河南省三门峡市八年级上学期1月期末数学试题（解析版）

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1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置．
2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 中秋节是中国传统节日，中秋节传统的习俗有赏月、吃月饼、赏花灯、饮桂花酒等．下列月饼图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，进行解答，即可．
【详解】解：A，不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C，不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2. 5G是第五代移动通信技术，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，下载一部高清电影只需要1秒．将0.00076用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意依据绝对值小于1的正数利用科学记数法表示为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定进行分析即可．
【详解】解：0.00076=.
故选：B.
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，注意掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方，完全平方公式，同底数幂乘法和合并同类项，根据幂的乘方，完全平方公式，同底数幂乘法和合并同类项等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4. 如图，某地地震过后，某村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确定房梁是水平的，其数学道理是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 三角形内角和是
C. 等腰三角形底边上的中线和与底边上的高重合
D. 垂线段最短
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的性质．由等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的中线和与底边上的高重合，即可得到答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，
，
，
垂直于地面，
平行于地面，
房梁是水平的，
其数学道理是：等腰三角形底边上的中线和与底边上的高重合．
故选：C．
5. 如图，中，是上一点，是的中点，，，三点共线，添加一个条件______，使得．下列选项不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据添加的条件去证明，从而可证明，据此利用全等三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
添加条件，则，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
添加条件，
∵，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
添加条件，
∵
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
添加条件，不能证明，故D错误，符合题意；
故选：D．
6. 如图所示，在中，，是两条高，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高的定义，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形中的两个锐角互余求得：，根据三角形的外角性质可得，即可求解．
【详解】解： 在中，，是两条高，，
，，
，
故选：C．
7. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个形似“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，边上的高，．下列推断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．根据对称的性质，等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质逐一判断即可．
【详解】与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，
，
，
又，分别是底边，边上的高，
，
，
，，
，，
即，，故B、 C正确，不符合题意；
∵，，
∴当时，，否则这两个角不相等，
∴不一定等于，故A错误，符合题意；
如图，过作，
，
，
，
由对称得：，
，
同理可证：，
，故D正确，故不符合题意；
故选：A．
8. 若式子的计算结果中不含的一次项，则的值为（ ）
A. 0B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则计算出的结果，再根据结果中不含的一次项，即含的一次项的系数为0列式求解即可．
详解】解：
，
∵式子的计算结果中不含的一次项，
∴，
∴，
故选：D．
9. 下列正多边形的组合中，能够平面镶嵌的是（ ）
A. 正三角形和正六边形B. 正方形和正五边形
C. 正三角形和正五边形D. 正五边形和正七边形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是平面镶嵌，正多边形内角和问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．根据求出每个选项中正多边形的内角度数，再判断能否组成360度的周角，即可得到答案．
【详解】解：A、正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是，
∵，
∴正三角形和正六边形能够平面镶嵌，符合题意．
B、正方形的每个内角是，正五边形每个内角是，不存在正整数m、n，使得，故正方形和正五边形不能平面镶嵌，不符合题意；
C、正三角形的每个内角是，正五边形每个内角是，不存在正整数x、y，使得，故正三角形和正五边形不能平面镶嵌，不符合题意；
D、正五边形每个内角是，正七边形每个内角是，不存在正整数s、t，使得，故正五边形和正七边形不能平面镶嵌，不符合题意；
故选：A．
10. 如图，在中，，，是的中点，则边上的中线的长度可能是（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，延长到E，使得，连接，可证明得到，再利用三角形三边的关系求出的长的范围即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有B选项符合题意，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，负整数指数幂，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，则括号内的单项式可以是______．（填一种即可）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法，根据题意，多项式，当括号内的单项式为时，因式分解为：，进行解答，即可．
【详解】解：∵，
∴，
当括号内的单项式为时，
∴．
故答案为：．
13. 化简的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的加法计算，先把两个分式通分，再把分子合并同类项，最后分子与分母约分化简即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图1，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将沿虚线分割后拼接成长方形，如图2．若，，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形的拼剪，长方形的性质，三角形的面积，根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题．
【详解】解： 由题意得：，，，
，
的边上的高为，，
，
故答案为：．
15. 如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是_______________．

【答案】
