河南省南阳市淅川县九年级上学期1月期末数学试题（解析版）

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1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
2，答题前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. “概率为的事件”是不可能事件
B. 某奖券的中奖率为，则买5张奖券一定会有一张中奖
C. “打开电视，正在播放新闻联播”是随机事件
D. “明天降雨的概率是”说明明天将有的地区降雨
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，概率的意义；根据事件的分类，概率的意义逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. “概率为的事件”是随机事件
B. 某奖券的中奖率为，则买5张奖券不一定会有一张中奖，故该选项不正确，不符合题意；
C. “打开电视，正在播放新闻联播”是随机事件，故该选项正确，符合题意；
D. “明天降雨的概率是”说明明天降雨的可能性大，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．
详解】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：D
3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜9，
m的值可能是：8．
故选：A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则Δ=b2−4ac>0，是解题的关键．
4. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶AD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A. 1：2B. 1：4C. 1：3D. 1：9
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OA∶AD=1：2，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟知位似图形的面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
5. 如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角与圆周角的关系，解题的关键熟知相关性质．
根据圆内接四边形对角互补可求得，然后再根据同弧上的圆心角等于圆周角的2倍即可得到结论．
【详解】∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵与所对的弧都是，
∴．
故选：D．
6. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，
∴，即，
解得，
故选：B．
7. 如图，由边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以AB为直径的圆经过点，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出．
【详解】解：如图，连接、．

和所对的弧长都是，
根据圆周角定理的推论知，．
∵AB为直径，
∴,
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求的余弦值转化成求的余弦值，本题是一道比较不错的习题．
8. 如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，，，三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明眼睛到地面的高度米，则凉亭的高度约为（ ）
A. 米B. 9米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】本题侧重考查相似三角形的应用，相似三角形对应边成比例、两角分别相等的两个三角形相似． 由镜面反射原理可知，可证明．可得，根据已知条件解决问题．
【详解】解：由题意可知，
又，
．
．
．
．
(米)
故选：A．
9. 如图，在中，，点为边AB上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，由题意可证四边形是矩形，再根据为的中点，得到，当最小时，的值最小，如图所示，连接CD，由矩形的性质可得当CD最小时，即最小，此时的值最小，据点到直线，垂线段最短可得，当时，CD的值最小，由等面积法得到，可求出，由此即可求解．
【详解】解：∵，即，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴当最小时，的值最小，
如图所示，连接CD，
∵四边形是矩形，
∴，
∴当CD最小时，即最小，此时的值最小，
根据点到直线，垂线段最短可得，当时，CD的值最小，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∴，
故选：A ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合，掌握矩形的判定和性质，垂线段最短的知识是解题的关键．
10. 已知二次函数的图象如图所示，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2-4ac＞0；③；④a+b+c＜0.其中正确的结论有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；
②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；
③由 ，a＜0，得到b＞2a，所以2a-b＜0；
④由当x=1时y＜0，可得出a+b+c＜0．
【详解】解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，，c＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，结论①错误；
②∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，结论②正确；
③∵，a＜0，
∴b＞2a，
∴2a-b＜0，结论③错误；
④∵当x=1时，y＜0；
∴a+b+c＜0，结论④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 在函数中，自变量的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
解得且，
故答案为：且．
12. 已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据根与系数的关系求出与的值，然后整体代入求值即可．
【详解】∵是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
，
，
∴解得．
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
13. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到新抛物线的解析式为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与几何变换，根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可．
【详解】解：抛物线，它的顶点坐标是，
将其向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是，
所以新抛物线的解析式是：．
故答案为：．
14. 如图，在中，是直径，点C是圆上一点．过点C作的切线交的延长线于点D，若，则图中阴影部分的面积为_____．（结果用含π的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质以及扇形的面积计算，连接，根据切线的性质得出由得由三角形外角的性质得根据勾股定理得，再根据求解即可
【详解】解：连接如图，
∵是的切线，
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∴即
∴
∴，
故答案为：
15. 如图， 正方形的边长为2，，， 线段的两端分别在、上滑动，那么当 _____时，与相似．
【答案】或
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得，，则，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据与相似即可求得结果．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∵与相似，，，
则或，
∴或 ，
即或，
解得或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16. 计算或解方程．
（1）
（2）计算：
（3）解方程：
【答案】（1）
（2）3 （3）
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数运算、解一元二次方程、二次根式的混合运算等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值、一元二次方程的解法、二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）根据二次根式的乘法和除法法则计算即可．
（2）先计算分母有理化、平方根和绝对值、含特殊角的三角函数值，再计算加减法即可解答；
（3）整理后利用公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：

