河南省开封市杞县九年级上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份河南省开封市杞县九年级上学期1月期末数学试题（解析版），共8页。
2 请用蓝、黑色钢气或圆珠笔肖接答在试卷上．
3 答卷前请将涂封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则．
故选：C．
【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
2. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查切线性质，利用切线长定理求得和则可求得答案．
【详解】解：∵分别切于A、B，切于点E，
∴，
∴，
即的周长为12，
故选：D．
3. 如图，已知圆心在水面上方，且 被水面截得弦长为米．半径长为米， 若点 为运行轨道的最低点．则点到弦 所在直线的距离是（ ）
A. 1米B. 2米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接，交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
【详解】连接，交于D，
由题意得：米，，
米，，
在中
米，
米，
即点C到弦所在直线的距离是米，
故选：C．
4. 给出下列命题：①弦是直径；②圆上两点间的距离叫弧；③长度相等的两段弧是等弧；④半圆所对的圆周角都相等；⑤圆是轴对称图形，不是中心对称图形；⑥直径是弦．其中正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①弦不一定是直径，原命题是假命题；
②圆上任意两点间的部分叫弧，原命题是假命题；
③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原命题是假命题；
④半圆所对的圆周角都相等，是真命题；
⑤圆是轴对称图形，也是中心对称图形，原命题是假命题；
⑥直径是弦，是真命题．
故选：B．
5. 3张反面无差别的卡片．它们的正面分别印有等边三角形、平行四边形和正六边形．现将3张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张．用抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列表法求概率、轴对称图形，首先判断各图形是否是轴对称图形，再根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵等边三角形和正六边形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，
分别用A、B、C表示等边三角形、平行四边形和正六边形，
∴随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为，
故选：A．
6. 下列调查最适合普查的是（ ）
A. 调查某中学学生新冠疫苗接种情况B. 了解一批哈密瓜是否甜
C. 调查国庆期间全国观众最喜爱的电影D. 调查“读书月”活动中市民的读书情况
【答案】A
【解析】
【分析】根据全面调查与抽样调查的意义判断即可．
【详解】解：A、调查某中学学生新冠疫苗接种情况，最适合全面调查，故选项正确，符合题意；
B、了解一批哈密瓜是否甜，最适合抽样调查，故选项错误，不符合题意；
C、调查国庆期间全国观众最喜爱的电影，最适合抽样调查，故选项错误，不符合题意；
D、调查“读书月”活动中市民的读书情况，最适合抽样调查，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了全面调查与抽样调查问题，解题的关键是掌握全面调查与抽样调查的区别．
7. 已知二次函数的图像经过点，，则关于的方程的根是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数的图像经过点，，直接得出方程的根．解题的关键是明确题意，利用二次函数与一元二次方程的关系解答．
【详解】解：∵二次函数的图像经过点，，
∴关于的方程的根是，．
故选：A．
8. 某园林公司购进某种树苗，为了解该种树苗的移植成活率，现对购进的第一批树苗进行随机抽样并统计，结果如图所示．若该公司第二批还大约需移植成活1500棵该种树苗，根据统计结果，则第二批树苗购买量较为合理的是（ ）

A. 1350棵B. 1500棵C. 1670棵D. 1800棵
【答案】C
【解析】
【分析】根据用统计图可知，树苗的成活率约为，列出方程求解即可．
【详解】解：根据统计图可知，树苗的成活率约为，
设第二批树苗购买量为x颗，
，
解得：，
∴第二批树苗购买量较为合理的是1670棵，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，解题的关键是根据折现统计图得出树苗的成活率．
9. 对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于．我们称为这个函数的不动点．若二次函数 （为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数与轴的交点问题，由题意得，即得，可得，得，再画出二次函数图象，由图象可得当时，，即得，综上即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
整理得，，
∵二次函数有两个相异的不动点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
令，
画该二次函数的草图如下：
设抛物线与轴交点的横坐标为，且，
当时，，
∴，
∴的取值范围是，
故选：．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且△是等边三角形．在射线上取点，，，分别以，，为边作等边三角形△，△，使得，，，在同一直线上，该直线交轴于点．若，，则点的横坐标是（ ）

A. B. C. 256D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先证明OA1∥B1A2，∠B1A1A2＝90°，求出B1A2＝2A1B1＝2，然后同理可得B2A3，B3A4的长，根据等边三角形边长的规律，即可求出B9的横坐标．
【详解】解：∵△OA1B1是等边三角形，OA1＝1，
∴B1的横坐标为，OA1＝OB1＝A1B1＝1，∠OA1B1＝60°，
∵△B1B2A2是等边三角形，
∴∠B2B1A2＝60°，
∴OA1∥B1A2，∠A2B1A1＝60°，
∵∠OA1C＝30°，
∴∠B1A2A1＝30°，
∴∠B1A1A2＝90°，
∴B1A2＝2A1B1＝2，
同理：B2A3＝2A2B2＝4，B3A4＝2A3B3＝8，…，
∴B1的横坐标为，
B2的横坐标为＋1＝，
B3的横坐标为＋1＋2＝，
B4的横坐标为＋1＋2＋4＝，
...，
∴点B9的横坐标是＋1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质得到等边三角形边长的规律．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 为了解某校七年级名学生每天的阅读时间，从中抽取了名学生进行调查，在这次抽样调查中，样本容量是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据样本的容量的定义即可得出答案，样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位．
【详解】抽取了名学生进行调查
