重难点培优05 椭圆、双曲线离心率的求法全归纳（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4

这是一份重难点培优05 椭圆、双曲线离心率的求法全归纳（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4，共20页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 5
\l "_Tc16555" 题型一 利用a、b、c的关联式（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 5
\l "_Tc7141" 题型二 利用勾股定理（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 6
\l "_Tc26803" 题型三 利用正弦定理（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 7
\l "_Tc13512" 题型四 利用余弦定理（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 8
\l "_Tc3897" 题型五 利用双余弦定理（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 9
\l "_Tc326" 题型六 利用相似（★★★） PAGEREF _Tc326 \h 10
\l "_Tc11957" 题型七 利用点差法（★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 11
\l "_Tc17557" 题型八 利用斜率乘积（★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 13
\l "_Tc28054" 题型九 求离心率的范围（★★★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 13
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 16
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 16
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 20
一、椭圆的简单几何性质
1、椭圆的简单几何性质
2、求椭圆的离心率通常有如下两种方法
（1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解．
（2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意．
3、求椭圆离心率的取值范围的方法
（1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解．
（2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解．
二、双曲线的几何性质
1、双曲线的简单几何性质
2、对双曲线离心率的理解
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
3、求双曲线离心率的常用方法
（1）利用求：若可求得，则直接利用得解；
（2）利用求：若已知，则直接利用得解；
（3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解．
三、常用几何技巧
1、最大的原则连接两焦点：椭圆上，双曲线上的点一定要和两个焦点都连接，目的是构造出2a，这样一来就可以找到一个方程PF1±PF2=2a，
特别是：过原点的直线与椭圆交于AB两点，或者AB两点关于原点对称 ⟹ 一定要和两个焦点连接补成平行四边形（同时两组对面分别平行且相等），然后就将∆ABF2有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形∆AF1F2中.如下图：

2、已知平行条件，找相似，转为线段的相似比关系；
3、已知垂直条件，①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理；
②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “−1”；
③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半；
4、已知等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了.
5、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理.
6、已知角平分线，①使用角平分线的性质：已知AD为角平分线，则，
②考虑转化为垂直平分线：已知AD为角平分线，则过点C做CE⊥AD交AB与点E，则CE垂直平分AD，AC=AE，CF=EF.

7、已知中点，①几何法：未知中点坐标，找出另一个中点（其中可以选择原点O，因为O为F1F2的中点），连接形成中位线，转化为中位线平行且等于底边的一半.
②坐标法：若已知中点坐标，可以考虑利用中点坐标公式，转化为坐标之间的等量关系.
8、已知角度，①用法一：可以使用余弦定理或者正弦定理（边多用余弦定理，角多用正弦定理），找到与三边有关的方程.
②用法二：如果是特殊角，通过做垂线，构造特殊的直角三角形，从而转化为边长的倍数关系.
9、出现有关向量的条件：
（1）合并化简向量:同起点的向量的加法 PA+ PB=2PC ,其中C为AB中点。
同起点的向量的减法 PA− PB=BA 。
（2）AF=λBF，转化为线段的比值问题，设BF=x，则AF=λx.
10、已知焦点三角形的内切圆半径
11、已知过焦点的直线的两段焦半径的比值λ ⟹ 联想到|e∙csα|=|λ−1λ+1|
12、仿垂径定理，已知相交弦的中点坐标及弦的斜率，利用仿垂径定理，构造齐次方程.
★13、实在找不到方程，可以考虑使用两个三角形的公共角余弦定理相等构造方程.


题型一 利用a、b、c的关联式
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知焦点在轴上的双曲线C的渐近线方程是，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
2．（25-26高三上·浙江·月考）设双曲线的右焦点为，以为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三下·河北·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．设双曲线的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交双曲线于两点，若是正三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·福建龙岩·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．

题型二 利用勾股定理
【技巧通法·提分快招】
1．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·贵州·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，且轴.若，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
3．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线：，圆：，的左、右焦点分别为，，过的直线l与圆相切于点A，与双曲线的右支交于点B，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，直线与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为H，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．

题型三 利用正弦定理
1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作圆的切线，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
3．已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，椭圆上一点P满足，且，则该椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的右焦点为，圆O：与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为（ ）
A．2B．3C．D．
5．已知椭圆的两个焦点分别为，，点Р为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 .

