重难点培优05 椭圆、双曲线离心率的求法全归纳（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（解析版）-A4

这是一份重难点培优05 椭圆、双曲线离心率的求法全归纳（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（解析版）-A4，共67页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 5
\l "_Tc16555" 题型一 利用a、b、c的关联式（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 5
\l "_Tc7141" 题型二 利用勾股定理（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 8
\l "_Tc26803" 题型三 利用正弦定理（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 13
\l "_Tc13512" 题型四 利用余弦定理（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 17
\l "_Tc3897" 题型五 利用双余弦定理（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 22
\l "_Tc326" 题型六 利用相似（★★★） PAGEREF _Tc326 \h 27
\l "_Tc11957" 题型七 利用点差法（★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 30
\l "_Tc17557" 题型八 利用斜率乘积（★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 35
\l "_Tc28054" 题型九 求离心率的范围（★★★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 38
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 44
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 44
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 65
一、椭圆的简单几何性质
1、椭圆的简单几何性质
2、求椭圆的离心率通常有如下两种方法
（1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解．
（2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意．
3、求椭圆离心率的取值范围的方法
（1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解．
（2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解．
二、双曲线的几何性质
1、双曲线的简单几何性质
2、对双曲线离心率的理解
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
3、求双曲线离心率的常用方法
（1）利用求：若可求得，则直接利用得解；
（2）利用求：若已知，则直接利用得解；
（3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解．
三、常用几何技巧
1、最大的原则连接两焦点：椭圆上，双曲线上的点一定要和两个焦点都连接，目的是构造出2a，这样一来就可以找到一个方程PF1±PF2=2a，
特别是：过原点的直线与椭圆交于AB两点，或者AB两点关于原点对称 ⟹ 一定要和两个焦点连接补成平行四边形（同时两组对面分别平行且相等），然后就将∆ABF2有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形∆AF1F2中.如下图：

2、已知平行条件，找相似，转为线段的相似比关系；
3、已知垂直条件，①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理；
②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “−1”；
③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半；
4、已知等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了.
5、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理.
6、已知角平分线，①使用角平分线的性质：已知AD为角平分线，则，
②考虑转化为垂直平分线：已知AD为角平分线，则过点C做CE⊥AD交AB与点E，则CE垂直平分AD，AC=AE，CF=EF.

7、已知中点，①几何法：未知中点坐标，找出另一个中点（其中可以选择原点O，因为O为F1F2的中点），连接形成中位线，转化为中位线平行且等于底边的一半.
②坐标法：若已知中点坐标，可以考虑利用中点坐标公式，转化为坐标之间的等量关系.
8、已知角度，①用法一：可以使用余弦定理或者正弦定理（边多用余弦定理，角多用正弦定理），找到与三边有关的方程.
②用法二：如果是特殊角，通过做垂线，构造特殊的直角三角形，从而转化为边长的倍数关系.
9、出现有关向量的条件：
（1）合并化简向量:同起点的向量的加法 PA+ PB=2PC ,其中C为AB中点。
同起点的向量的减法 PA− PB=BA 。
（2）AF=λBF，转化为线段的比值问题，设BF=x，则AF=λx.
10、已知焦点三角形的内切圆半径
11、已知过焦点的直线的两段焦半径的比值λ ⟹ 联想到|e∙csα|=|λ−1λ+1|
12、仿垂径定理，已知相交弦的中点坐标及弦的斜率，利用仿垂径定理，构造齐次方程.
★13、实在找不到方程，可以考虑使用两个三角形的公共角余弦定理相等构造方程.


