2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第06讲双曲线及其性质(高效培优讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第06讲双曲线及其性质(高效培优讲义)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了双曲线的定义及其应用，双曲线的标准方程，双曲线方程的充要条件，双曲线的焦点、焦距，双曲线上两点距离的最值问题，双曲线上两线段的和差最值问题，双曲线的渐近线，求双曲线离心率的值及取值范围等内容，欢迎下载使用。
考情探究 TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc19028" PAGEREF _Tc19028 \h 2
知识梳理 \l "_Tc11394" PAGEREF _Tc11394 \h 3
探究核心考点 \l "_Tc20942" PAGEREF _Tc20942 \h 4
\l "_Tc32152" 考点一 双曲线的定义及其应用 PAGEREF _Tc32152 \h 4
\l "_Tc27040" 考点二 双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc27040 \h 5
\l "_Tc20483" 考点三 双曲线方程的充要条件 PAGEREF _Tc20483 \h 6
\l "_Tc29524" 考点四 双曲线的焦点、焦距 PAGEREF _Tc29524 \h 7
\l "_Tc17443" 考点五 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 PAGEREF _Tc17443 \h 7
\l "_Tc9950" 考点六 双曲线上两点距离的最值问题 PAGEREF _Tc9950 \h 9
\l "_Tc12004" 考点七 双曲线上两线段的和差最值问题 PAGEREF _Tc12004 \h 9
\l "_Tc14109" 考点八 双曲线的渐近线 PAGEREF _Tc14109 \h 10
\l "_Tc27334" 考点九 求双曲线离心率的值及取值范围 PAGEREF _Tc27334 \h 11
\l "_Tc9025" 考点十 与双曲线有关的最值、范围问题 PAGEREF _Tc9025 \h 12
\l "_Tc5660" 考点十一 双曲线的轨迹方程 PAGEREF _Tc5660 \h 13
\l "_Tc25746" 考点十二 椭圆与双曲线综合 PAGEREF _Tc25746 \h 14
\l "_Tc20561" 考点十三 双曲线的实际应用 PAGEREF _Tc20561 \h 16
三阶突破训练 \l "_Tc25379" PAGEREF _Tc25379 \h 18
基础过关 \l "_Tc22061" PAGEREF _Tc22061 \h 18
能力提升 \l "_Tc12670" PAGEREF _Tc12670 \h 19
真题感知 \l "_Tc7539" PAGEREF _Tc7539 \h 20
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】近5年双曲线命题中，“求离心率或其取值范围”是核心高频考点，多以选择题、填空题形式出现（分值4-6分）；同时涉及利用定义解决焦点三角形问题、根据a,b,c及渐近线求标准方程等考点，且部分题目会与向量数量积、抛物线定义、圆的弦长、点到直线的距离等知识关联，体现出知识点交叉融合的命题特点，注重对双曲线几何性质和综合运算能力的考查。
【备考策略】备考时需扎实掌握双曲线的定义、标准方程、几何性质（离心率、a,b,c的关系、渐近线等）。针对 “离心率取值范围” 这一高频考点开展专项训练，总结利用几何图形性质、不等式（如均值不等式、二次函数值域）、定义法等求解的方法；同时强化双曲线与其他圆锥曲线、平面几何知识综合题的练习，提升知识迁移和综合解题能力。
【命题预测】预计未来双曲线命题仍会以 “离心率或其取值范围” 为考查重点，题型和分值保持稳定。命题将进一步突出综合性，可能在离心率问题中融入更多函数、不等式、向量等知识，或结合实际场景考查双曲线的方程与性质应用，以此检验学生的数学思维和综合分析能力。
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；
(1)当a＜c时，P点的轨迹是 ；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是 ；
(3)当a＞c时，集合P是 .
2.双曲线的标准方程
3.双曲线的简单几何性质
考点一 双曲线的定义及其应用
典例1．（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（ ）
A．1B．13C．1或13D．2或14
典例2．（2025·北京海淀·模拟预测）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练1．【多选】（2025·四川攀枝花·模拟预测）圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
跟踪训练2．（2025高三·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
考点二 双曲线的标准方程
典例1．（2025·天津和平·模拟预测）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
典例2．（2025高三·河北）一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练1．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（）
A．B．C．D．
跟踪训练3．（2025·山东济南·模拟预测）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练4．（2025·北京东城·模拟预测）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点三 双曲线方程的充要条件
典例1．（2025高三·贵州贵阳）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
典例2．（2025·四川成都·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练1．（2025·安徽黄山·模拟预测）“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
跟踪训练2．（2025·新疆·模拟预测）“”是 “方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
跟踪训练3．（2025·四川南充·模拟预测）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
跟踪训练4．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知曲线，则“”是“曲线C的焦点在x轴上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点四 双曲线的焦点、焦距
典例1．（2025·浙江温州·模拟预测）双曲线的一个焦点为，则（ ）
A．B．C．3D．
典例2．（2025·吉林·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1B．2C．4D．8
跟踪训练1．（2025·广东珠海·模拟预测）双曲线的焦点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（2025·辽宁·模拟预测）已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知是双曲线的半焦距，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
考点五 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
典例1．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（ ）
A．24B．22C．20D．18
典例2．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练1．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025·江西·模拟预测）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．
跟踪训练3．【多选】（2025·山东淄博·模拟预测）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点到轴的距离为B．
C．为钝角三角形D．
跟踪训练4．【多选】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为B．的周长为
C．D．的内切圆半径为
跟踪训练5．【多选】（2025·山西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ）
A．B．的离心率为
C．的面积为D．
考点六 双曲线上两点距离的最值问题
典例1．（2025高三·上海宝山·期中）若 为双曲线 的左焦点，过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，则 的取值范围是
典例2．【多选】（2025高三·重庆）已知动点在左、右焦点分别为、的双曲线上，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为2B．当在双曲线左支时，的最大值为
C．点到两渐近线距离之积为定值D．双曲线的渐近线方程为
跟踪训练1．（2025高三·全国）已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025高三·上海）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ．
考点七 双曲线上两线段的和差最值问题
典例1．（2025·山东济南·模拟预测）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ．
典例2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 .
跟踪训练1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．10D．14
跟踪训练2．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 .
跟踪训练3．（2025·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练4．【多选】（2025高三·江西）已知点分别为双曲线的左、右焦点，为的右支上一点，则（ ）
A．B．
C．D．
考点八 双曲线的渐近线
典例1．（2025·全国·模拟预测）双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为 .
典例2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则（ ）
A．4B．2C．D．
跟踪训练1．（2025·广西·模拟预测）已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（2025·河北·模拟预测）双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练3．（25-26高三·江苏南通）已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）过原点的直线与双曲线交于两点，为的右顶点，直线与直线的斜率之积为3，则的渐近线方程为 ．
考点九 求双曲线离心率的值及取值范围
典例1．（2025·河南·模拟预测）设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为 .
典例2．（2025·广东·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练1．（2025·广东·模拟预测）已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，且位于第一象限，为的内心，若，则双曲线的离心率为 ．
跟踪训练2．（2025·湖南·模拟预测）设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
跟踪训练3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．2C．D．
跟踪训练4．（2025·四川绵阳·模拟预测）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，A，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为6b，则双曲线的离心率为 .
跟踪训练5．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 .
跟踪训练7．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练8．（2025·北京·模拟预测）若双曲线 的离心率小于3，则m的一个取值为 .
跟踪训练9．（2025·江西·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，离心率为3，为上一点，且位于第一象限，若垂直于轴，则直线的斜率为（ ）
A．1B．2C．3D．
考点十 与双曲线有关的最值、范围问题
典例1．（2025·江苏盐城·模拟预测）设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
典例2．（2025·安徽·模拟预测）已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练1．（2025·江西新余·模拟预测）如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）.
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（2025·河北保定·模拟预测）已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练3．（2025·云南昆明·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点十一 双曲线的轨迹方程
典例1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（ ）
A．B．C．D．
典例2．（2025高三·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练1．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（2025高三·广东广州·期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练3．（2025·河南·模拟预测）已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为
A．B．
C．（）D．（）
跟踪训练4．（2025·浙江·模拟预测）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点十二 椭圆与双曲线综合
典例1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
典例2．（2025·浙江·模拟预测）如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
跟踪训练1．（2025·江西·模拟预测）已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025·四川南充·模拟预测）已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若四边形与四边形全等，则（ ）．
A．1B．2C．3D．4
考点十三 双曲线的实际应用
典例1．（2025高三·山东德州·期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（ ）
A．B．C．D．
典例2．（2025·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( )
A．B．C．D．
跟踪训练1．（2025·辽宁·模拟预测）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是（ ）
A．B．
C．D．
跟踪训练2．（2025高三·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练3．（2025·全国·模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（ ）
A．B．C．D．

