．23πC．223πD．2π
【答案】B
【解答】解：设正四棱台的内切球的半径r，
则根据题意可得该正四棱台的高为2r=(12+1)2−(1−12)2=2，
所以r=22，
所以该球的体积为43πr3=23π．
故选：B．
41．已知正六棱锥S﹣ABCDEF底面边长为2，体积为43，则S﹣ABCDEF外接球的体积为（ ）
A．8π3B．16π3C．32π3D．64π3
【答案】C
【解答】解：由正六棱锥S﹣ABCDEF得，底面ABCDEF为正六边形，设底面ABCDEF的中心为O，连接SO，CO，
则CO＝2，SO⊥底面ABCDEF，SO为正六棱锥S﹣ABCDEF的高，
所以SABCDEF=34×22×6=63，
因为正六棱锥的体积为43，所以43=13×63×SO，即SO＝2＝CO，
故点O为S﹣ABCDEF外接球的球心，半径为2，
故S﹣ABCDEF外接球的体积V=43πR3=43π×23=32π3．
故选：C．
（多选）42．下列说法正确的有（ ）
A．若球O的体积为36π，则球O表面积也为36π
B．若球O的半径变为原来的3倍，则球O体积变为原来的9倍
C．若圆台上下底面半径分别为1和3，且球O为圆台的内切球，则球O的半径为3
D．棱长为a的正方体的外接球半径为3a
【答案】AC
【解答】解：对于选项A，因为球O的体积为36π，
所以43πR3=36π⇒R3=27⇒R=3，
S＝4πR2＝4π×9＝36π，故选项A正确；
对于选项B，由球的体积与半径R3成正比，
所以半径变为原来的3倍，体积变为原来的27倍，故选项B错误；
对于选项C，由于球O为圆台的内切球，设内切球半径为R，根据轴截面可知，
球O中的最大圆为轴截面等腰梯形的内切圆，即等腰梯形的高为2R，
根据圆台上下底面半径分别为1和3，可知等腰梯形的上下底边长分别是2和6，
即由勾股定理可得腰长为4+4R2=21+R2，
再利用等面积法，则有12(2+6)×2R=12(2+6+2×21+R2)R，
解得R2=3⇒R=3，故选项C正确；
对于选项D，棱长为a的正方体的外接球直径等于体对角线长，即3a，
故正方体的外接球半径为3a2，故选项D错误．
故选：AC．
43．已知正三棱柱的高为2，底面边长为6，则该三棱柱的外接球的体积为 43π ．
【答案】43π
【解答】解：因为正三棱柱的高为2，底面边长为6，
所以底面等边三角形的外接圆半径r=62sin60°=2，
则外接球的半径R=12+(2)2=3，
所以该三棱柱的外接球的体积为43πR3=43π．
故答案为：43π．题型1 棱柱的侧面积和表面积
题型2 棱台的侧面积和表面积
题型3 棱柱的体积
题型4 棱锥的体积
题型5 棱台的体积
题型6 圆柱的侧面积和表面积
题型7 圆锥的侧面积和表面积
题型8 圆台的侧面积和表面积
题型9 圆柱的体积
题型10 圆锥的体积
题型11 圆台的体积
题型12 球的表面积
题型13 球的体积