题型一 利用a、b、c的关联式
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知焦点在轴上的双曲线C的渐近线方程是，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线C的渐近线方程得出的值，再根据即可得答案.
【详解】由题意，设双曲线C的方程为．
因为渐近线方程为，依题意，，
所以双曲线C的离心率．
故选：B.
2．（25-26高三上·浙江·月考）设双曲线的右焦点为，以为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得焦点到渐近线的距离等于，再借助点到直线距离公式求解作答.
【详解】设双曲线的实半轴为，
由题意，，右焦点，渐近线方程：，
则焦点到渐近线的距离为，解得，
则，故.
故选：B.
3．已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合离心率的意义求解.
【详解】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接，
由,，得为等边三角形，则，
所以C的离心率为.
故选：B
4．（24-25高三下·河北·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的对称性以及椭圆定义即可求解.
【详解】

连接由椭圆对称性知
故选：D
5．设双曲线的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交双曲线于两点，若是正三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据双曲线方程及性质求出的长度，再利用正三角形性质和双曲线定义建立关于离心率的方程，从而求得离心率.
【详解】由题可知：过作轴的垂线交双曲线于两点，所以.
又因为是正三角形，所以为直角三角形且；所以.
根据双曲线定义可知：，即，解得.
所以.
故选：.
6．（2025·福建龙岩·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图，利用勾股定理求得，结合和椭圆的定义建立关于的方程，解之即可求解.
【详解】如图，过点作，垂足为，

由，知，所以，而，
所以，则，
由椭圆的定义知，，即，
所以椭圆的离心率为.
故选：A

题型二 利用勾股定理
【技巧通法·提分快招】
1．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率.
【详解】由椭圆定义得：，又因为，
所以解得：，
再由于，，结合勾股定理可得：
，解得，所以椭圆的离心率为，
故选：C.
2．（25-26高三上·贵州·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，且轴.若，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】根据题意，推得点在双曲线左支上，利用题设条件和双曲线定义可求出，借助于勾股定理建立方程，化简得，即可求得离心率.
【详解】因轴，点为上一点，则点在双曲线左支上，则，
因，联立解得，
在中，由勾股定理，，化简得，
则.
故选：B.
3．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义以及的位置关系及长度，构造齐次方程即可解得离心率.
【详解】如下图所示：

因为的中点，且，则，
由椭圆的定义，则，
又为的中点，可得，
因为，由勾股定理可得，
即；又因，
代入整理得：，即，
解得或（舍）.
故选：C.
4．已知双曲线：，圆：，的左、右焦点分别为，，过的直线l与圆相切于点A，与双曲线的右支交于点B，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，作出图形，结合双曲线第一定义，再将所有边长关系转化到中，化简求值即可.
【详解】如图，过作交于点P，因为，且O为的中点，
故，直线l与圆相切且圆的半径为a，所以，又，
故，，
由双曲线的定义得，
在中，，即，
整理得，故的离心率．

故选：B.
5．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，直线与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为H，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接，由条件可证明，则，利用点到直线的距离求，在中，根据勾股定理可得，可得，即可求得双曲线的离心率.
【详解】

取的中点，连接，由条件可知，
是的中点， ，
又， ，，
根据双曲线的定义可知，
，
直线的方程是： ，即 ，
原点到直线的距离，
在中，根据勾股定理得，，
整理得 ，即 ，
解得 ，或（舍）
故选：B.
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案.
【详解】
设，因为，所以，
由椭圆的定义可得，，
因为，在中由勾股定理得，解得
所以，，
在中由勾股定理得，从而可得.
故选：A

题型三 利用正弦定理
1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率.
【详解】
由题意，，
，
，
由正弦定理得，又，
所以，，又，
可得，所以椭圆的离心率.
故选：B.
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作圆的切线，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】由题设，则，在中，，，在，利用正弦定理可得，，利用双曲线定义即可求离心率.
【详解】记，则．
设切点为，则在中，，，
在中，由正弦定理得
，
故该双曲线的离心率为．
故选：B．
3．已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出，，然后利用正弦定理求出的关系，再利用关系求出后即可得离心率.
【详解】设，则，又，
则，得，即，
又，
，
由正弦定理得，
设，
则，即，
又，所以，
所以离心率.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
4．已知双曲线的右焦点为，圆O：与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【分析】由解得，根据三角函数的定义知，由，结合诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理计算可得，结合离心率的概念即可求解.
【详解】如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为，
则，解得，所以,
由三角函数的定义知，
又，显然为锐角，又，解得，
则 ，
在中，由正弦定理可得，即，
化简得，所以的离心率为．
故选：B．
5．已知椭圆的两个焦点分别为，，点Р为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用正弦定理得到可得，结合两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】因为，，可得，，
则，，，，
由正弦定理得：
，
可得，
又由，
所以.
故答案为：.


