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新高考数学一轮复习教案第10章第1节 两个计数原理、排列与组合（含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习教案第10章第1节 两个计数原理、排列与组合（含解析），共15页。
核心素养立意下的命题导向
1.结合“分类”“分步”完成一件事，考查对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解及简单应用，凸显数学建模的核心素养．
2．结合排列、组合的概念及两个计数原理，考查常见排列、组合问题的解法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3．结合排列数、组合数公式，考查常见排列数、组合数问题的化简及计算，凸显数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．两个计数原理
2．排列与组合的概念
3．排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Aeq \\al(m,n)表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ceq \\al(m,n)表示．
(3)全排列：把n个不同元素全部取出来按照一定的顺序排列起来，叫做n个不同元素的全排列．用Aeq \\al(n,n)表示n个不同元素的全排列数．
4．排列数、组合数的公式及性质
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(分类加法计数原理的应用) 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为( )
A．12种 B．7种
C．4种 D．3种
解析：选B 由题意知，有4＋3＝7种．
2．(分步乘法计数原理的应用) 将3张不同的武汉军运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( )
A．2 160 B．720
C．240 D．120
解析：选B 分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．
3．(组合问题) 从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )
A．18 B．24
C．30 D．36
解析：选C 法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,3)＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)＝30种．故选C.
法二：从7名同学中任选3名的方法数，再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(3,4)－Ceq \\al(3,3)＝30.故选C.
4．(排列问题) A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )
A．24种 B．60种
C．90种 D．120种
解析：选B 可先排C，D，E三人，共有Aeq \\al(3,5)种，剩余A，B两人只有一种排法，故满足条件的排法共有Aeq \\al(3,5)×1＝60(种)．
二、易错点练清
1．(混淆两个计数原理)一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，则从两个口袋中各取1个小球，有________种不同的取法．
解析：分两步完成，第一步从第1个口袋内任取1个小球有5种方法，第二步从第二个口袋内取1个小球有4种方法，根据分步乘法计数原理得到不同的取法种数是5×4＝20种．
答案：20
2．(分步、分类时产生重复或遗漏)从1,2,3，…，10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有________个．
解析：根据构成等差数列的公差，分为公差为±1，±2，±3，±4四类，公差为±1时，有8×2＝16个；公差为±2时，满足要求的数列共有6×2＝12个；公差为±3时，有4×2＝8个；公差为±4时，只有2×2＝4个，由分类加法计数原理可知，共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个．
答案：40
3．(分类不清)从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．
解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(3,5)种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(2,5)种方法．所以满足条件的不同取法有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(2,5)＝350(种)．
答案：350
考点一 两个计数原理及应用
[典例] (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
(2)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．
[解析] (1)由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法计数原理知，共6×3＝18种走法，故选B.
(2)十位数的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个；十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．
[答案] (1)B (2)8
[方法技巧]
(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
(2)分类标准要明确，做到不重复不遗漏．
(3)混合问题一般是先分类再分步．
(4)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．
[针对训练]
1．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
解析：选D 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．
2．如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．
解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．
答案：5
考点二 排列问题
[典例] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起．
[解] (1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有Aeq \\al(5,7)＝2 520种排法．
(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有Aeq \\al(7,7)＝5 040种排法．
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有Aeq \\al(3,3)种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有Aeq \\al(4,4)种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有Aeq \\al(2,2)种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝Aeq \\al(3,3)·Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(2,2)＝288(种)．
(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有Aeq \\al(4,4)种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有Aeq \\al(3,5)种排法，故N＝Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(3,5)＝1 440(种)．
[方法技巧] 求解排列应用问题的5种主要方法
[针对训练]
1．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )
A．Aeq \\al(18,18)种 B．Aeq \\al(20,20)种
C．Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(3,18)Aeq \\al(10,10)种 D．Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(18,18)种
解析：选D 中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有Aeq \\al(2,2)种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有Aeq \\al(18,18)种站法．根据分步乘法计数原理可知，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(18,18)种站法．故选D.
