2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 04-第一节 两个计数原理、排列与组合（教用）

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课标要求
1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理，能用两个计数原理解决一些简单的实际问题.
2.理解排列、组合的概念,能利用两个计数原理推导排列数公式、组合数公式，能用排列、组合解决简单的实际问题.
回归教材 强基础
1．两个计数原理
（1） 分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=_ _ _ _ _ _ 种不同的方法.
（2） 分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=_ _ _ _ _ _ 种不同的方法.
【答案】（1） m+n
（2） m×n
2．排列与组合的概念
【答案】一定的顺序
点拨 排列与元素的顺序有关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列；组合与元素的顺序无关，元素相同的两个组合就是相同的组合.
3．排列数与组合数的定义、公式、性质
【答案】n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)； n!(n−m)!； n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m！； n!m!(n−m)!
常考结论
排列数与组合数的常用公式
（1）Anm=nAn−1m−1.
（2）Cnm=m+1n+1Cn+1m+1.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.（ ）
（2） “从全班同学中选出2名同学担任班长和副班长”属于排列问题.（ ）
（3） “n=5”是“C115=C11n”成立的充要条件.（ ）
（4） (n+1)!−n!=n⋅n!.（ ）
【答案】（1） √
（2） √
（3） ×
（4） √
2．（人教A版选择性必修第三册P11习题T5改编）将除颜色外完全相同的3个红球和5个白球排成一排，则不同的排法有（ ）
A. A88种B. A33A55种C. C83种D. C33C55种
【答案】C
【解析】从8个位置中选出3个位置给3个红球，剩下的5个位置给5个白球，共有C83种不同的排法.
3．（人教A版选择性必修第三册P11习题T2改编）如图，从A城到B城有3条路，从B城到D城有4条路，从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则从A城到D城共有_ _ _ _ 条不同的路线.
【答案】32
【解析】沿A—B—D的路线有3×4=12条，沿A—C—D的路线有4×5=20条，所以从A城到D城共有12+20=32条不同的路线.
4．［人教A版选择性必修第三册P37复习参考题T1（3）改编］安排5名歌手演出顺序时,若要求某歌手不是第一个出场,也不是最后一个出场,则不同排法的种数是_ _ _ _ .
【答案】72
【解析】先考虑该歌手的位置,不是第一个出场,也不是最后一个出场,则该歌手有3个位置可以选,共有C31=3种情况,再排剩下4人,共有A44=24种情况,所以不同的排法有3×24=72（种）.
突破核心 提能力
考点一 两个计数原理及应用
例1 如图所示，连接正八边形的任意三个顶点形成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有（ ）
A. 40个B. 30个C. 20个D. 10个
【答案】A
【解析】满足条件的三角形有两类：第一类，与正八边形有两条公共边，这样的三角形有8个；第二类，与正八边形有一条公共边，这样的三角形有8×4=32（个）.所以满足条件的三角形共有8+32=40（个）.
例2 若一个三位正整数a1a2a3满足a1a3，则称这个三位数为凸数（如120,343,275等），那么三位数中所有凸数的个数为（ ）
A. 240B. 204C. 729D. 920
【答案】A
【解析】若a2=2，则百位数只能选1，个位数可选1或0，满足条件的凸数为120与121，共有2个；若a2=3，则百位数有两种选择，个位数有三种选择，满足条件的凸数有2×3=6个；若a2=4，则满足条件的凸数有3×4=12个；……；若a2=9，则满足条件的凸数有8×9=72个，所以三位数中所有凸数的个数为2+6+12+20+30+42+56+72=240.
例3 如图，一个地区分为5个区域，现给这5个区域进行涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有（ ）
A. 72种B. 48种C. 360种D. 420种
【答案】D
【解析】解法一：分两种情况讨论：
当2和4涂同种颜色时，从1开始涂，1有5种涂法，2有4种涂法，4有1种涂法，3有3种涂法，5有3种涂法，此时有5×4×1×3×3=180种涂法；
当2和4涂不同种颜色时，从1开始涂，1有5种涂法，2有4种涂法，4有3种涂法，3有2种涂法，5有2种涂法，此时有5×4×3×2×2=240种涂法.
故共有180+240=420种不同的涂色方法.
解法二：选用三种颜色时，必须3,5同色，2，4同色，此时有C53A33=60种情况；
选用四种颜色时，必须3,5同色或2，4同色，此时有C54C21A44=240种情况；
选用五种颜色时，有A55=120种情况.
所以一共有60+240+120=420种不同的涂色方法.