题型四 利用余弦定理
1．（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积定义列式求出离心率.
【详解】由关于的角平分线l的对称点恰好是点P，得，
由椭圆的定义得，设，

在中，由余弦定理得，
由，得，则，
整理得：，即，又，所以.
故选：A
2．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．点A在双曲线C上，点B在y轴上，，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】记，用m表示出，再利用勾股定理求出关系，在中利用余弦定理列齐次式求得离心率.
【详解】令，由，得，
由双曲线定义及对称性，得，
由，得，
整理得，于是，而，
设双曲线半焦距为c，在中，由余弦定理得，
因此，所以双曲线C的离心率.
故选：D.
3．（2025·福建三明·三模）已知椭圆的左，右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，的角平分线与线段交于点N，若，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用角平分线定理以及椭圆定义得出，再在中利用余弦定理即可求出离心率.
【详解】设椭圆的半焦距为，
因为的角平分线，
则在中利用角平分线定理可知，，
因，，则，则，
由椭圆的定义可知，，则，
由直线的斜率为，则，
则在中利用余弦定理可得，，
即，得或（舍），
则椭圆C的离心率是.
故选：A

4．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据椭圆定义和已知线段关系求出相关线段长度，再通过三角函数关系求出，最后利用余弦定理建立关于椭圆离心率的方程并求解.
【详解】
如图，连接，设与交于点 M.
由，可设，则，其中，
由椭圆的定义，得，从而，
又因为，所以，在中，设，
则为锐角，所以，即，
由余弦定理，得，即，解得.
故选：C.
5．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线分别为的左､右焦点，是双曲线左支上位于第二象限内的点，的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义知，然后解三角形即可得到答案.
【详解】因为分别为双曲线的左､右焦点，所以|，
因为，所以，因为的斜率为，所以，
因为是三角形的内角，所以，在中，由余弦定理得，
所以，
所以，由双曲线的定义知，，即，所以.
故选：A
6．（2025·四川成都·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设切点为，，连接，过点作⊥轴于点E，由三角形面积公式及双曲线定义得到，，，再结合余弦定理即可求解.
【详解】
设切点为，，连接，
则，，
过点作⊥轴于点E，
则，故，
因为，解得，
由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，
所以，解得，
所以离心率.
故选：B

题型五 利用双余弦定理
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·重庆·月考）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】设，根据双曲线定义表示，在中利用余弦定理可得，在中利用余弦定理可得的关系，即可得到双曲线离心率.
【详解】
由双曲线定义得，，，
设，则，
在中，由余弦定理得，解得，
∴.
在中，由余弦定理得，
∴，故离心率.
故选：B.
2．设是双曲线的左，右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离可得，，，在和中，分别求出和，利用，
运算求解即可.
【详解】由题可得双曲线的一条渐近线方程为，，
则，则，
又，故，
在中，，
在中，，
因为，则，
即，整理可得，所以.
故选：B
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上的点，满足，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用椭圆定义及余弦定理列式求解.
【详解】由及，得，
由，得，
在中，，
令椭圆的焦距为，在中，，
则，，
所以的离心率.
故选：D
4．已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，则可得，从而可求解.
【详解】椭圆E的焦点为，则，
如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有，
在中，由余弦定理推论得，
在中，由余弦定理得，解得，
，
所求椭圆E的离心率为.
故选：B．
5．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与交于A，B两点，且，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，令，利用椭圆定义用表示，，，然后利用余弦定理得，然后在和中，利用余弦定理建立与之间的关系，从而求解离心率.
【详解】因为，令，则，
由椭圆的定义可知，，
又，由余弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
所以，所以.
所以的离心率是.
故选：A.
6．（2024·山东济南·三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】D
【分析】在中运用双曲线的定义和余弦定理可得，在中运用余弦定理可得，再由离心率公式计算即可．
【详解】如图所示，根据双曲线的定义，，，
在中，由余弦定理得,
即，
又因为，所以，
所以，即.
在中，由余弦定理得，，
且,
所以，
化解得，
即，
，
，
所以，
即，则
故离心率.
故选：D.

