河南省平顶山市汝州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份河南省平顶山市汝州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分120分，考试时间100分钟．
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分）
1. 在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
【详解】解：A.影子的方向不相同，故本选项错误；
B. 影子的方向不相同，故本选项错误；
C.相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误;
D. 影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．
2. 如图，在中，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 算，得到答案．
【详解】解：
∴ ，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3. 如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H．则AH＝（ ）
A. 24B. 10C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据对角线求得边长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底边乘以高即可求得
【详解】如图设交于点，
菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
，
解得
故选C
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
4. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程移项得：x2-8x=-9，配方得：x2-8x+16=7，即（x-4）2=7，
故选A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5. 下列命题中错误的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 顺次连接矩形四条边中点所得的四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法依次判断各项后即可解答．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
D、顺次连接矩形四条边中点所得的四边形是菱形，不一定是正方形（可用三角形中位线定理结合矩形的对角线相等证明这个中点四边形的四条边相等），是假命题，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，熟知平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是解决问题的关键．
6. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ）
A. 32个B. 36个C. 40个D. 42个
【答案】A
【解析】
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”
【详解】设盒子里有白球x个，
根据 得：

解得：x=32．
经检验得x=32是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
故选；A．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
7. 如图，在中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可得到∽，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴ ,故不正确；
B. ∵，
∴ ,故不正确；
C. ∵，
∴∽，∽,
， ．
，故正确；
D. ∵，
∴ ,故不正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
8. 点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的图像与性质，当时，在每一个象限内随的增大而增大，由于、在第二象限，，则；在第四象限，，从而得到答案．
【详解】解：点、、都在反比例函数的图像上，
当时，在每一个象限内随的增大而增大，
、在第二象限，，
，
在第四象限，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数增减性判定自变量或函数值大小的方法是解决问题的关键．
9. 某商店销售连衣裙，每条盈利元，每天可以销售条．商店决定降价销售，经调查，每降价元，商店每天可多销售条连衣裙．若想要商店每天盈利元，每条连衣裙应降价（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元或元
【答案】D
【解析】
【分析】假设每条连衣裙降价元，根据题意可列出每天可售出多少条，再根据总利润单件利润销售数量，即可列出关于一元二次方程，解出即为结论．
【详解】设每条连衣裙降价元，则每天售出条，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
每条连衣裙应降价元或元，
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．
10. 已知抛物线的图像如所示，则化简得（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图像可知，，当时，，即，再化简所求式子即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∵图像经过原点，
∴，
∵当时，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质、绝对值的性质以及整式运算等知识，熟练掌握二次函数的图像上点的坐标特点以及绝对值的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共计15分）
11. 一个圆柱的三种视图如图所示．则这个圆柱的体积为______．
【答案】24π
【解析】
【分析】根据主视图确定圆柱的高为6，根据俯视图确定圆的直径为4即半径为2，利用公式计算即可．
【详解】∵
∴圆柱的高为6，圆的直径为4即半径为2，
∴圆柱的体积为==24π，
故答案为：24π．
【点睛】本题考查了圆柱的三视图，圆柱的体积，熟练读懂三视图，确定圆柱的高和直径是解题的关键．
12. 在一个不透明的盒子中有两个白球、两个红球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】由先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，共有等可能的结果为：4×3＝12（种），且两次都摸到红球的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，共有等可能的结果为：4×3＝12（种），且两次都摸到红球的有2种情况，
∴两次都摸到红球的概率为．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
13. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
∵将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴平移后的抛物线为
∴平移后的抛物线的顶点坐标为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．
14. 如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，OP=AB，四边形ABPO的面积为6，则这个反比例函数的表达式为____________．
【答案】
【解析】
【分析】先设反比例函数解析式为y= (k≠0) ，根据OP=AB，四边形ABPO的面积为6，可求出△ABO的面积，再利用反比例函数k的几何意义及反比例函数图象位于第二象限，即可确定k的值．
【详解】解：如图所示
设反比例函数解析式为 y= (k≠0)，
由图知：AB∥PO，AB=PO
∴四边形AOPB为平行四边形；
∴S△AOB=四边形ABPO的面积=,
∴