2．(2021·长沙明德中学月考)现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法种数为( )
A．Aeq \\al(2,6)Aeq \\al(2,7) B．Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(2,7)
C．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,6)Aeq \\al(2,7) D．Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(6,6)Aeq \\al(2,7)
解析：选D 根据题意，分3步进行分析：①将4名男生分成1,3两组，有Ceq \\al(3,4)＝4种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有Aeq \\al(3,3)种排法；②将6名女生全排列，有Aeq \\al(6,6)种情况，排好后有7个空位；③将分好的2组男生安排到7个空位中，有Aeq \\al(2,7)种情况，则不同的排法有Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(6,6)Aeq \\al(2,7)＝Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(6,6)Aeq \\al(2,7)种．
考点三 组合问题
[典例] 已知男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
[解] (1)第1步，选3名男运动员，有Ceq \\al(3,6)种选法；
第2步，选2名女运动员，有Ceq \\al(2,4)种选法，共有Ceq \\al(3,6)·Ceq \\al(2,4)＝120(种)选法．
(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得总选法数为Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(4,6)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(1,6)＝246(种)．
法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．
从10人中任选5人有Ceq \\al(5,10)种选法，其中全是男运动员的选法有Ceq \\al(5,6)种．
所以“至少有1名女运动员”的选法为Ceq \\al(5,10)－Ceq \\al(5,6)＝246(种)．
(3)法一：直接法
可分类求解：
“只有男队长”的选法为Ceq \\al(4,8)；
“只有女队长”的选法为Ceq \\al(4,8)；
“男、女队长都入选”的选法为Ceq \\al(3,8)；
所以共有2Ceq \\al(4,8)＋Ceq \\al(3,8)＝196(种)选法．
法二：间接法
从10人中任选5人有Ceq \\al(5,10)种选法．
其中不选队长的方法有Ceq \\al(5,8)种．所以“至少有1名队长”的选法为Ceq \\al(5,10)－Ceq \\al(5,8)＝196(种)．
(4)当有女队长时，其他人任意选，共有Ceq \\al(4,9)种选法．不选女队长时，必选男队长，共有Ceq \\al(4,8)种选法，其中不含女运动员的选法有Ceq \\al(4,5)种，所以不选女队长时的选法共有Ceq \\al(4,8)－Ceq \\al(4,5)种．所以既有队长又有女运动员的选法共有Ceq \\al(4,9)＋Ceq \\al(4,8)－Ceq \\al(4,5)＝191(种)．
[方法技巧] 组合问题的2种题型及解法
[针对训练]
1．(多选)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A．若任意选科，选法总数为Ceq \\al(2,4)
B．若化学必选，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＋1
解析：选BD 若任意选科，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)，A错误；若化学必选，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＋1，D正确．
2．现有12张不同的扑克牌，其中红桃、方片、黑桃、梅花各3张，现从中任取3张，要求这3张牌不能是同一种且黑桃至多一张，则不同的取法种数为________．
解析：分类完成，含有一张黑桃的不同取法有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,9)＝108(种)，不含黑桃时，有Ceq \\al(3,9)－3Ceq \\al(3,3)＝81(种)不同的取法．故共有108＋81＝189种不同的取法．
答案：189
一、创新命题视角——学通学活巧迁移
分组分配问题中的3种常见类型
解决分组问题的一个基本指导思想是先分组后分配.关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意的是只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象.