1．（2025·广西·模拟预测）已知双曲线的焦距是虚轴的2倍，则的离心率为（ ）．
A．B．2C．D．
2．（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
3．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（ ）
A．3B．6C．4D．8
4．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为．若为钝角，则的焦距为（ ）
A．B．C．7D．14
5．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线，双曲线渐近线斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·广东广州·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线交另一渐近线于点B，若，则双曲线C的焦距为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·甘肃平凉·模拟预测）设P是双曲线C：上一点，，是C的左、右焦点，若，则（ ）
A．10或4B．13或1C．10D．13
9．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线相互垂直，则（ ）
A．B．C．4D．2
1．（2025·四川广元·模拟预测）以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，且满足，则动点的轨迹是（ ）
A．直线的一部分B．圆C．椭圆D．双曲线
2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
3．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A 的方程为 圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（ ）
A．B．或C．D．
4．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ）
A．3B．C．2D．
5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·河南·模拟预测）过双曲线右支上的点作的切线l，，分别为的左、右焦点，为切线上的一点，且（O为坐标原点）.若，则（ ）
A．B．2C．3D．4
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（ ）
A．2B．C．1D．
1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2B．5C．D．
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ）
A．B．
C．C的离心率为D．当时，四边形的面积为
6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
7．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若的离心率为2，求.
(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.
(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年全国一卷，第3题，5分
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
无
2025年全国二卷，第11题，6分
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
用定义求向量的数量积
已知数量积求模
2025年天津卷，第9题，5分
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
抛物线定义的理解
根据抛物线方程求焦点或准线
2025年北京卷，第3题，4分
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
无
2024年新课标I卷，第12题，5分
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
无
2024年全国甲卷（理数），第5题，5分