在这次抽样调查中，样本容量是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了样本的容量的定义，理解定义是解题的关键．
12. 方程的解是________．
【答案】-3和-2
【解析】
【分析】利用因式分解法分解因式即可求解．
【详解】解：，
，
，
或，
，；
故答案为：-3，－2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法是解本题的关键．
13. 如图，在⊙O中，直径，则弦AC所对圆周角为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据等腰三角形的性质，可求出的度数，再根据同弦所对的圆周角是圆心角的一半即可进行解答．
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，同弦所对的圆周角是圆心角的一半，解题的关键是连接构建等腰三角形．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】已知tan∠BAF=，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出FM、BM，进而求出FN，再利用三角形相似和折叠的性质求出EC．
【详解】过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，
由折叠得：EC＝EF，BC＝BF＝，∠C＝∠BFE＝90°，
∵tan∠BAF＝＝，设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4﹣2x，
在Rt△BFM中，由勾股定理得：
x2+（4﹣2x）2＝（）2，
解得：x1＝1，x2＝＞2舍去，
∴FM＝1，AM＝BM＝2，
∴FN＝﹣1，
易证△BMF∽△FNE，
∴，即：，
解得：EF＝＝EC．
故答案为．
【点睛】考查矩形的性质、直角三角形的边角关系、轴对称的性质以及相似三角形的性质等知识，作合适的辅助线，恰当的利用题目中的已知条件，是解决问题的关键．
15. 在△ABC中，BA=BC，AC=14，S△ABC=84，D为AB上一动点，连接CD，过A作AE⊥CD于点E，连接BE，则BE的最小值是______．
【答案】5．
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质及圆的定义即可求解.
【详解】
由题意，以AC为直径，AC中点O为圆心作圆，连接OB，则当点E是圆和线段OB的交点时，BE最小，∵在△ABC中，AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质有S△ABC＝BO×AC＝84，∴OB＝12，∴BE＝BO－AC＝12－7＝5,故答案为5.
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一及勾股定理，正确画出辅助线是解决本题的关键.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，再合并，最后计算除法；
（2）利用特殊角的三角函数值代入，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，正确化简二次根式是解题关键．
17. 我市某中学艺术节期间，向学校学生征集书画作品九年级美术李老师从全年级个班中随机抽取了、、、个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）李老师采取的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”），李老师所调查的个班征集到作品共______件，其中班征集到作品______，请把第二个图补充完整．（第二，三空要有计算步骤）
（2）如果全年级参展作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生．现在要在抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【答案】（1）抽样调查，，，补全统计图见解析；
（2）恰好抽中一男一女的概率为．
【解析】
【分析】（）根据题意得到此次调查为抽样调查，用班的度数除以度求出所占的百分比，由的件数除以所占的百分比即可得到调查的总件数，进而求出班的件数；
（）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率；
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键．
【小问1详解】
解：李老师采取的调查方式是抽样调查，
所调查的个班征集到作品共（件），
∴班征集到作品（件）
补全统计图如图，
故答案为：抽样调查，，；
【小问2详解】
画树状图得：
共有种等可能的结果，恰好抽中一男一女的有种情况，
∴恰好抽中一男一女的概率为：．
18. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，，CD、DE分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：，，）
【答案】46.2cm．
【解析】
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到的长，再根据，即可求得的长，从而可以解答本题．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，cm，
又∵，
∴，
∵cm，，
∴（cm），
∴（cm），
答：点到桌面的距离约为46.2cm．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19. 如图，已知及外一点 ．求作：直线，使 与相切于点”李华同学经过探索、想出了两种作法．具体如下（已知是直线上方一点）：
作法 （如图）：连接，作线段的垂直平分线，交于点：以点为圆心，以的长为半径作，交于点；
作直线．则直线 是的切线，
证明：如图，为直径，
∴，（ ）
∴，
∵ 是的半径，
∴直线是 的切线；
作法一（如图）：连接，交 于点，过点作的垂线；以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线 于点；
连接，交于点；
作直线，则直线是的切线；
证明：……
请仔细阅读，并完成相应的任务
（1）“作法一”中的“依据”是指 ；
（2）请写出“作法”的证明过程．
【答案】（1）直径所对的圆周角为；
（2）见解析
【解析】
【分析】（）根据圆周角定理的推论可得答案；
（）由作法可得，，，然后根据“”证明，得，进而可证直线是的切线．
【小问1详解】
解: ∵为直径，
∴ （直径所对的圆周角为）
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
故答案为：直径所对的圆周角为；
【小问2详解】
证明：由作法可得， ，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线．
【点睛】本题考查了作图——作垂线、作垂直平分线，圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
20. 如图，已知矩形的两边OA，OC分别落在轴，轴的正半轴上，的坐标为，反比例函数的图象经过的中点E，且与BC边相交于点D．
（1）①求反比例函数的解析式及点D的坐标；
②直接写出的面积为________．
（2）若P是OA上的动点，当值为最小时，求直线的解析式．
【答案】（1）①反比例函数的解析式为；点D坐标为；②；（2）直线PE的解析式为．
【解析】