类型(一) 整体均分问题
[例1] 教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6名免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．
[解析] 先把6名毕业生平均分成3组，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有Aeq \\al(3,3)＝6种方法，故6名毕业生平均分到3所学校，共有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))Aeq \\al(3,3)＝90种分配方法．
[答案] 90
[名师微点]
对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
类型(二) 部分均分问题
[例2] 将并排的有不同编号的5个房间安排给5名工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．
[解析] 先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空当中即可，故安排方式共有
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(1,5)C\\al(1,4)C\\al(3,3),A\\al(2,2))＋\f(C\\al(2,5)C\\al(2,3)C\\al(1,1),A\\al(2,2))))·Aeq \\al(3,3)·Ceq \\al(2,4)＝900种．
[答案] 900
[名师微点]
对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
类型(三) 不等分组问题
[例3] (1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有( )
A．4种 B．5种
C．6种 D．8种
(2)将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．
[解析] (1)根据题意，可先将3名大学生分成2组，一组2人，一组1人，共有Ceq \\al(2,3)＝3种分法，再将这两组分配到2个山村，有Aeq \\al(2,2)＝2种分法，故共有3×2＝6种分法．
(2)先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有Ceq \\al(1,6)种选法；再从余下的5本中选2本，有Ceq \\al(2,5)种选法；最后余下3本全选，有Ceq \\al(3,3)种选法．故共有Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(3,3)＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有60Aeq \\al(3,3)＝360种分配方法．
[答案] (1)C (2)360
[名师微点]
对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时，任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
[归纳总结]
总之，在解答分组问题时，一定要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数．对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏，抓住了以上关键点，就能避免掉进陷阱．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )
A．18种 B．24种
C．36种 D．48种
解析：选C 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝12种；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(2,3)＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,3)＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.
2．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99，3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)5位回文数有________个；
(2)2n(n∈N*)位回文数有________个．
解析：(1)5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900(种)填法，即5位回文数有900个．
(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10n－1种填法．
答案：(1)900 (2)9×10n－1
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是( )
A．26 B．60
C．18 D．1 080
解析：选A 由分类加法计数原理知有5＋12＋3＋6＝26(种)不同走法．
2．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )
A．10种 B．25种
C．52种 D．24种
解析：选D 每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．
3．(2021·德州模拟)某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )
A．504 B．210
C．336 D．120
解析：选A 分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．
4．(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
解析：选C 先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有Ceq \\al(1,6)种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有Ceq \\al(2,5)种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有Ceq \\al(3,3)种选法，由分步乘法计数原理知，共有Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(3,3)＝60(种)不同的安排方法．故选C.
5．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有________个．
解析：当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有1＋2＋3＋4＝10个这样的三角形．
答案：10
6．(2021·长春质检)某班主任准备请2020届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)
解析：若甲、乙同时参加，有Ceq \\al(2,6)Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＝120(种)，若甲、乙有一人参加，有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,6)Aeq \\al(4,4)＝960(种)，从而不同的发言顺序有1 080种．
答案：1 080
二、综合练——练思维敏锐度
1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
解析：选B 第一类：甲在左端，有Aeq \\al(5,5)＝120种排法；
第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4Aeq \\al(4,4)＝96种排法；
所以共有120＋96＝216种排法．
2．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．6种
C．10种 D．16种
解析：选B 分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，同理，甲先踢给丙时，满足条件也有3种方法．由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．
3．(多选)2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是( )
A．若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种
D．所有不同分派方案共43种
解析：选ABC 对于选项A：若C企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共用24＝16种，若C企业派1名医生则有Ceq \\al(1,4)·23＝32种，所以共有16＋32＝48种．
对于选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝36种．
对于选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，若甲企业分2人，则有Aeq \\al(3,3)＝6种；若甲企业分1人，则有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1)Aeq \\al(2,2)＝6种，所以共有6＋6＝12种．
对于选项D：所有不同分派方案共有34种．
4．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为( )
A．Ceq \\al(2,10)Aeq \\al(4,8) B．Ceq \\al(1,9)Aeq \\al(5,9)
C．Ceq \\al(1,8)Aeq \\al(5,9) D．Ceq \\al(1,8)Aeq \\al(5,8)
解析：选C 先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有Ceq \\al(1,8)种方法，再排剩余的瓶子，有Aeq \\al(5,9)种方法，故不同的放法共Ceq \\al(1,8)Aeq \\al(5,9)种，故选C.