求双曲线的离心率或离心率的取值范围
无
2023年新课标I卷，第16题，5分
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
无
2023年全国甲卷（文数），第9题，5分
根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
圆的弦长与中点弦
2023年北京卷，第12题，5分
根据离心率求双曲线的标准方程
无
2023年天津卷，第9题，5分
根据a、b、c求双曲线的标准方程
根据双曲线的渐近线求标准方程
求点到直线的距离
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1 ，A2
顶点坐标：
A1 ，A2
渐近线
y＝
y＝
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ ；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴，它的长|B1B2|＝ ； a叫做双曲线的 ，b叫做双曲线的
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
第06讲 双曲线及其性质
目录
考情探究 TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc19028" PAGEREF _Tc19028 \h 2
知识梳理 \l "_Tc11394" PAGEREF _Tc11394 \h 3
探究核心考点 \l "_Tc20942" PAGEREF _Tc20942 \h 4
\l "_Tc32152" 考点一 双曲线的定义及其应用 PAGEREF _Tc32152 \h 4
\l "_Tc27040" 考点二 双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc27040 \h 7
\l "_Tc20483" 考点三 双曲线方程的充要条件 PAGEREF _Tc20483 \h 10
\l "_Tc29524" 考点四 双曲线的焦点、焦距 PAGEREF _Tc29524 \h 12
\l "_Tc17443" 考点五 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 PAGEREF _Tc17443 \h 14
\l "_Tc9950" 考点六 双曲线上两点距离的最值问题 PAGEREF _Tc9950 \h 19
\l "_Tc12004" 考点七 双曲线上两线段的和差最值问题 PAGEREF _Tc12004 \h 23
\l "_Tc14109" 考点八 双曲线的渐近线 PAGEREF _Tc14109 \h 27
\l "_Tc27334" 考点九 求双曲线离心率的值及取值范围 PAGEREF _Tc27334 \h 29
\l "_Tc9025" 考点十 与双曲线有关的最值、范围问题 PAGEREF _Tc9025 \h 37
\l "_Tc5660" 考点十一 双曲线的轨迹方程 PAGEREF _Tc5660 \h 41
\l "_Tc25746" 考点十二 椭圆与双曲线综合 PAGEREF _Tc25746 \h 44
\l "_Tc20561" 考点十三 双曲线的实际应用 PAGEREF _Tc20561 \h 49
三阶突破训练 \l "_Tc25379" PAGEREF _Tc25379 \h 54
基础过关 \l "_Tc22061" PAGEREF _Tc22061 \h 54
能力提升 \l "_Tc12670" PAGEREF _Tc12670 \h 59
真题感知 \l "_Tc7539" PAGEREF _Tc7539 \h 65
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】近5年双曲线命题中，“求离心率或其取值范围”是核心高频考点，多以选择题、填空题形式出现（分值4-6分）；同时涉及利用定义解决焦点三角形问题、根据a,b,c及渐近线求标准方程等考点，且部分题目会与向量数量积、抛物线定义、圆的弦长、点到直线的距离等知识关联，体现出知识点交叉融合的命题特点，注重对双曲线几何性质和综合运算能力的考查。
【备考策略】备考时需扎实掌握双曲线的定义、标准方程、几何性质（离心率、a,b,c的关系、渐近线等）。针对 “离心率取值范围” 这一高频考点开展专项训练，总结利用几何图形性质、不等式（如均值不等式、二次函数值域）、定义法等求解的方法；同时强化双曲线与其他圆锥曲线、平面几何知识综合题的练习，提升知识迁移和综合解题能力。
【命题预测】预计未来双曲线命题仍会以 “离心率或其取值范围” 为考查重点，题型和分值保持稳定。命题将进一步突出综合性，可能在离心率问题中融入更多函数、不等式、向量等知识，或结合实际场景考查双曲线的方程与性质应用，以此检验学生的数学思维和综合分析能力。
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距.
注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；
(1)当a＜c时，P点的轨迹是 双曲线；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线；
(3)当a＞c时，集合P是 空集.
2.双曲线的标准方程
3.双曲线的简单几何性质
考点一 双曲线的定义及其应用
典例1．（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（ ）
A．1B．13C．1或13D．2或14
【答案】B
【分析】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可得.
【详解】因为双曲线的两条渐近线方程为，所以，，
根据双曲线定义，，
解得或1，又，所以.
故选：B.
典例2．（2025·北京海淀·模拟预测）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义即可得出答案.
【详解】∵，动点满足，
∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，，
∴的轨迹的方程为，
故选：D.
跟踪训练1．【多选】（2025·四川攀枝花·模拟预测）圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】ABC
【分析】由题设条件线段和垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）若为圆内的一定点，P是圆O上一个动点，线段AP的垂直平分线l与
直线OP相交于点Q，可得，，
即动点到两定点的距离之和为定值，
①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆；
②当重合时，点的轨迹是以为圆心的圆；