归纳总结
1.使用分类加法计数原理的两个注意点
（1）根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.
（2）分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须只属于某一类，不能重复.
2.使用分步乘法计数原理的两个注意点
（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.
（2）分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是确保步与步连续，逐步完成.
3.综合应用两个计数原理解决问题时的两个注意点
（1）一般是先分类再分步，在分步时可能又用到分类加法计数原理.
（2）对于较复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或表格，使问题形象化、直观化.
考点二 排列问题与组合问题
例4 ［2023·全国甲卷（理）·9,5分］现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A. 120种B. 60种C. 30种D. 20种
【答案】B
【解析】从5人中选1人两天都参加，有C51=5（种）安排方式，从剩下4人中选2人进行排列，有A42=4×3=12（种）安排方式，则共有C51A42=5×12=60（种）安排方式，故选B.
例5 （2025·山西太原模拟）北斗七星是夜空中的七颗亮星,它们组成的图形像是我国古代舀酒的斗,故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象,也是古人判断季节的依据之一.如图,用点A,B,C,D,E,F,G表示某季节的北斗七星,其中B,D,E,F看作共线,其他任意三点均不共线.若过这七个点中的任意三个点作三角形,则所作的不同三角形的个数为（ ）
A. 30B. 31C. 34D. 35
【答案】B
【解析】解法一（间接法）：从7个点中任意取3个点可构成C73个三角形,因为B,D,E,F四点共线,其中任意三点都不能构成三角形,所以共可以构成C73−C43=35−4=31（个）不同的三角形.
解法二（直接法）：第一类，B,D,E,F四个点中一个点都不取,可构成C33=1个三角形;第二类，从B,D,E,F四个点中取1个点,在A,C,G中取2个点,可构成C41C32=12个三角形;第三类，从B,D,E,F四个点中取2个点,在A,C,G中取1个点,可构成C42C31=18个三角形.共可以构成1+12+18=31（个）不同的三角形.
例6 （2023· 新课标Ⅰ卷·13，5分）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_ _ _ _ 种（用数字作答）.
【答案】64
【解析】根据题意，选课情况如下：
①选择1门体育类选修课和1门艺术类选修课，共有C41C41=16种方案；
②选择2门体育类选修课和1门艺术类选修课，共有C42C41=24种方案；
③选择1门体育类选修课和2门艺术类选修课，共有C41C42=24种方案.
所以不同的选课方案共有16+24+24=64（种）.
例7 （2025·四川成都模拟）某停车场有两排空车位,每排4个,现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车,若每排都有车辆停泊,且甲、乙两车停泊在同一排,则不同的停车方案有_ _ _ _ 种（用数字作答）.
【答案】672
【解析】若甲、乙两车停泊在同一排,丙、丁两车停泊在另一排,则有2A42⋅A42种方案;
若丙、丁中选一辆与甲、乙停泊在同一排,另一辆单独一排,则有2A21A43A41种方案.
所以共有2A42A42+2A21A43A41=672种停车方案.
归纳总结
1.对于特殊元素的排列问题，一般应优先考虑特殊元素，再考虑其他元素.
2.含有约束条件的排列问题，根据元素的性质应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理，需注意分步要层次清晰，分类要不重不漏，且分类较多的问题可以用间接法.
3.两类含有附加条件的组合问题的解题方法
（1）“含”或“不含”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：“至少”与“至多”问题用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，可用间接法求解.
考点三 排列与组合的综合问题
角度1 相邻与不相邻问题
例8 多选 某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A. 若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法
B. 若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法
C. 若要求2名女生不相邻，则这5名同学共有72种排法
D. 若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法
【答案】ACD
【解析】对于A，将2名女生捆绑在一起，再与3名男生全排列，则有A22A44=48（种）排法，故A正确；
对于B，采用插空法，先将3名男生全排列，再将2名女生插到3名男生形成的2个空中（不包含两端），则有A33A22=12（种）排法，故B错误；
对于C，先将3名男生全排列，再将2名女生插到3名男生形成的4个空中（包含两端），则有A33A42=72（种）排法，故C正确；
对于D，将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中，先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下的4名同学排在剩下的4个空位中，则有A31A44=72（种）排法，故D正确.故选ACD.
变式．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，且丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
【答案】B
【解析】先排乙、丙、丁、戊4名同学，有A22A33种排列方式，再利用插空法选甲的位置，有C21种选法，故不同的排列方式有A22A33C21=24种.故选B.