5．从数字1,2,3,4,5,6,7中任取3个奇数，2个偶数，组成一个无重复数字且两个偶数数字不相邻的五位数，则满足条件的五位数共有( )
A．864个 B．432个
C．288个 D．144个
解析：选A 从数字1,2,3,4,5,6,7中任取3个奇数，2个偶数的取法种数为Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,3).把3个奇数全排列，有Aeq \\al(3,3)种，再把2个偶数在3个奇数排后产生的空位置中排列，有Aeq \\al(2,4)种，所以根据分步乘法计数原理知，满足条件的五位数共有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝864(个)．
6.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有( )
A．22种 B．24种
C．25种 D．27种
解析：选D 由题意知正方形ABCD(边长为2个单位)的周长是8个单位，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，表示三次骰子的点数之和是8或16，点数和为8或16的有125,134,116,224,233,466,556，共有7种组合．组合125,134，每种情况可以排列出Aeq \\al(3,3)＝6种走法，共有2Aeq \\al(3,3)＝2×6＝12种走法；组合116,224,233,466,556各自可以列出3种走法，共有5×3＝15种走法．根据分类加法计数原理知，共有12＋15＝27(种)走法，故选D.
7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
解析：选A 将4名学生均分为2个小组共有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有Aeq \\al(2,2)＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有Aeq \\al(2,2)＝2(种)分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．
8．学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种．(用数字作答)
解析：由已知可得，先将5名学生分成3组，有eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))＝15种分组方法，再安排到三个班中有Aeq \\al(3,3)种方法，所以共有15×Aeq \\al(3,3)＝90种方案．
答案：90
9．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，则4只鞋子恰成两双的不同情况有________种；4只鞋子没有成双的不同情况有________种．
解析：根据题意只需选出两双鞋，所以有Ceq \\al(2,10)＝45(种)情况．
4只鞋若没有成双的，则它们来自4双鞋；先从10双中取4双，有Ceq \\al(4,10)种取法，再从每双中取一只，各有Ceq \\al(1,2)种取法，所以由分步乘法计数原理共有Ceq \\al(4,10)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＝3 360(种)情况．
答案：45 3 360
10．(2021·泰安一模)北京大兴国际机场为4F级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航．目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)
解析：从4条跑道中选取安排共有Aeq \\al(2,4)＝12种选择，
排除西一跑道、西二跑道都没有的Aeq \\al(2,2)＝2种选择，共有12－2＝10种选择．
答案：10
11．(2021·潍坊模拟)植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在如图所示的一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，其中A，B，C分别与E，F，G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是________(用数字作答)．
解析：由题意对称相当于3种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有Ceq \\al(1,3)种选法；在四个位置上种植有eq \f(A\\al(4,4),A\\al(2,2))＝12种方法，则由分步乘法计数原理得共有Ceq \\al(1,3)×12＝36种方法．
答案：36
12．(2021·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同的路口疏导交通，每个路口至少1人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有________种．
解析：把甲、乙2人看作一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少1人，共有Ceq \\al(2,4)种方法，再把这3部分人分到3个路口，有Aeq \\al(3,3)种方法，根据分步乘法计数原理，不同分法的种类为Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝36(种)．
答案：36
13．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________．
解析：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有Ceq \\al(1,2)×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．
答案：12
14．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)
解：(1)从4名男生中选出2人，有Ceq \\al(2,4)种选法，
从6名女生中选出3人，有Ceq \\al(3,6)种选法，
根据分步乘法计数原理知选出5人，再把这5个人进行排列，共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,6)Aeq \\al(5,5)＝14 400(种)．
(2)在选出的5个人中，若2名男生不相邻，则第一步先排3名女生，第二步再让男生插空，根据分步乘法计数原理知共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,6)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝8 640(种)．
15．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
(1)比21 034大的偶数；
(2)左起第二、四位是奇数的偶数．
解：(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝12个五位数；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝12个五位数；
当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；
当末位数字是4，而首位数字是3时，有Aeq \\al(3,3)＝6个五位数．
故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数．
(2)可分为两类：
末位数是0，个数有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝4；
末位数是2或4，个数有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)＝4.