【解析】
【分析】过点作，垂足为，连接，，根据等腰三角形三线合一性质可得是边上的中线，则垂直平分，，得到，则线段的长为的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：如图，过点作，垂足，连接，
∵，，
∴是边上的中线，
∴垂直平分，直线是等腰的对称轴，
∴，
∵点、分别是线段、上的动点，
∴，
∴当点、、三点共线且点与点重合时，取得最小值，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案：．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过三线合一的性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．也考查了含的直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质．
三、解答题（本大题8个小题，满分75分）
16. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. （1）化简：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，解分式方程：
（1）先根据多项式乘以多项式的计算法则和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）先去分母把原方程变成整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
18. 先化简，再从的范围内选择一个合适的整数代入求值．
【答案】，当时，原式；当时，原式；当时，原式．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∵，
∴当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
19. 如图，小明家有一块三角形土地，其中，，米，米．春天来了，小明的爷爷想把这块三角形土地分成形状、大小相同的三小块，分别种上豆角、西红柿、茄子．
（1）你能帮小明的爷爷把这块土地分成形状、大小相同的三份吗？试着画一画．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，请计算其中一块小三角形土地的周长．
【答案】（1）见解析 （2）的周长为米
【解析】
【分析】本题考查了作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
（1）作线段的垂直平分线分别交、于点、，再连接，则，，得到，由于，，可得，推出，可推出分成的三角小三角形全等，即可求解；
（2）由（1）可知，，得到，由垂直平分，得到，可求出的周长．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
由（1）可知，，
，
垂直平分，
，
的周长为：米．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点．
（1）在平面直角坐标系中画出；
（2）画出关于轴对称的图形，若点的对应点为，则点的坐标为_____；
（3）在轴上是否存在一点使得？若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，勾股定理：
（1）根据A、B、C三个点的坐标描出A、B、C，再顺次连接A、B、C即可；
（2）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此得到B、C对应点E、F的坐标，再描出E、F，最后顺次连接A、E、F即可；
（3）设出点P坐标，根据利用两点距离计算公式建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
∵与关于轴对称，，
∴；
【小问3详解】
解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21. 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
；
；
；
……
（1）设为整数，且，请用含的式子表示上述等式蕴含的一般规律_____；
（2）请证明（1）中得到的规律；
（3）小明同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：，，，……．
请你用发现的规律计算．（写出计算过程）
【答案】（1）
（2）见解析 （3），
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，多项式乘以多项式：
（1）个位数字为5数的平方，其结果为这个两位数的十位数字与其十位数字加1的数字相乘的结果的100倍再加上25，据此求解即可；
（2）利用完全平方公式把展开即可；
（3）证明 ，再利用该结论计算求解即可．
【小问1详解】
解：；
；
；
……，
以此类推可知，，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：
；
【小问3详解】
解：
，
∴，．
22. 下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两名同学列的方程．
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买型充电桩与用24万元购买型充电桩的数量相等．求，两种型号充电桩的单价．
甲：．
乙：．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲同学所列方程中的表示______，乙同学所列方程中的表示______．
（2）请你从两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题．
【答案】（1）型充电桩的单价；购买型充电桩的数量
（2）型充电桩的单价为0.9万元，型充电桩的单价为1.2万元
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是弄清题目中的等量关系．
（1）甲是根据数量相等列出的方程，所以x表示型充电桩的单价；乙是根据型充电桩比型充电桩的单价少0.3万元列出的方程，所以y表示购买型充电桩的数量；
（2）选择甲或乙的方程，解得分式方程即可．
【小问1详解】
型充电桩的单价；购买型充电桩的数量．
【小问2详解】
选择甲同学所列的方程．
，解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：型充电桩的单价为0.9万元，型充电桩的单价为1.2万元．
选择乙同学所列的方程．
，解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，．
答：型充电桩的单价为0.9万元，型充电桩的单价为1.2万元．
23. 如图1，为等边三角形，顶点坐标分别为，，O0,0，动点分别从点，同时出发，点运动到点停止，点运动到点停止．
（1）的值为_____；
（2）若点，点运动速度相同，求证：；
（3）如图2，动点从点开始，沿着轴的正方向运动，以为边长作等边，连接并延长交轴于点．点在运动时，在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）的坐标为：或
【解析】
【分析】（1）过点作交于点，根据等边三角形的性质，求出，，即可；
（2）根据题意，则，根据等边三角形的性质，则，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，即可；
（3）根据等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，则，得到，求出，根据三角形的内角和，求出，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，分类讨论当点在点是上方时，有，当点在点是下方时，有，求出的坐标，即可．
【小问1详解】
解：过点作交于点
∵为等边三角形，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：证明如下：
∵动点分别从点，同时出发，点运动到点停止，点运动到点停止，点，点运动速度相同，
∴，
∵为等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【小问3详解】
答：存在，理由如下：
∵是等边三角，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴
∴，
∴，
当点在点是上方时，有，
∴为等腰三角形，
∴，
∴；
当点在点是下方时，有，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的坐标为：或．