（2）若为圆外的一定点，为圆上的一动点，线段的垂直平分线交直线于点，
可得，，即动点到两定点
的距离之差绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是：
以为焦点的双曲线；
（3）若为圆上的一定点，为圆上的一动点，此时点的轨迹是圆心.
综上可得即点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.
故选：ABC
跟踪训练2．（2025高三·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程.
【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切，
则，，
则，
故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支.
又因，解得，故其轨迹方程为.
故选：D.
考点二 双曲线的标准方程
典例1．（2025·天津和平·模拟预测）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解.
【详解】由题意设双曲线方程为，
由题意可知，
由于，，故，解得，
故，
故双曲线方程为，
故选：D
典例2．（2025高三·河北）一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意双曲线的方程为，将点代入计算可得.
【详解】由题意设双曲线的方程为，
将点代入双曲线方程得，
所以双曲线的方程为，即.
故选：A.
跟踪训练1．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可.
【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即，
取的中点，连接，由，得，，
，，
则，，
在中，，解得，
所以该双曲线的方程为.
故选：A
跟踪训练2．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可.
【详解】如图，根据圆的性质可知．
又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形，
故双曲线浙近线的倾斜角为．
所以，即，则双曲线方程为．
将点代入双曲线方程，得，解得，
则双曲线方程为，
故选：C．
跟踪训练3．（2025·山东济南·模拟预测）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可.
【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为，
又因为过点，所以，解得，
所以，双曲线的标准方程是．
故选：A．
跟踪训练4．（2025·北京东城·模拟预测）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入点运算求解即可.
【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为，
设双曲线方程为，
代入点，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A.
考点三 双曲线方程的充要条件
典例1．（2025高三·贵州贵阳）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】曲线C是双曲线则与异号，列出不等式求出m的范围，即可进行判断.
【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件.
故选：B
典例2．（2025·四川成都·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出该方程表示双曲线时的的取值范围，再根据必要不充分条件的概念即可找出正确选项．
【详解】若该方程表示双曲线，则 ，即 ，又，解得 ，
对于A，是充要条件，A不是；
对于B，真包含于，则是必要不充分条件，B是；
对于 C，真包含于，则是充分不必要条件，C不是；
对于D，与互不包含，则是既不充分又不必要条件，D不是.
故选：B
跟踪训练1．（2025·安徽黄山·模拟预测）“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据双曲线的标准方程以及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若为双曲线方程，则，
解得或，
故是“为双曲线方程”的充分不必要条件.
故选：A
跟踪训练2．（2025·新疆·模拟预测）“”是 “方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】表示双曲线时，
等价于，解得或.
因为由可推出或，但是由或，不能推出，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A.
跟踪训练3．（2025·四川南充·模拟预测）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若曲线是焦点在轴的双曲线，则，，所以，故必要性成立，
若，满足，但是曲线是焦点在轴的双曲线，故充分性不成立，
所以“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的必要不充分条件.
故选：B
跟踪训练4．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知曲线，则“”是“曲线C的焦点在x轴上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；当曲线C表示焦点在x轴上的双曲线时.
【详解】若，则曲线表示焦点在x轴上的椭圆，故充分性成立；
若曲线C的焦点在x轴上，也有可能是，此时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故必要性不成立，
故选：A
考点四 双曲线的焦点、焦距
典例1．（2025·浙江温州·模拟预测）双曲线的一个焦点为，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】由双曲线中的平方关系即可得出答案.
【详解】由题意得，所以．
故选：A.
典例2．（2025·吉林·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】利用给定条件求出，再设出双曲线方程，求解基本量，得到实轴长即可.
【详解】因为轴，且，双曲线的右焦点为，
所以，设双曲线方程为，且，
将代入双曲线方程，得到，联立解得(负根舍去)，
则双曲线的实轴长为，故B正确.
故选：B
跟踪训练1．（2025·广东珠海·模拟预测）双曲线的焦点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由方程求出和的值，进而求出，写出焦点坐标．
【详解】由题意知双曲线，得，，
所以，所以焦点为，故B正确.
故选：B.
跟踪训练2．（2025·辽宁·模拟预测）已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.
【详解】因为双曲线C的焦点为在纵轴上，所以，
且双曲线C方程满足，
故，则C的方程为．
故选：D．
跟踪训练3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知是双曲线的半焦距，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题中条件，得到，再由基本不等式，即可求出结果.
【详解】因为是双曲线的半焦距，
所以，
则，
当且仅当时，等号成立.
故选：C.
【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，考查双曲线的性质，属于基础题型.
考点五 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
典例1．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（ ）
A．24B．22C．20D．18
【答案】D
【分析】不妨设，，，根据面积关系和双曲线的定义可求，即可求解.
【详解】由题意，则，
不妨设，，，设到轴的距离为，
因为为的角平分线，则，
所以，所以，所以，
又，所以，
所以的周长为.
故选：D
典例2．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线定理及余弦定理可求.
【详解】由题设，双曲线的实半轴长，且，
因为，故在右支上且，
而，故，
由余弦定理可得：，
故选：C.
跟踪训练1．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先应用双曲线定义得出，，再应用余弦定理计算求解即可.
【详解】因为，，
由双曲线的定义可知，得，
又因为，
在中，，
所以.
故选：B．
跟踪训练2．（2025·江西·模拟预测）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，
由，则，
不妨设在双曲线的右支上，设，，又，
由双曲线的定义可得，
在中由余弦定理可得，，
即，解得，
所以.
故选：D
跟踪训练3．【多选】（2025·山东淄博·模拟预测）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点到轴的距离为B．
C．为钝角三角形D．
【答案】BC
【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D．
【详解】设点．
因为双曲线，所以，，，．
对于A，，所以，
所以点到轴的距离为4，错误．
对于B，将代入得，则．
由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，正确．
对于C，结合B选项，在中，，
且，则为钝角，
所以为钝角三角形，正确．
对于D，由，得，且，
所以，所以，错误．
故选：BC
跟踪训练4．【多选】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为B．的周长为
C．D．的内切圆半径为
【答案】BCD
【分析】利用三角形的面积公式可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；设，利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程，解出的值，可判断C选项；利用等面积法可判断D选项.
【详解】对于A选项，在椭圆中，，，，
，则、，
设点，，，故选项A错误；
对于B选项，由椭圆的定义可知，
的周长为，故选项B正确；
对于C选项，设，，可得，
由余弦定理可得
，
所以，
所以，解得，故选项C正确，
对于D选项，设的内切圆半径为，
则，
，故选项D正确.
故选：BCD.
跟踪训练5．【多选】（2025·山西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ）
A．B．的离心率为
C．的面积为D．
【答案】ACD
【分析】根据双曲线的定义、标准方程和几何性质，结合选项计算依次判断即可.
【详解】A：因为，解得，故A正确；
B：双曲线，所以，
的离心率，故B错误；
C：因为，所以，
则的面积为，故C正确；
D：所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
考点六 双曲线上两点距离的最值问题
典例1．（2025高三·上海宝山·期中）若 为双曲线 的左焦点，过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，则 的取值范围是
【答案】
【分析】根据双曲线求出实半轴、虚半轴和和焦距，根据图像的对称性得出，又根据双曲线的定义得到，得到，将其设为关于的函数，利用导数求出函数的极值即可得出取值范围.
【详解】
由得，，，
则左焦点，右焦点，
因为题中给出为双曲线的左焦点，
则，，
又因为双曲线与过原点的直线都关于原点对称，
所以，又根据双曲线的定义得，
所以，
设，所以，
设，
，令得（），
所以在单调递减，在单调递增，
所以，，
所以的取值范围为，
则的取值范围是.
故答案为：.
典例2．【多选】（2025高三·重庆）已知动点在左、右焦点分别为、的双曲线上，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为2B．当在双曲线左支时，的最大值为
C．点到两渐近线距离之积为定值D．双曲线的渐近线方程为
【答案】ABC
【分析】先利用双曲线方程得到对应的，直接求得离心率和渐近线方程，判断AD的正误，设，知，结合点到直线的距离公式直接计算点到两渐近线距离之积得到定值判断C正确；利用双曲线定义将转化成关于的关系式，再利用基本不等式即求得最值，判断选项B的正误.
【详解】在双曲线中，实半轴长，虚半轴长，半焦距
对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；
对于B，当在双曲线的左支上时，，，故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B正确；
对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确.
故选：ABC.
跟踪训练1．（2025高三·全国）已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由得，代入坐标，表示出点的从标，代入双曲线中化简，结合已知条件可得，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，
所以，且，
则有，得，
将点代入双曲线中得，所以 ①．
因为，即同向，
所以，所以，
将①代入上式并整理得，
即，则，等号能取到，
所以．
故选：B．
跟踪训练2．（2025高三·上海）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值．
【详解】根据题意可得，，
，，
所以，
由双曲线性质可得，设，，
则，
设，，
设，，
因为，所以，，
所以，即，
所以函数 是上的增函数.
所以当时，取得最小值4，
即的最小值为4，此时点为右顶点.
故答案为：4.