故共有4＋4＝8个满足条件的五位数．分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条件
完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结论
完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
完成这件事共有N＝m·n种不同的方法
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)；
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq \f(n！,m！n－m！)
性质
(1)0！＝eq \a\vs4\al(1)；Aeq \\al(n,n)＝eq \a\vs4\al(n！)；
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \a\vs4\al(C\\al(n－m,n))；Ceq \\al(m,n＋1)＝eq \a\vs4\al(C\\al(m,n)＋C\\al(m－1,n))
直接法
适用于没有限制条件的问题
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中
间接法
正难则反，等价转化的方法
题型
解法
“含有”或“不含有”某些元素的组合
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取
“至少”或“至多”含有几个元素的组合
解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理
核心素养立意下的命题导向
1.结合“分类”“分步”完成一件事，考查对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解及简单应用，凸显数学建模的核心素养．
2．结合排列、组合的概念及两个计数原理，考查常见排列、组合问题的解法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3．结合排列数、组合数公式，考查常见排列数、组合数问题的化简及计算，凸显数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．两个计数原理
2．排列与组合的概念
3．排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Aeq \\al(m,n)表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ceq \\al(m,n)表示．
(3)全排列：把n个不同元素全部取出来按照一定的顺序排列起来，叫做n个不同元素的全排列．用Aeq \\al(n,n)表示n个不同元素的全排列数．
4．排列数、组合数的公式及性质
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(分类加法计数原理的应用) 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为( )
A．12种 B．7种
C．4种 D．3种
解析：选B 由题意知，有4＋3＝7种．
2．(分步乘法计数原理的应用) 将3张不同的武汉军运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( )
A．2 160 B．720
C．240 D．120
解析：选B 分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．
3．(组合问题) 从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )
A．18 B．24
C．30 D．36
解析：选C 法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,3)＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)＝30种．故选C.
法二：从7名同学中任选3名的方法数，再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(3,4)－Ceq \\al(3,3)＝30.故选C.
4．(排列问题) A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )
A．24种 B．60种
C．90种 D．120种
解析：选B 可先排C，D，E三人，共有Aeq \\al(3,5)种，剩余A，B两人只有一种排法，故满足条件的排法共有Aeq \\al(3,5)×1＝60(种)．
二、易错点练清
1．(混淆两个计数原理)一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，则从两个口袋中各取1个小球，有________种不同的取法．
解析：分两步完成，第一步从第1个口袋内任取1个小球有5种方法，第二步从第二个口袋内取1个小球有4种方法，根据分步乘法计数原理得到不同的取法种数是5×4＝20种．
答案：20
2．(分步、分类时产生重复或遗漏)从1,2,3，…，10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有________个．
解析：根据构成等差数列的公差，分为公差为±1，±2，±3，±4四类，公差为±1时，有8×2＝16个；公差为±2时，满足要求的数列共有6×2＝12个；公差为±3时，有4×2＝8个；公差为±4时，只有2×2＝4个，由分类加法计数原理可知，共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个．
答案：40
3．(分类不清)从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．
解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(3,5)种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(2,5)种方法．所以满足条件的不同取法有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(2,5)＝350(种)．
答案：350
考点一 两个计数原理及应用
[典例] (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
(2)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．
[解析] (1)由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法计数原理知，共6×3＝18种走法，故选B.
(2)十位数的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个；十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．
[答案] (1)B (2)8
[方法技巧]
(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
(2)分类标准要明确，做到不重复不遗漏．
(3)混合问题一般是先分类再分步．
(4)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．
[针对训练]
1．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
解析：选D 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．
2．如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．
解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．
答案：5
考点二 排列问题
[典例] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起．
[解] (1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有Aeq \\al(5,7)＝2 520种排法．
(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有Aeq \\al(7,7)＝5 040种排法．
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有Aeq \\al(3,3)种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有Aeq \\al(4,4)种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有Aeq \\al(2,2)种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝Aeq \\al(3,3)·Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(2,2)＝288(种)．
(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有Aeq \\al(4,4)种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有Aeq \\al(3,5)种排法，故N＝Aeq \\al(4,4)·Aeq \\al(3,5)＝1 440(种)．
[方法技巧] 求解排列应用问题的5种主要方法
[针对训练]
1．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )
A．Aeq \\al(18,18)种 B．Aeq \\al(20,20)种
C．Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(3,18)Aeq \\al(10,10)种 D．Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(18,18)种
解析：选D 中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有Aeq \\al(2,2)种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有Aeq \\al(18,18)种站法．根据分步乘法计数原理可知，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(18,18)种站法．故选D.
