河南省许昌市2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省许昌市2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共7页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：本试卷满分120分，考试时间为100分钟.
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
2.方程的根是（ ）
A.B.C. ，D.，
3.小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A.随机事件B.不可能事件C.必然事件D.确定性事件
4.如图，四边形内接于，若，则为（ ）
A.54°B.62°C.72°D.82°
5.将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A.B.
C.D.
6.如图，点P为反比例函数的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，若矩形的面积为4，则k的值为（ ）
A.4B.C.2D.
7.方程经过配方化为的形式，正确的是（ ）
A.B.C.D.
8.熙熙的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她想到的办法是：把三角板的30°顶点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为点B，C，如图所示，测量出弦的长就可以得到镜子的直径.经测量弦的长为，则该镜子的直径为（ ）
A.B.C.D.
9.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转60°，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
10.已知二次函数，y与x的部分对应值如下表所示：
下面有四个论断：
①抛物线的顶点为；
②；
③关于x的方程的解为，；
④当时，y的值为正.其中正确的有（ ）
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是60°，则该正多边形边数是______.
12.写出一个顶点在x轴上的抛物线的表达式：______.
13.快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数.已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______.
14.如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田.若试验田面积为，求道路宽为多少？设道路宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是______
15.如图，在正方形中，，点O为的中点，点E在上，且，将绕点A在平面内旋转，点E的对应点为点F，连接，，当时，的长为______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（8分）已知方程有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求方程的根.
17.（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，将绕点O顺时针旋转90°得到.
（1）请在图中画出；
（2）与是否关于某点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点P.
18.（9分）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化.已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示.
（1）求密度：关于体积V的函数解析式；
（2）当时，求二氧化碳的密度的取值范围.
19.（9分）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献.
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为多少？
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率.
20.（9分）在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明.小亮说：当圆心O在的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在的边上时的特殊情形来解决.请选择图2或图3中的一种，完成证明.
21.（10分）某公园草坪上有一个喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，喷水头P距离地面，喷出的水流在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距离地面.建立如图1所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水流距喷水头的水平距离，是水流距地面的高度.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，这个喷水装置的喷头P能左右旋转240°，它的喷灌区域是一个扇形，求出它能喷灌的草坪的面积（结果用含的式子表示）.
22.（10分）如图，已知为的直径，点C在上，点D为圆外一点，连接、、.给出下列条件：①是的切线；②；③是的切线.
（1）请在上述三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论组成一个真命题，并给出证明.
（2）在（1）的条件、结论下，延长交的延长线于点E，延长交的延长线于点F，若，，则的长为______.
23.（11分）在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以为直径作.取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”.
（1）如图，已知抛物线.
①若点A横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______；
②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；
（2）已知点在抛物线上，若“抛物圆”的“扁度”值不超过3，请直接写出a的取值范围.
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
6
1
m
…
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
已知：如图，在中，所对的圆周角是，圆心角是.
求证：.