题型四 利用余弦定理
1．（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．点A在双曲线C上，点B在y轴上，，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·福建三明·三模）已知椭圆的左，右焦点分别为、，过且斜率为的直线l与椭圆C在x轴上方的交点为，的角平分线与线段交于点N，若，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线分别为的左､右焦点，是双曲线左支上位于第二象限内的点，的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
6．（2025·四川成都·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．

题型五 利用双余弦定理
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·重庆·月考）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
2．设是双曲线的左，右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上的点，满足，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与交于A，B两点，且，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·山东济南·三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．3D．2

题型六 利用相似
【技巧通法·提分快招】
1．已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于 ，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
3．如图，双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．

题型七 利用点差法
【技巧通法·提分快招】
1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
2．过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A．或B．C．D．
5．设是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，是线段的中点，是坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
6．（23-24高三下·浙江宁波·月考）已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为 .

题型八 利用斜率乘积
1．已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于2，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．直线与双曲线（）相交于，两点，且，两点的横坐标之积，则双曲线的离心率为 .
5．已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为 ．

题型九 求离心率的范围
【技巧通法·提分快招】
1．已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2025·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线，双曲线渐近线斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·河北秦皇岛·二模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为的直线与圆相切，与交于第一象限的一点．若，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三上·云南曲靖·月考）已知，，分别为双曲线（，）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三下·四川绵阳·月考）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·河北邯郸·一模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．


检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·湖北·模拟预测）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
2．已知双曲线C：的左､右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于3，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
3．（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）已知是原点，是双曲线的右焦点，过双曲线的右顶点且垂直于轴的直线与双曲线一条渐近线交于点，以点为圆心的圆经过点，则双曲线的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于，两点，且，，其中为坐标原点，则的离心率为（ ）
A．5B．C．4D．
5．（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线交于P点，且另一条渐近线垂直平分线段PF，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两条渐近线分别交于点、，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·天津·一模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
11．过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
12．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆的对称中心为，左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交于另一点．若，则的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·山西吕梁·二模）已知分别为双曲线的左､右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
14．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
15．（24-25高三下·江苏南通·月考）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
16．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·陕西西安·二模）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．3
18．已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
19．（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
20．设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
22．已知点是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
23．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线的焦点分别为，过的直线与的左支交于两点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
24．已知、分别是椭圆 的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
25．（2025·广东广州·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与相交于两点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
26．已知为椭圆的左､右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
27．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
28．（2024·吉林白山·一模）不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三下·山西·开学考试）已知双曲线的左，右焦点分别为，，为轴上一点，线段交于点，，的内切圆半径为，，则的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
2．（2025·新疆喀什·模拟预测）直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·四川凉山·三模）已知，，曲线与曲线无公共点，则曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山东济宁·二模）已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·湖北武汉·月考）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一点，点满足，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
8．设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围
，
，
对称性
关于轴、原点对称
轴长
长轴长：；短轴长：
长轴长：；短轴长：
顶点
离心率
离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁
通径
通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长
通径的大小：
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
性质
图形
性质
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；
半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式
两边分别除以a或a2转化为关于e的方程，解方程即可得e
1、已知垂直条件，①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理；
②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “−1”；
③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半；
2、已知等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了.
3、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理.
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
1、焦点四边形具有中心对称性质.
2、焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质.
3、焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
已知平行或者线段成比例条件，找相似，转为线段的相似比关系；
点差法
1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．
两式相减得，所以．
中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得
．
2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为，
求离心率取值范围的常用方法
1、不等式法求离心率范围
（1）利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解；
（2）利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如:椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解；
（3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解；
（4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解；
2、函数法求离心率的范围
（1）根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式；
（2）结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；
（3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围．
3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可．