2．(2021·长沙明德中学月考)现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法种数为( )
A．Aeq \\al(2,6)Aeq \\al(2,7) B．Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(2,7)
C．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,6)Aeq \\al(2,7) D．Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(6,6)Aeq \\al(2,7)
解析：选D 根据题意，分3步进行分析：①将4名男生分成1,3两组，有Ceq \\al(3,4)＝4种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有Aeq \\al(3,3)种排法；②将6名女生全排列，有Aeq \\al(6,6)种情况，排好后有7个空位；③将分好的2组男生安排到7个空位中，有Aeq \\al(2,7)种情况，则不同的排法有Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(6,6)Aeq \\al(2,7)＝Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(6,6)Aeq \\al(2,7)种．
考点三 组合问题
[典例] 已知男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
[解] (1)第1步，选3名男运动员，有Ceq \\al(3,6)种选法；
第2步，选2名女运动员，有Ceq \\al(2,4)种选法，共有Ceq \\al(3,6)·Ceq \\al(2,4)＝120(种)选法．
(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得总选法数为Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(4,6)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(1,6)＝246(种)．
法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．
从10人中任选5人有Ceq \\al(5,10)种选法，其中全是男运动员的选法有Ceq \\al(5,6)种．
所以“至少有1名女运动员”的选法为Ceq \\al(5,10)－Ceq \\al(5,6)＝246(种)．
(3)法一：直接法
可分类求解：
“只有男队长”的选法为Ceq \\al(4,8)；
“只有女队长”的选法为Ceq \\al(4,8)；
“男、女队长都入选”的选法为Ceq \\al(3,8)；
所以共有2Ceq \\al(4,8)＋Ceq \\al(3,8)＝196(种)选法．
法二：间接法
从10人中任选5人有Ceq \\al(5,10)种选法．
其中不选队长的方法有Ceq \\al(5,8)种．所以“至少有1名队长”的选法为Ceq \\al(5,10)－Ceq \\al(5,8)＝196(种)．
(4)当有女队长时，其他人任意选，共有Ceq \\al(4,9)种选法．不选女队长时，必选男队长，共有Ceq \\al(4,8)种选法，其中不含女运动员的选法有Ceq \\al(4,5)种，所以不选女队长时的选法共有Ceq \\al(4,8)－Ceq \\al(4,5)种．所以既有队长又有女运动员的选法共有Ceq \\al(4,9)＋Ceq \\al(4,8)－Ceq \\al(4,5)＝191(种)．
[方法技巧] 组合问题的2种题型及解法
[针对训练]
1．(多选)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A．若任意选科，选法总数为Ceq \\al(2,4)
B．若化学必选，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＋1
解析：选BD 若任意选科，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)，A错误；若化学必选，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＋1，D正确．
2．现有12张不同的扑克牌，其中红桃、方片、黑桃、梅花各3张，现从中任取3张，要求这3张牌不能是同一种且黑桃至多一张，则不同的取法种数为________．
解析：分类完成，含有一张黑桃的不同取法有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,9)＝108(种)，不含黑桃时，有Ceq \\al(3,9)－3Ceq \\al(3,3)＝81(种)不同的取法．故共有108＋81＝189种不同的取法．
答案：189
一、创新命题视角——学通学活巧迁移
分组分配问题中的3种常见类型
解决分组问题的一个基本指导思想是先分组后分配.关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意的是只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象.