题型六 利用相似
【技巧通法·提分快招】
1．已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于 ，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，取取椭圆的右焦点为,连接，证得，由，结合条件建立方程求解即得.
【详解】

如图，取椭圆的右焦点为,连接,
因是椭圆上关于原点对称的点，且,可得,
即有,又,则有，
即，解得，故.
故选：B.
2．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】根据图形，取左焦点，证明为平行四边形，推得，由相似比，结合题设条件得到，即可求得离心率.
【详解】
如图，因直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，则点与点关于原点对称，
设点为双曲线的左焦点，连接，因，则四边形为平行四边形，
故，易得，
则，化简得，故.
故选：B.
3．如图，双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由结合双曲线性质可得，，再由双曲线定义得，结合，消元计算可得.
【详解】设直线与圆相切于点，则，又，
所以，过作于点，
因为，所以为中点，且，
所以，所以，
所以，又．
，即，即，
从而即即，得．
故选：C.

题型七 利用点差法
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】A
【分析】利用点差法可求的关系，从而可求双曲线的离心率.
【详解】设，则，且，
所以，整理得到：，
因为是弦的中点，
所以，所以即
所以，
故选：A.
2．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可.
【详解】设，
因为为线段的中点，所以，
由，两式相减可得：，
整理得，即，
所以，则，即椭圆的焦点在轴上，
即，则，
所以.
故选：B.
3．已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出的垂直平分线的方程，即可求出的中点坐标，设，，利用点差法得到，最后利用离心率公式计算可得.
【详解】因为直线，所以，
由题可知的垂直平分线的方程为，
将与联立可得，即的中点坐标为．
设，，则，且，，
两式作差可得，
即，所以，
则双曲线的离心率为．
故选：D
4．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【分析】延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得.将代入整理得，再结合即可求解.
【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设.
因为，点为的重心，
所以即，所以.
因为点在椭圆上，
所以，两式相减得，即，
整理得.
因为，所以，即，
所以，解得或.
又因为，所以，，所以.
故选：D.
5．设是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，是线段的中点，是坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】
利用点差法即可得到，最后利用离心率公式即可.
【详解】设点，则，
把，的坐标代入椭圆方程可得:，
两式作差可得：，
即，
所以，即，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：.
6．（23-24高三下·浙江宁波·月考）已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为 .
【答案】
【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】
设，线段AB的中点，
则，两式相减得，
所以①，
设，线段CD的中点，同理得②，
因为，所以，则三点共线，
所以，将①②代入得：，
即，
所以，即，
所以，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了双曲线离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合点差法表示出点的坐标，从而得到的关系式，即可求解.

题型八 利用斜率乘积
1．已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，则，根据点在椭圆可得，故可得.
【详解】椭圆长轴的两顶点为，
设，则由题设可得即，
故，故即，故，
故选：B
2．已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出点的坐标，再利用斜率的坐标公式求出即可计算离心率.
【详解】依题意，，设点，则有，即，
由直线AP，BP斜率之积等于，得，即，
显然曲线是焦点在轴上的椭圆，，
所以C的离心率为.
故选：A
3．已知曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于2，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出点P的坐标，由给定条件列式求出，再利用离心率计算公式求解作答.
【详解】依题意，，设点，则，有，
由直线与的斜率之积等于2得：，
所以C的离心率.
故选：B
4．直线与双曲线（）相交于，两点，且，两点的横坐标之积，则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【分析】设（），由对称性可知，由，两点的横坐标之积为解得点坐标，代入双曲线的方程，求得，进而求离心率即可.
【详解】由，两点在直线上，设（），由对称性可知，
，两点关于原点对称，所以，
由，两点的横坐标之积为，得，解得，
所以，代入双曲线方程得，解得，
所以，
所以离心率为.
故答案为：.
5．已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为 ．
【答案】/
【分析】设，求出的斜率，利用点差法求出直线的斜率，在根据题意求出之间的关系即可得解.
【详解】，
设，
因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为，
所以，
则，
由直线l与C相交于A，B两点，
得，
两式相减得，
即，
所以，
即，所以，
则，
所以，
所以离心率.
故答案为：.