考点七 双曲线上两线段的和差最值问题
典例1．（2025·山东济南·模拟预测）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值；
【详解】设双曲线的右焦点为.
对于双曲线，可得，则.
因为点在双曲线的右支上，所以，即.
则.
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号.
已知，，根据两点间距离公式，可得.
所以，即的最小值为.
故答案为：
典例2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设的左焦点为，根据双曲线的定义可得，即可得解.
【详解】双曲线的右焦点，
设的左焦点为，则，
因为是右支上一点，所以，
所以，
当三点共线（在之间）时取等号，故的最小值为.
故答案为：
跟踪训练1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．10D．14
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值．
【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则．
设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即；
同理，点在双曲线的右支上，则，即．
所以．
根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立．
又，则，即．
所以的最小值为10．
故选：C．
跟踪训练2．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用双曲线定义，将转化为，结合圆的性质求解即可.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接，.
由题知，实轴长，
由双曲线定义知，，
则，
当P，D，三点共线时，取得最小值，
且最小值为.
故答案为：
跟踪训练3．（2025·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据双曲线的定义，判断点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据和把的周长转化为的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解.
【详解】由动点P到两定点，的距离之差为定值4，
结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
易得，，由得，则动点P的轨迹方程为，
如图：
又，则，且
故的周长为:，
当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为．
故选：D
跟踪训练4．【多选】（2025高三·江西）已知点分别为双曲线的左、右焦点，为的右支上一点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据双曲线的定义结合三角形三边之间的关系逐一分析即可.
【详解】由题意可得，
由双曲线的定义可得，则，
所以，
所以，当且仅当共线时等号成立，故A错误，B正确；
，
当且仅当共线且在两点中间时，等号成立，此时点在第四象限，
故C正确；
对于D，因为，所以，
当且仅当共线且在两点中间时，，此时点位于第四象限
当且仅当共线且在两点中间时，，此时点位于第一象限，
因为，双曲线的渐近线方程为，
而，所以共线时，点只能位于第四象限，
所以，故D正确.
故选：BCD.
考点八 双曲线的渐近线
典例1．（2025·全国·模拟预测）双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为 .
【答案】2
【分析】先根据双曲线方程得到右焦点的坐标及一条渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由双曲线的方程可知其右焦点为，
其中一条渐近线方程为，即，
故右焦点到这条渐近线的距离为.
故答案为：2.
典例2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据渐近线的斜率列方程即可得解.
【详解】由题知，双曲线焦点在轴上，且其中一条渐近线方程为，
所以，解得.
故选：A
跟踪训练1．（2025·广西·模拟预测）已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】写出双曲线的标准方程，求得，即可求出渐近线方程.
【详解】由题可得双曲线的标准方程为：，所以，，则双曲线的渐近线方程为：；
故选：C
跟踪训练2．（2025·河北·模拟预测）双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线标准方程，可知渐近线方程为，再结合条件及间的关系，即可求解.
【详解】由题知，得到，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：B.
跟踪训练3．（25-26高三·江苏南通）已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论.
【详解】设双曲线的焦距为，则，
故，所以双曲线的焦点坐标为，
又双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的焦点到渐近线的距离，
因为焦点到渐近线的距离为，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故选：A.
跟踪训练4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）过原点的直线与双曲线交于两点，为的右顶点，直线与直线的斜率之积为3，则的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】由双曲线的对称性，取双曲线的左顶点为点，易得，设点，由条件推得，再利用点在双曲线上，整体消元后得到即得渐近线方程.
【详解】如图，取双曲线的左顶点为点，连接，因直线过原点，
得四边形为平行四边形，
则，设点，因，
又由可得代入上式，化简可得，则，
故的渐近线方程为.
故答案为：.
考点九 求双曲线离心率的值及取值范围
典例1．（2025·河南·模拟预测）设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为 .
【答案】
【分析】不妨设点H在第一象限，根据题意可得，然后利用双曲线的定义和余弦定理即可求解.
【详解】由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限，
设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为，
又，则．由，可知．
设双曲线C的左焦点为，连接，
由双曲线的定义可知，
在中，由余弦定理可得，
整理得，即，则，，所以C的离心率．
故答案为：.
典例2．（2025·广东·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得到⊥，作出辅助线，结合双曲线定义求出，，由勾股定理得到方程，求出离心率.
【详解】由题意得⊥，取的中点，连接，
因为为的中点，所以，且，
故，即为坐标原点O到直线的距离，则，
所以，
由双曲线定义可得，所以，
又，由勾股定理得，
故，解得，故离心率为.
故选：C
跟踪训练1．（2025·广东·模拟预测）已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，且位于第一象限，为的内心，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】2
【分析】结合题意与三角形的面积公式建立方程，求解离心率即可.
【详解】如图，记内切圆的半径为，因为，
所以，
即，得到，
得到，即，故双曲线的离心率为2．
故答案为：2
跟踪训练2．（2025·湖南·模拟预测）设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的渐近线的性质，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】如图所示：
由得，所以，
故选：A
跟踪训练3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据题意写出以为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线方程联立求得点的纵坐标，再根据即可求得.
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，
如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：，
即，联立，
解得，即由对称性可得，，且，
则，可得，故离心率.
故选：B
跟踪训练4．（2025·四川绵阳·模拟预测）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，A，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为6b，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】由题意求得 的坐标，设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得，由的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值.
【详解】由题意可得，设，
由双曲线的定义可得，
，
，
则的周长为，
当且仅当共线，取得最小值，且为，
由题意可得，即，，
则.
故答案为：.