【分析】（1）①由E是OB的中点，即可求得E的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式，进而求得D的坐标；
②根据S△ODE=S△OBC-S△OCD-S△BDE即可求解；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点P即为所求．利用待定系数法即可求出解析式．
【详解】（1）①∵E是OB的中点，顶点B的坐标是，
∴E点坐标为．
将点代入中，得．
∴反比例函数的解析式为．
令，则，
∴点D坐标为．
②S△OBC=BC•OC=×6×4=12，
S△OCD=OC•CD=×4×=3，
S△BDE=×（）×2=，
则S△ODE=S△OBC-S△OCD-S△BDE=12-3-3-4.5=．
（2）作点关于轴的对称点．
连接，与轴的交点P即为所求．
设直线PE解析式为，依题意得
，解得
∴直线PE的解析式为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的性质，轴对称的性质，最短路径问题，以及待定系数法求函数的解析式，正确确定点P的位置，求得函数的解析式是解题的关键．
21. 某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量与售价之间的函数关系式，并求出售价的范围；
（2）当售价定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）（）
（2）当售价为330元/台时，月利润最大为71500元．
【解析】
【分析】（1）根据销售量=原来的销售量+降价后的销售量就可以表示出y与x之间的关系式；
（2）由总利润=每台的利润×数量就可以得出w与x直接的关系式，由二次函数的性质就可以得出结论．
【小问1详解】
由题意，得：.
∵售价不低于330元/台，
∴，
∵数量不低于450台，
∴，即，解得，，
∴．
答：y与x之间的函数关系式为：（）；
【小问2详解】
由题意，得：，
∵，
∴在对称轴的右侧w随x的增大而减小，
∴时，w最大=71500．
答：当售价为330元/台时，月利润最大为71500元．
【点睛】本题考查了二次函数应用，以及对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识
22. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
【答案】（1）；6m
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标；
（3）根据EF=0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【小问1详解】
解：如图，由题意得是上边缘抛物线顶点，
设，
又∵抛物线过点，∴，
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，当时，，
解得，（舍去），
∴喷出水的最大射程为6m；
【小问2详解】
解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为；
【小问3详解】
解：∵，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴，解得，
∵，
∴，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，
则 ，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
23. （1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图①，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC′与CD交于点M，OB′与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图②‚，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′，连接AO′、DC′，请猜想线段AO′与DC′的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③ƒ，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出的值（用α的三角函数表示）．
【答案】（1）CM=BN，理由见解析；（2）DC′=AO′，理由见解析；（3）csα
【解析】
【分析】（1）如图1①，根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，再根据旋转的性质得∠B′OC′=∠BOC=90°，然后利用等角的余角相等得∠B′OB′=∠COC′，则可根据“ASA”判断△BON≌△COM，于是得到CM=BN；
（2）如图②，连接DC′，根据正方形的性质得AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，于是可判断△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
则AC=AB，BC=BO，所以BD=AB；再根据旋转的性质得∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，则BC′=BO′，所以==，，再证明∠1=∠2，则可根据相似的判定定理得到△BDC′∽△BAO′，利用相似比即可得到DC′=AO′；
（3）如图③，根据余弦的定义，在Rt△AEF中得到cs∠EAF=；在Rt△DAC中得到cs∠DAC=，由于∠EAF=∠DAC=α，所以==csα，∠EAD=∠FAC，则可根据相似的判定定理得到△AED∽△AFC，利用相似比即可得到=csα．
【详解】解：（1）CM=BN．理由如下：如图①，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，
∵△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，
∴∠B′OC′=∠BOC=90°，
∴∠B′OC+∠COC′=90°，
而∠BOB′+∠B′OC=90°，
∴∠B′OB′=∠COC′，
在△BON和△COM中
，
∴△BON≌△COM（ASA），
∴CM=BN；
（2）如图②，连接DC′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，
∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
∴AC=AB，BC=BO，
∴BD=AB，
∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△B′OC′，
∴∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，
∴BC′=BO′，
∴==，
∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△BDC′∽△BAO′，
∴==，
∴DC′=AO′；
（3）如图③，在Rt△AEF中，cs∠EAF=；
在Rt△DAC中，cs∠DAC=，
∵∠EAF=∠DAC=α，
∴==csα，∠EAF+∠FAD=∠FAD+∠DAC，即∠EAD=∠FAC，
∴△AED∽△AFC，
∴==csα．
【点睛】本题是考查四边形性质的综合题,解题关键是熟练掌握矩形和正方形的性质；同时会运用等腰直角三角形的性质和旋转的性质；能灵活利用三角形全等或相似的判定与性质解决线段之间的关系．