题型九 求离心率的范围
【技巧通法·提分快招】
1．已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆的直径及圆与椭圆交点的个数可得，据此可求出椭圆的离心率.
【详解】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以，
即，，，所以，即，
又因为，所以椭圆离心率的取值范围为．
故选：A．
2．（2025·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线，双曲线渐近线斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线渐近线的斜率的范围，可得到的范围，进而可得到椭圆的离心率的取值范围.
【详解】由题意得，，
从而椭圆的离心率.
故选：B
3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解.
【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称，
设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得，
因为，设为直线的倾斜角，则，
所以，所以，
.
所以椭圆离心率的取值范围为.

故选：B.
4．（2025·河北秦皇岛·二模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为的直线与圆相切，与交于第一象限的一点．若，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出直线的方程，利用圆的切线性质，结合离心率的定义求出范围.
【详解】依题意，点，直线的方程为，
圆的圆心为，半径为，
由直线与圆相切，得，
令双曲线离心率为，又，则，
因此，即，解得，
所以的离心率的取值范围是.
故选：A
5．（23-24高三上·云南曲靖·月考）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围．
【详解】，是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，
则，即，
代入得，
当且仅当时取等号，即，
又点是双曲线左支上任意一点，所以，即，解得，
所以双曲线离心率e的取值范围是.
故选：C．
6．（24-25高三下·四川绵阳·月考）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知，椭圆的左焦点为，利用三角形三边关系求出的取值范围，即可得出椭圆的离心率的取值范围.
【详解】由题意可知，椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可得，
，即，解得，
当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立（此时点与图中的点重合），
又因为，
当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立（此时点与图中的点重合），
所以，解得，所以，
因此，.
故选：C.
7．（2025·河北邯郸·一模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】由已知，设，
则，
两式相加得，
又，所以，
又，所以，
当轴时最小，此时，
所以，又，
则，整理得，
又，两边除以得，解得，
又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是当轴时最小为，再建立关于的不等式.
8．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由的垂直平分线经过点，可得，再利用椭圆和双曲线定义，可得到，故，利用对勾函数性质求出的范围.
【详解】不妨设设双曲线的实轴为轴，中心为原点，
根据题意，可得椭圆和双曲线在同一直角坐标系中的大致位置，如图.
因为的垂直平分线经过点，所以.
记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，
由椭圆的定义得，所以；
由双曲线的定义得，所以.
所以，所以，
所以.
所以，又，
由函数在单调递减，可得，
所以，
所以.
故选：B.


检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·湖北·模拟预测）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义，结合余弦定理建立方程求出离心率.
【详解】令双曲线的长轴长为，焦距为，则，而，
则，由及余弦定理得，
解得，所以的离心率为.
故选：A
2．已知双曲线C：的左､右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于3，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】设，由题可得，即求.
【详解】设，则，因为，，
故，即，
∴.
故选：C.
3．（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）已知是原点，是双曲线的右焦点，过双曲线的右顶点且垂直于轴的直线与双曲线一条渐近线交于点，以点为圆心的圆经过点，则双曲线的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得为等边三角形，继而得到即可求解．
【详解】由已知，故，
∵以点为圆心的圆经过点，
∴，则为等边三角形，
故，，所以双曲线的离心率．
故选：B．
4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于，两点，且，，其中为坐标原点，则的离心率为（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义表示出线段长，根据勾股定理，可得答案.
【详解】
由题意得，而后根据题意可知，，
在中，得，
从而，即.
故答案为：.
5．（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理得出的齐次式，进而可得出答案.
【详解】由题意，
在中，，
则，
即，
整理得，
所以的离心率.
故选：D.
6．已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线和双曲线的几何性质，即可得在双曲线方程上，代入可得，即可由齐次式求解.
【详解】由题意知，两曲线交点的连线过点，由对称性得连线垂直于轴，则其中一个交点坐标为，即，
代入双曲线方程中，得，则，即，
所以，即，得．
故选:B．
7．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线交于P点，且另一条渐近线垂直平分线段PF，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】结合图形对称性，根据条件推出，借助于，易求得离心率.
【详解】