跟踪训练5．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解.
【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于，
所以，则，，
设，则
所以；由于，
因为，所以，则，则，
因为，所以
故选：B
跟踪训练6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用建立不等式即可求得双曲线的离心率范围.
【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，
则到渐近线的距离，，
由，得，即，解得，
即，于是，而，
所以双曲线的离心率的取值范围是．
故答案为：
跟踪训练7．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设为圆上一点，得到的中点，求得，结合直线与圆有公共点，得到，求得，进而求得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即，
且双曲线的渐近线方程为，
设为圆上一点，且圆心为，半径，
则的中点在其渐近线上，可得，
即，所以点在直线上，
因为圆心到直线的距离为，
因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点，
所以，即，可得，可得，所以，
又因为双曲线的离心率，所以，
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：B.
跟踪训练8．（2025·北京·模拟预测）若双曲线 的离心率小于3，则m的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】先根据双曲线标准方程得，再根据离心率小于3，得，解得的取值范围.
【详解】因为，所以,
因为离心率小于3，所以，所以.
故答案为：（答案不唯一）
跟踪训练9．（2025·江西·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，离心率为3，为上一点，且位于第一象限，若垂直于轴，则直线的斜率为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】B
【分析】根据题意可用将点的坐标表示出来，进而利用离心率可求得直线的斜率.
【详解】根据题意可得：，，.
将点的横坐标代入双曲线方程得：，
则，因为，所以.
所以点.
所以直线的斜率为.
故选：B.
考点十 与双曲线有关的最值、范围问题
典例1．（2025·江苏盐城·模拟预测）设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得双曲线的半焦距和渐近线方程，再由圆心到两渐近线的距离相等得，由半径相等可得与，关系，求出的取值范围得到答案.
【详解】由已知得，双曲线得渐近线方程为：，由圆与渐近线相切可得，
半径，则，则圆的半径，
，则，
因为，所以，则，，
所以长得取值范围是.
故选：B.
典例2．（2025·安徽·模拟预测）已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意作图，利用点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程计算求解.
【详解】

如图，由题意，设，则，即．
因为渐近线方程为，所以，
因为，所以.
故选：D.
跟踪训练1．（2025·江西新余·模拟预测）如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，进而可得.可求得，进而求得的范围即可.
【详解】设，
，，
.在△与△中：，
即：，
，
当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，
当与轴重合时，取最小，此时，
经上述分析得：，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的焦点三角形问题，考查焦点三角形内切圆，解题的关键是根据双曲线的性和圆的切线的性质得到的范围，数形结合的思想的应用.
跟踪训练2．（2025·河北保定·模拟预测）已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出，根据题干列出等式，求出轨迹方程，再根据与曲线有4个交点，求出参数a的范围.
【详解】设，由题意得，所以，即，
所以点的轨迹为两个双曲线.
双曲线的实半轴长为1，双曲线1的实半轴长为3，
由，得0），表示以原点为圆心，为半径的圆的上半圆，
若曲线与半圆有四个交点，则3，即.
故选：B.

跟踪训练3．（2025·云南昆明·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解.
【详解】在双曲线中，，渐近线方程为，
由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，，
由消去得，设，，
则，令，联立消去得，
整理得，而，即，解得，
因此，所以的取值范围是.
故选：B

考点十一 双曲线的轨迹方程
典例1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，求出点的坐标即可得解.
【详解】设，由，得点的轨迹是以为焦点，
实轴长为2的双曲线右支，方程为，当时，，
所以点到坐标原点的距离是.
故选：A
典例2．（2025高三·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可.
【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接，
因为，且，所以，且为中点，
所以，且，
因此，，
所以点在以，为焦点的双曲线上，
设的方程为，可知，所以，
又，则，所以的方程为，即，
又点是圆外一点，
所以，即，故所求轨迹方程为.
故选：B
跟踪训练1．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程.
【详解】由圆，可得标准方程为，
所以圆心，半径为，
若圆上恰有三个点到直线的距离为，
则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即，
设，则，
代入，可得，
整理得，即点的轨迹方程为.
故选：A.
跟踪训练2．（2025高三·广东广州·期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.
【详解】圆N：的圆心为，半径为，且
设动圆的半径为，则，即.
即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，
虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，
故动圆圆心P的轨迹方程是
故选：A
跟踪训练3．（2025·河南·模拟预测）已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为
A．B．
C．（）D．（）
【答案】B
【分析】如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案.
【详解】如图所示：连接，根据垂直平分线知，
故，故轨迹为双曲线，
，，，故，故轨迹方程为.
故选：.

