河南省许昌市八年级上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份河南省许昌市八年级上学期1月期末数学试题（解析版），共50页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分120分，时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．）
1. 若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A. 0B. 1C. -1D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵分式的值为0，
∴，解得x=-1．
故选C．
考点：分式的值为零的条件．
2. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，将数据“”用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．根据科学记数法的定义，将一个数表示为，其中，为整数，即可得到答案．
【详解】解：，
故选C．
3. 将分式约分结果正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的约分，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据分式的基本性质进行约分即可求解．
【详解】解：
故选：B．
4. 如图①是路边一路灯的实物图，图②为其平面示意图，已知，，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了三角形外角的性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进行解答即可．
【详解】解：∵是的一个外角，，，
∴；
故选：C．
5. 点P在AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于4，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的性质可知点P到OB边的距离等于4，再根据点到直线的距离垂线段最短即可得出结论．
【详解】解：∵点P在AOB的平分线上，
∴点P到OA边的距离等于点P到OB边的距离等于4，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴（点到直线的距离，垂线段最短）．
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，点到直线的距离．理解角平分线上的点到角两边距离相等是解题关键．
6. 如图，的斜边轴，点B的坐标是，，则（ ）．

A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据平行线的性质得出，求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进一步得出答案．
【详解】解：

∵，
∴，
∵中，，
∴，
∵点B的坐标是，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7. 已知，则的值为（ ）．
A. B. 3C. 9D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆运算，先得出，再根据同底数幂的逆运算即可得出答案．
详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
8. 若，则m值为（ ）．
A. B. 4C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题多项式乘以多项式法则，把展开得，得出，即可得m的值．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9. 如题图，由4个同样大小的长方形与1个小正方形密铺成1个大正方形，该大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，若分别用表示长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式应用，解二元一次方程组，根据两个正方形的面积可得，，据此根据完全平方公式可判断A、B；进而可得，，解得，据此可判断C、D．
【详解】、由图可知大正方形图案的面积为，边长为，
∴，故A正确，不符合题意；
、由图可知中间小正方形的边长为，面积为4，则，即 ，故B正确，不符合题意；
、∵，，、b为正数且，
∴，，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
、∵，
∴：故D错误，符合题意．
故选：D．
10. 如图，在中，，，点E在边上运动（点E不与A，B重合），作，使交边于点D，连接．在点E的运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，的度数为（ ）．
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，数形结合，分类讨论，①如图所示，；②如图所示，；由此即可求解，解题的关键是正确分类，熟练等腰三角形的判定和性质．
【详解】解：∵，，
∴，则，
①如图所示，，即是等腰三角形，
∵，
∴，
∴；
②如图所示，，即是等腰三角形，

∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
故选：D
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算：__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，先根据零指数幂，负整数指数幂的法则计算，再进行加法运算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式．两次运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．
【详解】解：．
故答案：．
13. 如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷晓板两端（即）．如果点O距地面的距离是，当小明从水平位置上升．这时小敏离地面的高度是__________．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的应用，证明，利用全等三角形的对应边相等得到，进而求解即可．
【详解】解：由题意，，，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵点O距地面距离是，
∴小敏离地面的高度是，
故答案为：15．
14. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为__________．
【答案】##49度
【解析】
【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，根据角平分线的性质可得，然后再计算出的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，然后可算出的度数．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 若关于x的分式方程无解，则实数__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解产生的原因是解题的关键．将分式方程去分母转化为整式方程，根据原方程无解得，即可求解．
【详解】解：，
两边都乘以，得
，
∵分式方程无解，
∴，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先算积的乘方，再算单项式与单项式的除法，再根据负整数指数幂的意义改写即可；
（2）先根据完全平方公式、多形式与多项式的乘法法则，多项式与单项式的除法法则计算，再去括号合并同类项．
【小问1详解】
解：原式．
【小问2详解】
解：原式
．
17. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，请仔细阅读并解决问题．
（1）若M是一个单项式．则这个单项式是__________；
（2）将该例题的解答过程补充完整．
【答案】（1）x （2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．
（1）先根据通分的步骤得到M，
（2）对原式进行通分合并，然后把除法化为乘法约分化简．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，弄清每个步骤的依据是解本题的关键．按解方程的步骤求解即可．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
解得．
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
19. 随着新能源共享汽车的普及，政府计划在如图所示的所在区域内建一个社区集体充电桩，，是两条笔直交叉的公路，C，D是两个社区，要求充电桩到两个社区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，请在图中确定充电桩的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
作的角平分线与的垂直平分线的交点即为充电桩的位置．
【详解】如图所示，点P即为所求．
20. 汉服是中华民族传统文化的重要组成部分，它代表着尊重、和谐和礼仪．近几年，汉服越来越受各个年龄段的人们欢迎．已知汉服店店主小欣在一次购进新款时发现，1件A款襦裙比1件B款襦裙的进价高，如果购进A，B两款襦裙共40件，共花费4400元，其中B款襦裙共花费3000元．求1件B款襦裙的进价是多少元？
【答案】100元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设1件B款襦裙的进价是x元，则1件A款襦裙的进价是元，根据题意列分式方程求解并验证即可．
【详解】解：设1件B款襦裙的进价是x元，
则1件A款襦裙的进价是元，
根据题意，得，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解，且符合题意．
答：1件B款襦裙的价格是100元．
21. 如图，是等边三角形，在直线的下方有一点D，且，连接交于点E．
（1）求证：垂直平分；
（2）过点D作，交于点F，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
（1）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）（1）知垂直平分，求出，得到，求出，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：是等边三角形，
，
点A在线段的垂直平分线上．
，
点D在线段的垂直平分线上，
垂直平分．
【小问2详解】
解：是等边三角形，
又由（1）知垂直平分，∴．
，
，
，
，
．
．
22. 【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
【验证】如，为偶数，请把20的一半表示为两个正整数的平方和：__________．
【探究】设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【拓展】已知，，求的值．
【答案】【验证】，【探究】见解析，【拓展】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算，体现了整体思想，解题的关键是掌握完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算法则．
【验证】根据题意，将20的一半表示为两个正整数的平方和即可；
【探究】用代数式表示出两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和，再根据完全平方公式，合并同类项法则计算即可求解，分析奇偶性证明结论．
【拓展】根据题意将表示出来，然后进行化简即可．
【详解】解：验证：
，
故答案为：；
探究：
，
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，
且该偶数的一半，即是正整数m，n的平方和．
拓展：
∵，∴，
且由探究知，
∴．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，．
（1）如图①，若点的横坐标为，则点的坐标为__________；
（2）如图②，交轴于点，交轴于点，若将沿折叠，点恰好落在轴的处，求证：；
（3）如图③，点，分别在轴和轴的正半轴上，，，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上运动时，的值是否发生变化？若不变，请直接写出这个值；若变化，请写出取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）不变，的值为
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平角的定义，折叠的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）过点作轴于点，然后证明，推出，从而得到的坐标；
（2）由题意可知，为等腰直角三角形，推出，结合折叠的性质，可得到，结合，，可得到，最后结合，可证；
（3）作轴于点，同理可证，得到，，再证明，得到，，最后推导出的比值．
【小问1详解】
解：点的坐标为，理由如下：
过点作轴于点
，
，
，
若点的横坐标为
点坐标为
故答案为：0,2．
【小问2详解】
证明：，
，
，
将沿折叠，点恰好落在轴的处
又
【小问3详解】
解：不发生改变，，理由如下：
作轴于点
，
，
，
，
，
化简：．
解：原式
＝……