如图，设双曲线的渐近线分别与直线交于点，
依题意，直线垂直平分，则，
由渐近线的对称性知，，故，
在中，因，则，
故，解得.
故选：B.
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两条渐近线分别交于点、，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取、，分析可知直线的倾斜角为，结合斜率公式可求出的值，再利用双曲线的离心率公式可求出该双曲线的离心率的值.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
双曲线的两条渐近线方程为，
不妨取、，为等腰直角三角形，
由对称性可知，直线的倾斜角为，则，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
9．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，根据双曲线的定义，再利用基本不等式求出的最小值，从而得到，即可求出离心率的取值范围.
【详解】解：设，则，由双曲线的定义知，
∴，，当且仅当，即时，等号成立，
∴当的最小值为时，，，此时，解得，又，∴．
故选：C．
10．（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】分情况设出焦半径，由向量数量积为零，可得垂直，利用勾股定理，建立齐次方程，可得答案.
【详解】①当时，由，则，
由，则，所以，
即，由，，则，
化简可得，由，则；
②当时，由，则，
由，则，所以，
即，由，，则，
由，则方程不成立.
故选：D.
11．过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理确定的边角关系，结合椭圆的定义及离心率的定义求离心率的值.
【详解】在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率，
故选：C．
12．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆的对称中心为，左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交于另一点．若，则的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别表示及的面积，可得点坐标，代入椭圆方程，化简可得离心率.
【详解】
如图所示，设椭圆方程为，
易知，，
则，，
又，则，
则，易知，即，
由，，三点共线，
则，所以，则，
即，又在椭圆上，即，即，
则，
故选：C.
13．（2024·山西吕梁·二模）已知分别为双曲线的左､右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意，在中由余弦定理及已知条件得，化简可得结果.
【详解】由题意可得，且，
在中，由余弦定理得：
.
因为，所以，
平方化简整理得，.
又，所以，即，
所以，得，则.
故选：B.
【点睛】方法点睛：在椭圆与双曲线的离心率问题中往往需根据距离、斜率、面积、正余弦定理等建立关于的等量关系或不等关系来解决问题.
14．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】利用双曲线的性质把的三边用，，表示出来，然后用的余弦定理建立起，，的方程，进而可得到答案.
【详解】记为坐标原点，由双曲线的性质可知：在中，，，，．
在中，，
因为，所以，所以，
化简得，即，
，，．
因为，所以．
故选：D
【点睛】
15．（24-25高三下·江苏南通·月考）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由角平分线性质得到，再结合余弦定理及椭圆定义即可求解.
【详解】

由可得：，
由角平分线的性质可得：，
所以，设，
由题意，因为，所以，
由余弦定理可得：，
解得：，
又，
所以，
得：，
故选：D
16．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，在中，通过椭圆的定义，余弦定理以及，得到关于，，，的等式，再通过基本不等式进行求解即可.
【详解】在中，设，，则，如图：