【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.
跟踪训练4．（2025·浙江·模拟预测）双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案.
【详解】设，依题意，，化简整理得，
所以点的轨迹方程为.
故选：B
考点十二 椭圆与双曲线综合
典例1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率.
【详解】如图：
设椭圆：，双曲线：.
因为它们有相同的焦点，所以.
不妨设点在第一象限，且，，
因为点在椭圆上，
所以.
又，
所以.
又在双曲线上，
所以.
所以.
所以双曲线的离心率为：.
故选：A
典例2．（2025·浙江·模拟预测）如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆及双曲线定义，结合等腰直角三角形，计算求解离心率.
【详解】

设左焦点为，则，，，，
在中用勾股定理，化简得，
所以
所以，所以.
故选:C.
跟踪训练1．（2025·江西·模拟预测）已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得双曲线离心率为，则椭圆离心率，进而得到，然后逐一判断即可.
【详解】因为双曲线的离心率为，
所以椭圆的离心率为，
椭圆的方程为，
则该椭圆的长、短半轴长分别为，
离心率，解得，
对于A，，符合；
对于B，，不符合；
对于C，，符合；
对于D，，符合.
故选：B.
跟踪训练2．（2025·四川南充·模拟预测）已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由两曲线有公共焦点得，接着由线段的垂直平分线求得，再结合椭圆和双曲线定义以及勾股定理依次求得和即可由渐近线定义得解.
【详解】设，则由题：，
又的离心率为，所以，
即，，即，
令线段的垂直平分线与线段的交点为M，则M是线段的中点，
又O是的中点，则，所以，
又，所以，
所以，则，即，
所以的渐近线方程为.
故选：B.
跟踪训练3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若四边形与四边形全等，则（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由题及图可得，联立椭圆双曲线方程，以及椭圆与双曲线渐近线方程，用表示，据此可得答案.
【详解】由图，因四边形与四边形全等，则.
将椭圆方程与双曲线方程联立：，
则，
则；
注意到双曲线渐近线方程为：，将椭圆方程与渐近线方程联立：
，
则.
因，则，
即.
所以
故选：C.
考点十三 双曲线的实际应用
典例1．（2025高三·山东德州·期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解.
【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点，
以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，
建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点.
由题意可知，设，则，
设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，
所以，所以方程可化简为，
将和的坐标代入式可得，解得，
则笔筒最细处的直径为.
故选：C.
典例2．（2025·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解.
【详解】由题意可知直线，都过点，如图，
则有，，
设，则，
所以，故，
所以，
因此，
在，，
即，
整理得即，解得，
所以，
令双曲线半焦距为c，
在中，，即，
解得，
所以的离心率为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：
①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e；②齐次式法，由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
跟踪训练1．（2025·辽宁·模拟预测）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件求出双曲线C的渐近线方程，再逐一分析各个选项判断作答.
【详解】依题意，双曲线C：过点，
则有，解得，因此，双曲线C的渐近线方程为，
对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确；
对于B，双曲线的渐近线方程为，B不正确；
对于C，双曲线的渐近线方程为，C不正确；
对于D，双曲线的渐近线方程为，D不正确.
故选：A
跟踪训练2．（2025高三·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论．
【详解】设，，，由题意知，，，
所以，，，所以，
又，所以，解得，
所以.
故选：B.
跟踪训练3．（2025·全国·模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，不妨设双曲线的标准方程为，，结合双曲线的定义和勾股定理求出m，即可求解.
【详解】因为，所以，得，
不妨设双曲线的标准方程为，设，则．
所以，解得或（舍去）．
所以．
故选：D．

1．（2025·广西·模拟预测）已知双曲线的焦距是虚轴的2倍，则的离心率为（ ）．
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】由题设，结合双曲线参数关系得，再求离心率.
【详解】由题设，双曲线的焦距是虚轴的2倍，则，故，
由，则，故离心率.
故选：D
2．（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】C
【分析】分别求得圆心到直线，的距离，由可求解.
【详解】设动圆的圆心坐标为，
圆心到直线：的距离为，
圆心到直线：的距离为，
又动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，
所以，即，
化简得，所以圆心M的轨迹为双曲线，
故选：
3．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（ ）
A．3B．6C．4D．8
【答案】B
【分析】根据焦点坐标和渐近线方程列出方程组，求出即可得解.
【详解】由题意设双曲线的方程为，则，
解得，故所求实轴长为.
故选：B .
4．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为．若为钝角，则的焦距为（ ）
A．B．C．7D．14
【答案】B
【分析】根据双曲线定义结合条件得，根据的面积解得，结合为钝角，得出，根据余弦定理解得，进而得到焦距.
【详解】根据双曲线定义，，
又因为，可得，
因为的面积为，
所以，
解得
因为为钝角，所以，
由
根据余弦定理得，
即有，解得
因此双曲线的焦距为.
故选：B.
5．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线离心率及之间的关系，求出即可得解.
【详解】∵，则，
∴，
所以双曲线渐近线方程为．
故选：D.
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线，双曲线渐近线斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线渐近线的斜率的范围，可得到的范围，进而可得到椭圆的离心率的取值范围.
【详解】由题意得，，
从而椭圆的离心率.
故选：B
7．（2025·广东广州·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为、，过作C其中一条渐近线的垂线，垂足为A，直线交另一渐近线于点B，若，则双曲线C的焦距为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线的性质可得到渐近线距离为b，结合几何性质可得，从而，最后由的关系可得焦距.
【详解】如图所示，∵到渐近线距离为b，故为等腰三角形，，
故，，∴焦距为12.
故选：D.
8．（2025·甘肃平凉·模拟预测）设P是双曲线C：上一点，，是C的左、右焦点，若，则（ ）
A．10或4B．13或1C．10D．13
【答案】D
【分析】先利用双曲线的定义得出或，再结合双曲线的性质得出即可.
【详解】根据双曲线的定义，知，
因为，所以或，
又，所以.
故选：D.
9．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程.
【详解】设，，
则，两式相减得，
，即，即，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C
10．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线相互垂直，则（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】B
【分析】由题可得双曲线渐近线方程为，再由直线斜率为-1可得答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为，因为的两条渐近线相互垂直，
所以.，又，则.
故选：B.
1．（2025·四川广元·模拟预测）以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，且满足，则动点的轨迹是（ ）
A．直线的一部分B．圆C．椭圆D．双曲线
【答案】A
【分析】根据条件求出两圆的方程，进而得，再结合条件得，即可求解.
【详解】因为以，为圆心的两圆均过，所以两圆的半径为分别为，
则两圆的方程分别为，，
由，令，得到，
由，令，得到，
所以，其中，且，否则无意义，
又，则，
得到，整理得到，即，
所以动点在直线上，又，且，
则动点的轨迹是直线的一部分，
故选：A.
2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】由条件先证明，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，由的面积为结合三角形面积公式可得或，分情况解三角形求，列方程求，由此可得，再结合离心率定义求结论.
【详解】因为直线为双曲线的一条渐近线，
所以，
圆的圆心的坐标为，半径，
所以点到直线的距离，
因为与圆交于两点（为坐标原点），所以，
因为的面积为，所以，
所以，又，
所以或，
若，则点到直线的距离，
所以，所以，所以，
所以，
此时双曲线的离心率，
若，则点到直线的距离，
所以，所以，
所以，与矛盾，舍去，
所以双曲线的离心率，
故选：C