类型(一) 整体均分问题
[例1] 教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6名免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．
[解析] 先把6名毕业生平均分成3组，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有Aeq \\al(3,3)＝6种方法，故6名毕业生平均分到3所学校，共有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))Aeq \\al(3,3)＝90种分配方法．
[答案] 90
[名师微点]
对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
类型(二) 部分均分问题
[例2] 将并排的有不同编号的5个房间安排给5名工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．
[解析] 先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空当中即可，故安排方式共有
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(1,5)C\\al(1,4)C\\al(3,3),A\\al(2,2))＋\f(C\\al(2,5)C\\al(2,3)C\\al(1,1),A\\al(2,2))))·Aeq \\al(3,3)·Ceq \\al(2,4)＝900种．
[答案] 900
[名师微点]
对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
类型(三) 不等分组问题
[例3] (1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有( )
A．4种 B．5种
C．6种 D．8种
(2)将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．
[解析] (1)根据题意，可先将3名大学生分成2组，一组2人，一组1人，共有Ceq \\al(2,3)＝3种分法，再将这两组分配到2个山村，有Aeq \\al(2,2)＝2种分法，故共有3×2＝6种分法．
(2)先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有Ceq \\al(1,6)种选法；再从余下的5本中选2本，有Ceq \\al(2,5)种选法；最后余下3本全选，有Ceq \\al(3,3)种选法．故共有Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(3,3)＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有60Aeq \\al(3,3)＝360种分配方法．
[答案] (1)C (2)360
[名师微点]
对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时，任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
[归纳总结]
总之，在解答分组问题时，一定要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数．对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏，抓住了以上关键点，就能避免掉进陷阱．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )
A．18种 B．24种
C．36种 D．48种
解析：选C 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝12种；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(2,3)＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,3)＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.
2．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99，3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)5位回文数有________个；
(2)2n(n∈N*)位回文数有________个．
解析：(1)5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900(种)填法，即5位回文数有900个．
(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10n－1种填法．
答案：(1)900 (2)9×10n－1
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是( )
A．26 B．60
C．18 D．1 080
解析：选A 由分类加法计数原理知有5＋12＋3＋6＝26(种)不同走法．
2．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )
A．10种 B．25种
C．52种 D．24种
解析：选D 每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．
3．(2021·德州模拟)某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )
A．504 B．210
C．336 D．120
解析：选A 分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．
4．(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
解析：选C 先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有Ceq \\al(1,6)种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有Ceq \\al(2,5)种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有Ceq \\al(3,3)种选法，由分步乘法计数原理知，共有Ceq \\al(1,6)·Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(3,3)＝60(种)不同的安排方法．故选C.
5．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有________个．
解析：当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有1＋2＋3＋4＝10个这样的三角形．
答案：10
6．(2021·长春质检)某班主任准备请2020届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)
解析：若甲、乙同时参加，有Ceq \\al(2,6)Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＝120(种)，若甲、乙有一人参加，有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,6)Aeq \\al(4,4)＝960(种)，从而不同的发言顺序有1 080种．
答案：1 080
二、综合练——练思维敏锐度
1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
解析：选B 第一类：甲在左端，有Aeq \\al(5,5)＝120种排法；
第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4Aeq \\al(4,4)＝96种排法；
所以共有120＋96＝216种排法．
2．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．6种
C．10种 D．16种
解析：选B 分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，同理，甲先踢给丙时，满足条件也有3种方法．由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．
3．(多选)2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是( )
A．若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种
D．所有不同分派方案共43种
解析：选ABC 对于选项A：若C企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共用24＝16种，若C企业派1名医生则有Ceq \\al(1,4)·23＝32种，所以共有16＋32＝48种．
对于选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝36种．
对于选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，若甲企业分2人，则有Aeq \\al(3,3)＝6种；若甲企业分1人，则有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1)Aeq \\al(2,2)＝6种，所以共有6＋6＝12种．
对于选项D：所有不同分派方案共有34种．
4．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为( )
A．Ceq \\al(2,10)Aeq \\al(4,8) B．Ceq \\al(1,9)Aeq \\al(5,9)
C．Ceq \\al(1,8)Aeq \\al(5,9) D．Ceq \\al(1,8)Aeq \\al(5,8)
解析：选C 先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有Ceq \\al(1,8)种方法，再排剩余的瓶子，有Aeq \\al(5,9)种方法，故不同的放法共Ceq \\al(1,8)Aeq \\al(5,9)种，故选C.