根据余弦定理，得，配方得：，
所以，所以，
当且仅当时，等号成立，即，故，解得.
故选：D
17．（2024·陕西西安·二模）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】根据斜率及双曲线的对称性得为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出，由双曲线定义可得，从而得到离心率.
【详解】由题意，直线的斜率为，，又，
所以为等边三角形，故，，
在中，，则为锐角，
则，
，
由正弦定理，，
，
,
由，得，.
故答案选：.
18．已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】由题可得，在中，由余弦定理得，结合基本不等式得，即可解决.
【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，
假设，
所以由椭圆，双曲线定义得，解得，
所以在中，，由余弦定理得
，即
，
化简得，
因为，
所以，即，
当且仅当时，取等号，
故选：A
19．（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据点到直线得距离公式求出，在和中，求出，利用余弦相反构造的齐次式，即可得解.
【详解】，点到渐近线的距离为，即，
因为，所以，，
在中，由余弦定理得：.
在中，由余弦定理得：.
因为，所以，
所以，又，所以，
所以.
故选：D
20．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别表示出，然后结合椭圆的定义，以及离心率公式代入计算，再由三角函数的值域，即可得到范围.
【详解】因为以为直径的圆与C的一个交点为P，所以．
又，所以，，
所以，
所以离心率，
因为，所以，
，，
故．
故选：D
21．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，利用两角和的正切公式求出，即直线的斜率为，再设，，利用点差法得到，从而求出离心率.
【详解】如图，取的中点，连接，则，所以，
设直线的倾斜角为，则，
所以，
所以直线的斜率为，
设，，则，
由，得到，
所以，所以，则.
故选：C
22．已知点是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，二倍角公式和椭圆的定义，结合余弦定理找到的比例关系即可得出答案.
【详解】
如图，设的角平分线与线段相交于点，则，
，
设，则，，
由椭圆的定义得，所以，
，
由题可知在线段的中垂线上，所以，
所以，
所以，又，
在，由余弦定理得，
代入得，化简得，
则椭圆的离心率为，
故选：D.
23．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线的焦点分别为，过的直线与的左支交于两点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，由双曲线的定义结合题意可得，再由余弦定理可求出，进一步求出离心率.
【详解】如图，由于，
且，
设，则，故，
可得，故，
在与中由余弦定理可得：
，解得，故，
又根据题意可知，故离心率
故选：B.
24．已知、分别是椭圆 的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点，可得出，利用斜率公式以及已知条件可得出的取值范围，再由可求得该椭圆离心率的取值范围.
【详解】设点，则，且，可得，
易知、，
所以，
所以，可得，
故.
故选：D.
25．（2025·广东广州·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与相交于两点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用椭圆的定义可得，在，中，由余弦定理可得，可求离心率.
【详解】由题意作出图形如图所示：

设，又，所以，
又，，所以，所以，
又因为，所以，解得，
所以，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
因为，
所以，
整理得，所以，解得.
故选：D.
26．已知为椭圆的左､右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在中利用余弦定理求得，从而可得的面积，由等面积法可得内切圆半径，和正弦定理可得外接圆半径，结合已知可解.
【详解】根据椭圆的定义，余弦定理，面积相等即可求解.
如图，由椭圆的定义可知，且，又，
利用余弦定理可知：
，
化简可得，
所以的面积为，
设的外接圆半径为，内切圆半径为，
由正弦定理可得，可得，
易知的周长为，
利用等面积法可知，解得，
又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以，
即可得，
所以，离心率.
故选：C
27．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法可得，由，，可得，可求椭圆的离心率.
【详解】设，所以，
两式相减得，即，
又，所以，整理得，
又，，所以，所以，
所以椭圆的离心率.
故选：D.
28．（2024·吉林白山·一模）不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点差法求出，再结合进行计算得出结果.
【详解】设为坐标原点，在椭圆中，设，则，
所以，
因为关于对称，所以，所以，
由线段的中点的坐标为，得出．
所以，
又，
∴，即，
又，∴，所以所求离心率为.
故选：C．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三下·山西·开学考试）已知双曲线的左，右焦点分别为，，为轴上一点，线段交于点，，的内切圆半径为，，则的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据内切圆的性质结合双曲线的定义整理可得，即可得，，利用勾股定理列式求离心率.
【详解】如图，，，，
因为，，
可得，即，
则，
可得，即，
所以，．
因为在直角中有，
即，整理可得，
所以的离心率．
故选：D.
【点睛】方法点睛：双曲线离心率（离心率范围）的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
2．（2025·新疆喀什·模拟预测）直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的性质结合，求出直线的斜率，再根据的坐标得出直线的斜率，从而得出的关系，进而求出椭圆的离心率.
【详解】设椭圆的半焦距为，则，
所以直线的方程为，即，
所以直线的斜率为，
过作的垂线，则为的中点，
，，则，
又，所以是的中点，
所以直线的斜率，
，则，
.
故选：D.