归纳总结
解决相邻与不相邻问题的两种方法
角度2 定序问题
例9 某小组有4名男生，3名女生，其中甲、乙、丙3名女生身高均不相等，将7名学生排成一行，要求从左到右，甲、乙、丙3名女生从低到高排列，则有_ _ _ _ 种排法.
【答案】840
【解析】解法一（倍缩法）：先将7名学生全排列，有A77种排法，其中3名女生从低到高排列，只有一种顺序，所以共有A77A33=840种排法.
解法二（占位法）：设想有7把椅子让除甲、乙、丙以外的四人就座，则共有A74种坐法，其余的三个位置甲、乙、丙只有1种坐法，则共有A74=840种排法.
解法三：先排甲、乙、丙三人，共有1种排法，再把其余四人依次插入，共有4×5×6×7=840种排法.
例10 小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗山楂，一串有三颗山楂，一串有五颗山楂.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，则不同的吃完冰糖葫芦的顺序有_ _ _ _ 种.（用数字作答）
【答案】2 520
【解析】记从左往右的三串冰糖葫芦上的山楂从上往下依次为A1,A2，B1,B2,B3，C1,C2,C3,C4,C5，
因为每一串只能从上往下吃，所以A1在A2前被吃，B1在B2前被吃，B2在B3前被吃，即一串冰糖葫芦中的山楂被吃的顺序是固定的，同理C1,C2,C3,C4,C5被吃的顺序也是固定的，
根据排列中的定序问题可得不同的吃完冰糖葫芦的顺序有A1010A22A33A55=10!2!3!5!=2520种.
归纳总结
解决定序问题的两种方法
（1）倍缩法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其他元素一同全排列，然后用总的全排列数除以这几个元素的全排列数.
（2）占位法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将没定序的元素在已有位置排好，然后将定序的元素在空闲位置按照次序一次性插入，或者先将次序一定的元素排好，再将其他元素依次插入.
角度3 相同元素的分配问题
例11 把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，若要使每个箱子都不空，则不同的放法共有（ ）
A. 10种B. 24种C. 36种D. 60种
【答案】A
【解析】依题意，采用隔板法，相当于在5个空中插入3块隔板，则不同的放法共有C53=10种.故选A.
归纳总结
解决相同元素的分配问题用“隔板法”，将n 个相同元素分成m 份，相当于在n−1 个间隔中插入m−1 块隔板，共有Cn−1m−1 种方法.
角度4 分组与分配问题
例12 （2026·四川成都开学考）多选 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，且书全部分完，则下列说法正确的是（ ）
A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种分配方案
B. 若每人分得2本，则有90种分配方案
C. 若三人分得的书本数互不相同，则有360种分配方案
D. 共有450种分配方案
【答案】ABC
【解析】对于A，甲1本、乙2本、丙3本，分配方案种数为C61C52C33=60，故A正确.
对于B，每人2本，分配方案种数为C62⋅C42⋅C22A33⋅A33=90，故B正确.
对于C，书本数互不相同，即一人1本，一人2本，一人3本，所以分配方案种数为C61C52C33A33=360，故C正确.
对于D，分为三类：第一类，每人2本，分配方案种数为90；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，分配方案种数为360；第三类，一人4本，另外两人各1本，分配方案种数为C64C21C11A22⋅A33=90，故总的分配方案种数为90+360+90=540，故D错误.故选ABC.
变式．将6本不同的书分给4个人，每人至少分得1本，且书全部分完，则不同的分配方法种数为_ _ _ _ .
【答案】1 560
【解析】若书本数按2，2，1，1分发，则有C62C42A22⋅C21C11A22⋅A44=1080（种）不同的分配方法；若书本数按3，1，1，1分发，则有C63A44=480（种）不同的分配方法.故共有1080+480=1560（种）不同的分配方法.
归纳总结
1.分组与分配问题的三种类型及求解策略
2.分组与分配问题的注意点
（1）被分配的元素是不同的.
（2）先分组再分配.
（3）分组时要注意是不是均匀分组.名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照_ _ _ _ _ _ _ _ 排成一列
组合
作为一组
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,用符号Anm表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号Cnm表示
公式
Anm= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Cnm=AnmAmm= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
性质
0！=1；Ann=n！
Cn0=1;Cnm=Cnn−m;Cnm+Cnm−1=Cn+1m
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中
类型
求解策略
整体均分
解题时要注意，分组时一定要除以Ann（n为均分的组数），避免重复计数
部分均分
解题时要注意，若有m 组元素的个数相等，则分组时应除以Amm，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数
不等分组
先分组，后排列，因为分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数