．
【小问3详解】
解：，
整理得：，
∴，
∴，
∴．
17. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【小问1详解】
由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个，
所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
树状图如下：

由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
18. 如图，抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点在抛物线上移动，结合函数图象解答下列问题：
①若时，则的取值范围为______．
②若时，随的增大而增大，则的取值范围是______；
③若当时，函数的最小值是3，最大值是4，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）①或；②；③
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和二次函数解析式求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①根据抛物线与x轴的交点结合图象即可解答．
②求出对称轴，结合图象即可解答．
③根据二次函数的图象解答即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线过，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：①根据图象可知，时，的取值范围是或，
故答案为：或；
②根据题意可得抛物线的对称轴为直线，
根据图象可知，当时，随的增大而增大，
若时，随的增大而增大，
则的取值范围是，
故答案为：；
③根据抛物线的解析式为可得抛物线的顶点坐标为，
当时，，
点关于对称轴对称的点是，
∵函数的最小值是3，最大值是4，
故最大值在顶点处取得，最小值在或处取得，
则根据图象可知，的取值范围是．
19. 如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）

【答案】山顶C点处的海拔高度为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解．
【详解】解：过点C作交的延长线于点，设，

在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴山顶C点处的海拔高度为．
20. 如图，AB是的直径，CD与AB相交于点．过点的圆O的切线，交CA的延长线于点，．

（1）求度数；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；
（2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解．
【小问1详解】
如图，连接．

为的切线，
．
，
．
，
．
，
．
【小问2详解】
如图，连接AD，
，，
．
，
，且，
，
，即，
，
，即半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识．正确作出辅助线是解题关键．
21. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为元／千克，根据市场调查发现，批发价定为元／千克时，每天可销售千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到元，则定价应为多少元？
【答案】（1）
（2）当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为元
（3）定价应为元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数、一元二次方程以及一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）由题意得：，即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）令，即可求解；
【小问1详解】
解：由题意得：
．
【小问2详解】
解：由（1）得：，
∵，
∴时，W最大为，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为元；
【小问3详解】
解：令，
解得：
∴定价为（元）或（元），
∵要增大市场占有率，降价越多，销量越多．
∴定价应为元，
答：定价应为元．
22. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线最高点的坐标；
（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
【答案】（1）
（2）
（3）这棵树的高为2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵点是抛物线上的一点，
把点代入中，得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
∴抛物线最高点对坐标为；
【小问3详解】
解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，
∵，，
∴，
∴，
又∵点B是的三等分点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得，
∴，
解得，
∴点C的横坐标为1，
将代入中，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
答：这棵树的高为2．
23 问题背景
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6世纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理．
芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：
第一步：如图1，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合．再将正方形展开，得到折痕；
第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点．
则点为的三等分点，即．
问题解决
如图1，若正方形的边长是2．
（1）的长为______；
（2）请通过计算长度，说明点是的三等分点．
（3）类比探究：将长方形纸片按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点也为的三等分点，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）设，则，，在中，由勾股定理可得：，进而得出长；
（2）先证，由（1）可知：，再求得，即可得出结论；
（3）设，，，则，由勾股定理可得： ，再由∽，得到，即，解得，从而得到解得，即可得出结论．
【小问1详解】
设，则，，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得，
∴，
故答案为；
【小问2详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
即点P为AB的三等分点．
【小问3详解】
解：设，，，则，
在中，由勾股定理可得：，
即，
，
，，
，
又，
∽，
，即，
即，
把代入得，，
解得，
把代入，
解得，（舍去）
∴．