3．（2025·四川凉山·三模）已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出曲线的渐近线方程，化简的方程可知曲线为双勾函数，要使曲线与曲线无公共点，则，由此求出，即可求出的离心率的取值范围.
【详解】曲线的渐近线方程为：，
可化简为：，所以曲线为双勾函数，其渐近线方程为，
所以要使曲线与曲线无公共点，
如下图：
则，解得：，所以，
所以线的离心率的取值范围为：.
故选：B.
4．（2025·山东济宁·二模）已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据方程联立求得，再代入椭圆方程构造齐次式即可得解.
【详解】如图，因为椭圆关于原点对称，直线过原点，
所以，关于原点对称，设椭圆的左焦点为，连接，，
由椭圆的对称性可得，
所以四边形为平行四边形，
又因为，所以平行四边形是矩形，
所以，，所以点在圆上，
则，解得，代入椭圆方程，
又，可得： ，
设（），则上式可化为，
化简可得， 即，
因为，所以，解得.
所以椭圆的离心率为.
故选：A.
5．（25-26高三上·湖北武汉·月考）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率.
【详解】由题设，令，故，，
所以，故①，
由，令，则，
由，则，
所以，整理得，
由，则，
所以，整理得，
所以，整理得②，
联立①②，得，，故，即，
所以.
故选：D
6．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一点，点满足，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，过点作，交的延长线于点，由双曲线的定义结合余弦定理代入计算，再由离心率的计算公式，即可得到结果.
【分析】

由，得，．
因为，所以点在线段上，且．
如图，过点作，交的延长线于点，则，
所以，所以．
设，则，所以．
由双曲线的定义可知，所以，
则．设，则．
在中，由余弦定理，得，
即，所以，
则（负值已舍去）．
故选：B．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于结合双曲线的定义以及余弦定理代入计算.
7．（2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】设与的交点为，，进而根据下向量关系得，再结合双曲线的性质即可得，，进而结合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，进而可得答案.
【详解】解：如图，设与的交点为，，
因为，所以，
所以，由双曲线的定义可知：，，
因为，所以，
所以，，
所以，，
所以，在中，，
所以 ，由余弦定理有：，
代入，，，整理得，
解得，（舍），
所以，,，，
所以，在中，由余弦定理有：，
代入数据整理得：，
所以，双曲线的离心率为：.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用向量的关系得到，进而在中结合余弦定理求得.
8．设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解.
【详解】如图所示：
设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，则，所以平行四边形为矩形，故，
设，，则，
在中，，，
所以，则，
所以，
令，得，
又由，得，
因为对勾函数在上单调递增，所以，
所以 ，即，
则，故，
所以，
所以双曲线离心率的取值范围是，
故选：A
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围
，
，
对称性
关于轴、原点对称
轴长
长轴长：；短轴长：
长轴长：；短轴长：
顶点
离心率
离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁
通径
通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长
通径的大小：
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
性质
图形
性质
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；
半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式
两边分别除以a或a2转化为关于e的方程，解方程即可得e
1、已知垂直条件，①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理；
②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “−1”；
③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半；
2、已知等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了.
3、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理.
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
1、焦点四边形具有中心对称性质.
2、焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质.
3、焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
已知平行或者线段成比例条件，找相似，转为线段的相似比关系；
点差法
1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．
两式相减得，所以．
中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得
．
2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为，
求离心率取值范围的常用方法
1、不等式法求离心率范围
（1）利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解；
（2）利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如:椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解；
（3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解；
（4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解；
2、函数法求离心率的范围
（1）根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式；
（2）结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；
（3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围．
3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可．