河南省许昌市九年级上学期1月期末考试数学试题（解析版）

这是一份河南省许昌市九年级上学期1月期末考试数学试题（解析版），共33页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：本试卷满分120分，考试时间为100分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键．
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，由此问题可求解．
【详解】解：由题意可知点关于原点的对称点的坐标为，
故选：B．
2. 方程的根是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查直接开平法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．先移项，再直接开平方，即可求解．
【详解】解：，
移项，得：，
直接开平方，得：，
即方程的解为：，，
故选：C．
3. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A. 随机事件B. 不可能事件C. 必然事件D. 确定性事件
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件，
故选：A．
4. 如图，四边形内接于．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可求得的度数．
【详解】因为，四边形内接于，
所以，=180°-
故选：C
【点睛】考核知识点：圆的内接四边形．熟记圆的内接四边形性质是关键．
5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为，
故选：D．
6. 如图，点P为反比例函数的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，若矩形的面积为4，则k的值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解．
【详解】解：矩形的面积为4，
．
过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限，
．
．
故选：B．
7. 方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A. （x﹣1）2＝4B. （x+1）2=4C. （x﹣1）2＝16D. （x+1）2＝16
【答案】A
【解析】
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】解：x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0，
（x﹣1）2＝4，
故选A．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
8. 熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径．经测量弦的长为，则该镜子的直径为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图，设圆心为O，连接，
，
，
是等边三角形
，
该镜子的直径为8cm，
故选: Ｃ．
9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为0,4，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．如图，旋转第四次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，求出，即可得到的坐标．
【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形，
过作轴于，连接交于，
四边形是菱形，
，，，
的坐标是0,4，
，
，
，
，
，
，
，
，
的坐标是．
故选：D．
10. 已知二次函数，y与x的部分对应值如下表所示：
下面有四个论断：
①抛物线的顶点为；
②；
③关于x的方程的解为，；
④当时，y的值为正．其中正确的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质．根据表格，即可判断出抛物线的对称轴，从而得到顶点坐标，即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；根据表格中函数值为−2时，对应的x的值，即可判断③；根据二次函数的增减性即可判断④．
【详解】解：①根据表格可知：当和时，对应的函数值相同，都是，
抛物线对称轴为，
∴抛物线的顶点为，故①正确；
②根据抛物线的对称性可知：当和时，对应的函数值相同，
∴，故②错误；
③由表格可知：对于二次函数，当时，对应的x的值为1或3，
∴关于的方程的解为，，故③正确；
④由表格可知：当时，y随x的增大而减小，
∵，且抛物线过点0,1，
∴当时，，
∴当时，的值为正，故④正确．
综上，正确的有①③④．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是__________．
【答案】六
【解析】
【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可．
【详解】解：设正多边形的边数为n．
由题意得，＝60°，
∴n＝6，
故答案为：六．
【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．
12. 请你写出一个顶点在 x轴上的二次函数表达式________.
【答案】y=x2（答案不唯一）
【解析】
【详解】解：答案不唯一，如：．故答案为（答案不唯一）．
13. 快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
故答案为：．
14. 如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程．
设宽为，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．
【详解】解：设宽为，根据题意，得
．
故答案为：．
15. 如图，在正方形中，，点O为的中点，点E在上，且，将绕点A在平面内旋转，点E的对应点为点F，连接，，当时，的长为______．
【答案】1或3
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，旋转的性质，根据正方形的性质得出当时，F在上，然后分两种情况，根据勾股定理分别进行求解即可．
【详解】解：四边形为正方形，O为的中点，
经过O，且，
当时，F在上，
如图所示有两种情况：
，
，
，
，，
又，
，
，
，
，
，
的长为1或3，
故答案为：1或3．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 已知方程有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求方程的根．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
（1）由题意可得，求解即可；
（2）当时，原方程为，再利用公式法解方程即可得解．
【小问1详解】
解：方程有两个不相等的实数根，
，
∴；
【小问2详解】
解：当时，原方程为，
，，；
；
，
，．
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，将绕点O顺时针旋转得到．
（1）请在图中画出；
（2）与是否关于某点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点P．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转作图和中心对称的性质，解题的关键熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质，并结合相关性质正确的作图．
（1）将三顶点绕原点顺时针旋转，然后顺次连接即可得到；
（2）结合与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到答案．
【小问1详解】
解：如下图，即为所求；
；
【小问2详解】
解：与是中心对称图形，
连接，交点为，如图，
点坐标为1,0．
18. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求密度：关于体积的函数解析式；
（2）当时，求二氧化碳的密度的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法和反比例函数的性质是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）利用反比例函数的增减性，结合自变量取值范围即可求出密度的取值范围．
【小问1详解】
解：由密度与体积是反比例函数关系，
设，
将点代入，
得：，
解得：，
即关于体积的函数解析式为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，，
即，
∴二氧化碳的密度的取值范围为．
19. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【小问1详解】
解：小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为．
【小问2详解】
将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即，，
∴
20. 在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质可得，同理可得：，然后根据即可证明结论．
【详解】证明：∵
∴
∴
同理：
∵
∴,即．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角等知识点，理解圆周角定理是解答本题的关键．
21. 某公园草坪上有一个喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，喷水头P距离地面，喷出的水流在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距离地面．建立如图1所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水流距喷水头的水平距离，是水流距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，这个喷水装置的喷头P能左右旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求出它能喷灌的草坪的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用．
（1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式；
（2）当时，，解得或，得到喷灌区域的半径为，再利用扇形面积公式可得结论．
【小问1详解】
解：由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，
解得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，
解得或，
∴喷灌区域的半径为，
∴喷灌的草坪的面积．
22. 如图，已知为的直径，点C在上，点D为圆外一点，连接、、．给出下列条件：①是的切线；②；③是的切线．
（1）请在上述三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论组成一个真命题，并给出证明．
（2）在（1）的条件、结论下，延长交的延长线于点E，延长交的延长线于点F，若，，则的长为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）选取①②为题设，③为结论，连接，利用平行线的性质结合等边对等角求得，再证明，求得，即可证明结论成立；
选取②③为题设，①为结论，方法同上；
选取①③为题设，②为结论，连接，证明，推出，证明是的中位线，即可得到；
（2）连接，先证明，设，在中，求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：选取①②为题设，③为结论，
连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
选取②③为题设，①为结论，
连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
选取①③为题设，②为结论，
连接，
∵是的切线，是的切线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵和是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，即的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．
（1）如图，已知抛物线．
①若点A横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______；
②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；
（2）已知点在抛物线上，若“抛物圆”的“扁度”值不超过3，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）①4，6；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①点，则点，得到半径，则，求出，即可求解；②若点点A横坐标为t，则点，则点，参考①即可求解；
（2）根据点A在抛物线上得到，将抛物线解析式变式得到顶点坐标为，即点，进而求解．
【小问1详解】
解：①如图，设线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段为，则点N（O）重合，点，则点，
则圆M的半径，则，
由点B的坐标知，，则，
故答案为：4，6；
②若点A横坐标为t，则点，则点，
则圆M的直径为，
则，
则，解得：（舍去）或，
即；
【小问2详解】
点在抛物线上，
，即，
其顶点坐标为，即点，
则点，则圆M的半径为
则，
则，
，
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
6
1
m
…
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．
求证：．