∵反比例函数图象位于第二象限，
∴k＜0，
∴k=-6，
∴反比例函数解析式为： y= ．
故答案为： y= ．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象，根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，点是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点到的距离为______．
【答案】．
【解析】
【分析】过F作FG⊥EC与于G，根据，可得∠AED+∠BEC=90°，由四边形ABCD为矩形，可得∠CEB+∠ECB=90°，可证△AED∽△BCE，设AE=x，则BE=10-x，可得，解得，当AE=1时，BE=9，根据折叠与四边形ABCD为矩形可得EH=HC，设EH=HC=m，则HF=9-m，在Rt△FHC中由勾股定理得，即，当AE=9时，BE=1，可得 DH=HE，设DH=HE=n，则HF=HE-EF=n-1，HC=DC-DH=10-n，在Rt△HFC中，由勾股定理即，根据三角形面积即可．
【详解】解：过F作FG⊥DC于G，EF（EF延长线）交CD于H，
∵
∴∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=3，
∴∠CEB+∠ECB=90°
∴∠AED=∠BCE，
∴△AED∽△BCE，
∴，
设AE=x，则BE=10-x，
∴，
整理得，
解得，
经检验都符合题意是原方程的解，
当AE=1时，BE=9，根据折叠，EF=EB=9，FC=BC=3，∠EFC=∠B=90°，∠BEC=∠FEC，
∵四边形ABCD为矩形
∴DC//AB，
∴∠HCE=∠BEC=∠HEC，
∴EH=HC，
设EH=HC=m，则HF=9-m，
在Rt△FHC中由勾股定理得，即
解得
∴S△FHC=，
∴，
当AE=9时，BE=1，根据折叠，EF=EB=1，FC=BC=3，∠EFC=∠B=90°，∠CEB=∠CEF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴DC//AB，
∴∠HDE=∠AED，
∵∠DEH+∠FEC=∠AED+∠BEC=90°，
∴∠DEH =∠AED=∠HDE，
∴DH=HE，
设DH=HE=n，则HF=HE-EF=n-1，HC=DC-DH=10-n，
在Rt△HFC中，由勾股定理，即
解得
∴HC=10-5=5，HF=5-1=4
∴S△CHF=，
∴，
∴点到距离为．
故答案．
【点睛】本题考查矩形性质，三角形相似判定与性质，折叠性质，勾股定理，三角形面积，掌握矩形性质，三角形相似判定与性质，折叠性质，勾股定理，三角形面积是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 已知：关于的方程．
（1）不解方程，判别方程根的情况，并说明理由；
（2）若，是该方程的两个实数根，且，求的值．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根，理由见解析；
（2），．
【解析】
【分析】（1）直接根据根的判别式计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代入化简以后的等式，即可求得m的值．
【小问1详解】
依题意得：．
方程有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
由一元二次方程的根与系数的关系可得：，
．
，
解得，．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，公式法解一元二次方程，能熟记根的判别式和根与系数的内容是解此题的关键．
17. 如图是甲、乙两个可以自由转动且质地均匀的转盘，甲转盘被分成三个大小相同的扇形，分别标有1，2，3；乙转盘被分成四个大小相同的扇形，分别标有1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘直至它自动停止（若指针正好指向扇形的边界，则重新旋转转盘，直至指针指向扇形内部）．
（1）转动甲转盘，指针指向3的概率是 ；
（2）利用列表或画树状图的方法求转动两个转盘指针指向的两个数字和是5的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用概率公式求解指针指向3的概率即可；
（2）先列表得到所有的等可能的结果数与和为5的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）甲转盘被分成三个大小相同的扇形，分别标有1，2，3；
所以转动甲转盘，指针指向3的概率是：
故答案为：；
（2）列表如下：
所有的等可能的结果数有12种，和为5的结果数有3种，
所以转动两个转盘指针指向的两个数字和是5的概率．
【点睛】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，掌握“列表法得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数”是解本题的关键.
18. 如图，已知矩形的一个顶点的坐标为，反比例函数的图象经过矩形的对称中心，且与边交于点．

（1）求反比例函数的解析式和点的坐标；
（2）若过点的直线将矩形的面积分成的两部分，求此直线的解析式．
【答案】（1），；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据中心对称求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出，然后根据点的纵坐标与点的纵坐标相等代入求解即可得到点的坐标;
（2）设直线与轴的交点为，根据点的坐标求出，再根据梯形的面积分两种情况求出的长，然后写出点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．
【小问1详解】
∵点坐标为，为矩形的对称中心，
∴的坐标为，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在上，
∴点的纵坐标为，
∴时，，
∴的坐标为．
【小问2详解】
如图，设直线与轴的交点为，
，
由题意得：，
∵矩形的面积分成的两部分，
∴梯形的面积为或，
∵的坐标为，
∴①若，解得：，
此时点的坐标为，
∴当，时，，
解得：，
此时直线的解析式为，
②若，解得：，
此时点的坐标为，与点重合，
∴当，时，，
解得：，
此时直线的解析式为，
综上所述：此时直线的解析式为或．
【点睛】此题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，根据中心对称求出点的坐标是解题的关键．
19. 学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1），如图2，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察A点，A，，三点也成一线，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．