3．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A 的方程为 圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（ ）
A．B．或C．D．
【答案】B
【分析】先由椭圆的离心率求出渐近线方程为，再由点到直线距离公式解关于方程即可.
【详解】由题意得则则
所以渐近线方程为
又因为圆的圆心为恒在直线上，半径为2，

由圆与渐近线相切可得
解得
故选：B.
4．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足，且，则C的离心率为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【分析】取的中点为，连接，根据中位线性质及向量运算得，进而，由得，从而，利用双曲线的定义列方程化简即可求解离心率.
【详解】设双曲线的右焦点为，取的中点为，连接，
因为分别为和的中点，所以，
因为，且，所以，所以，
所以，由可知，所以，
又，所以，所以，
所以，在中，，，
所以，
由得，所以C的离心率为.
故选：D
5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，利用基本不等式即可求出其最小值.
【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为，
所以可知双曲线，解得.
因为为双曲线右支上任意一点，
所以，即，
又因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：C
6．（2025·河南·模拟预测）过双曲线右支上的点作的切线l，，分别为的左、右焦点，为切线上的一点，且（O为坐标原点）.若，则（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设，求出点处的切线方程，得切线与轴的交点坐标，求出，根据列式计算得解.
【详解】设，则双曲线在点处的切线方程为，
在中，令，得，故，故，
又，故，
其中，又，
故，
因为，所以，即，整理得，
显然，所以，解得.
故选：B.
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】由离心率结合四边形ABCD的面积为，可得，将直线与渐近线方程联立可得M，N两点坐标，由可得直线l与x轴交点Q的坐标，最后由结合为双曲线C上任意一点得答案.
【详解】因，则.
将代入双曲线方程，则.
则，则由对称性可得，则，.
由题可得四边形ABCD为矩形，则四边形ABCD面积为.
从而.则.
又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线l方程联立，
可得或，
则，.
令，可得直线l与x轴交点为.
则.
因为双曲线C上任意一点，则.
则.
故选：D
1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率．
【详解】由得，，所以，
即，所以，
故选：B．
2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】A
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，∴，即离心率为2.
故选：

3．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，
由题知，，
于是，则，
即.
故选：D
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.
【详解】由题意，设、、，
则，，，
则，则.
故选：C.
5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ）
A．B．
C．C的离心率为D．当时，四边形的面积为
【答案】ACD
【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，
故A正确；
对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，
设，则，故，故，
由A得，故即，故B错误；
方法二：因为，因为双曲线中，，
则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，
则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，
方法三：在利用余弦定理知，，
即，则，
则为直角三角形，且，则，故B错误；
对于C，方法一：因为，故，
由B可知，
故即，
故离心率，故C正确；
方法二：因为，则，则，故C正确；
对于D，当时，由C可知，故，
故，故四边形为，
故D正确，
故选：ACD.
6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令，即，
由题可得，
当时，，有，则，不符合要求，舍去；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，或（正值舍去），
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递减，
故有，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
7．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若的离心率为2，求.
(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.
(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)当时，；
(3)的最大值为.
【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可；
（2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解；
（3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解.
【详解】（1）由双曲线的方程知，，
因为离心率为2，所以，得.
（2）当时，双曲线，且.
因为点在第一象限，所以为钝角.
又为等腰三角形，所以.
设点，且，则
得，所以.
（3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称.
设，则.
由直线不与轴垂直，可设直线的方程为.
联立直线与双曲线的方程得
消去，得，
且，即，得.
，
由，得，
所以，即，
整理得，
所以，
整理得，所以.
又，所以，解得，
所以，又，
故的取值范围是，故的最大值为.
【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年全国一卷，第3题，5分
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
无
2025年全国二卷，第11题，6分
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
用定义求向量的数量积
已知数量积求模
2025年天津卷，第9题，5分
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
抛物线定义的理解
根据抛物线方程求焦点或准线
2025年北京卷，第3题，4分
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
无
2024年新课标I卷，第12题，5分
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
无
2024年全国甲卷（理数），第5题，5分

求双曲线的离心率或离心率的取值范围
无
2023年新课标I卷，第16题，5分
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
无
2023年全国甲卷（文数），第9题，5分
根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
圆的弦长与中点弦
2023年北京卷，第12题，5分
根据离心率求双曲线的标准方程
无
2023年天津卷，第9题，5分
根据a、b、c求双曲线的标准方程
根据双曲线的渐近线求标准方程
求点到直线的距离
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1 (－a,0)，
A2 (a,0)
顶点坐标：
A1 (0，－a)，
A2 (0，a)
渐近线
y＝ ±eq \f(b,a)x
y＝ ±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ 2a；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b； a叫做双曲线的 实半轴长，b叫做双曲线的 虚半轴长
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)