【答案】
【解析】
【分析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x的方程，即可求出建筑物的高度．
【详解】解：由题意可知：，
，，
，
，
．
设，则，
解得：，
，
，
．
答：该古建筑高．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，求出的值是解题的关键．
20. 某旅游景点的门票价格是元/人，日接待游客人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高元，日接待游客人数就会减少人．设提价后的门票价格为（元/人），日接待游客的人数为（人）．
求与的函数关系式；
已知景点每日的接待成本为（元），与满足函数关系式：．求与的函数关系式；
在的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？（利润门票收入-接待成本）
【答案】（1）y=-10x+700；（2）z=-100x+7100；（3）当门票价格为40元时，景点每日获取的利润最大，最大利润是8900元．
【解析】
【分析】（1）根据门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人，可得价格与人数的关系；
（2）根据成本与人数的关系式，可得函数解析式；
（3）根据二次函数的性质，a＜0，当自变量取-时，函数取最大值，可得答案．
【详解】（1）由题意得y=500-50×，即y=-10x+700；
（2）由z=100+10y，y=-10x+700，得z=-100x+7100；
（3）w=x（-10x+700）-（-100x+7100），
即w=-10x2+800x-7100，
当x=-=-=40时，景点每日获取的利润最大，
w最大===8900（元），
答：当门票价格为40元时，景点每日获取的利润最大，最大利润是8900元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，列函数解析式是解题关键，利用了二次函数的性质．
21. 如图，，为平行四边形的对角线，点E是上一点，点F在延长线
上，且，与交于点G，连结．
（1）求证：．
（2）连结，，若，且G恰好是的中点，求证：四边形是菱形．
（3）在（2）的条件下，若四边形是正方形，且，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证是的中位线，即可得出结论；
（2）证，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（3）由正方形的性质得，，，再求出，然后由勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
；
（2）证明：由（1）得：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（3）四边形是正方形，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了菱形判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
22. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于，点为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式及点的坐标．
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）若，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为4个单位长度和3个单位长度，点为抛物线上点，之间（含点，）的一个动点，请直接写出点的纵坐标的取值范围为_______．
【答案】（1），点的坐标为；
（2）存在，点坐标为，面积的最大值为；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴交于点，求得直线的解析式，设点，则点，利用列出函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由M、N到对称轴的距离分别为4个单位长度和3个单位长度，可找到点M、N的横坐标，即可求得点M、N的坐标，再根据点M在点N的左侧分类讨论的取值范围．
【小问1详解】
解：把，代入解析式可得：，
解得，
抛物线的解析式为，
，
的坐标为；
【小问2详解】
解：存在
过点作轴交于点，
令，得，
∴点C的坐标为；
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
则
，
，
当时，点坐标为，面积的最大值为；
【小问3详解】
解：由（1）知抛物线的对称轴为，
M到对称轴的距离为4个单位，
或，
或，
点N到对称轴的距离为3个单位，
或，
或，
若，，
则，
若，，
则．
综上，点的纵坐标的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、顶点坐标公式以及求二次函数的函数值的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能利用分类讨论的思想解决数学问题．
23. 在四边形中，（、分别为边、上的动点），的延长线交延长线于点，的延长线交延长线于点．

（1）如图①，若四边形是正方形，_______（填写与相似的三角形）；
（2）如图②，若四边形是菱形．
①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
②若，，连接，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）；
（2）①（1）中结论依然成立，理由见解析；②．
【解析】
【分析】（1）可证得，，从而找出相似三角形；
（2）①可证得，，从而证明结论；②可证得，从而得出，根据，可计算得出，根据，可得的长．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，，
即，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①（1）中结论依然成立
四边形是菱形，
∴，
∴，
∴
∴，
即：，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
②如图，

∵，
∴，
∵，，
四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键充分利用相似三角形求线段的长度．1
2
3
4
1
和2
和3
和4
和5
2
和3
和4
和5
和6
3
和4
和5
和6
和7