5．从数字1,2,3,4,5,6,7中任取3个奇数，2个偶数，组成一个无重复数字且两个偶数数字不相邻的五位数，则满足条件的五位数共有( )
A．864个 B．432个
C．288个 D．144个
解析：选A 从数字1,2,3,4,5,6,7中任取3个奇数，2个偶数的取法种数为Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,3).把3个奇数全排列，有Aeq \\al(3,3)种，再把2个偶数在3个奇数排后产生的空位置中排列，有Aeq \\al(2,4)种，所以根据分步乘法计数原理知，满足条件的五位数共有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝864(个)．
6.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有( )
A．22种 B．24种
C．25种 D．27种
解析：选D 由题意知正方形ABCD(边长为2个单位)的周长是8个单位，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，表示三次骰子的点数之和是8或16，点数和为8或16的有125,134,116,224,233,466,556，共有7种组合．组合125,134，每种情况可以排列出Aeq \\al(3,3)＝6种走法，共有2Aeq \\al(3,3)＝2×6＝12种走法；组合116,224,233,466,556各自可以列出3种走法，共有5×3＝15种走法．根据分类加法计数原理知，共有12＋15＝27(种)走法，故选D.
7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
解析：选A 将4名学生均分为2个小组共有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有Aeq \\al(2,2)＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有Aeq \\al(2,2)＝2(种)分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．
8．学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种．(用数字作答)
解析：由已知可得，先将5名学生分成3组，有eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))＝15种分组方法，再安排到三个班中有Aeq \\al(3,3)种方法，所以共有15×Aeq \\al(3,3)＝90种方案．
答案：90
9．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，则4只鞋子恰成两双的不同情况有________种；4只鞋子没有成双的不同情况有________种．
解析：根据题意只需选出两双鞋，所以有Ceq \\al(2,10)＝45(种)情况．
4只鞋若没有成双的，则它们来自4双鞋；先从10双中取4双，有Ceq \\al(4,10)种取法，再从每双中取一只，各有Ceq \\al(1,2)种取法，所以由分步乘法计数原理共有Ceq \\al(4,10)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＝3 360(种)情况．
答案：45 3 360
10．(2021·泰安一模)北京大兴国际机场为4F级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航．目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)
解析：从4条跑道中选取安排共有Aeq \\al(2,4)＝12种选择，
排除西一跑道、西二跑道都没有的Aeq \\al(2,2)＝2种选择，共有12－2＝10种选择．
答案：10
11．(2021·潍坊模拟)植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在如图所示的一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，其中A，B，C分别与E，F，G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是________(用数字作答)．
解析：由题意对称相当于3种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有Ceq \\al(1,3)种选法；在四个位置上种植有eq \f(A\\al(4,4),A\\al(2,2))＝12种方法，则由分步乘法计数原理得共有Ceq \\al(1,3)×12＝36种方法．
答案：36
12．(2021·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同的路口疏导交通，每个路口至少1人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有________种．
解析：把甲、乙2人看作一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少1人，共有Ceq \\al(2,4)种方法，再把这3部分人分到3个路口，有Aeq \\al(3,3)种方法，根据分步乘法计数原理，不同分法的种类为Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝36(种)．
答案：36
13．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________．
解析：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有Ceq \\al(1,2)×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．
答案：12
14．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)
解：(1)从4名男生中选出2人，有Ceq \\al(2,4)种选法，
从6名女生中选出3人，有Ceq \\al(3,6)种选法，
根据分步乘法计数原理知选出5人，再把这5个人进行排列，共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,6)Aeq \\al(5,5)＝14 400(种)．
(2)在选出的5个人中，若2名男生不相邻，则第一步先排3名女生，第二步再让男生插空，根据分步乘法计数原理知共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,6)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝8 640(种)．
15．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
(1)比21 034大的偶数；
(2)左起第二、四位是奇数的偶数．
解：(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝12个五位数；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝12个五位数；
当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；
当末位数字是4，而首位数字是3时，有Aeq \\al(3,3)＝6个五位数．
故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数．
(2)可分为两类：
末位数是0，个数有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝4；
末位数是2或4，个数有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)＝4.
故共有4＋4＝8个满足条件的五位数．分类加法计数原理
分步乘法计数原理
条件
完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结论
完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
完成这件事共有N＝m·n种不同的方法
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)；
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq \f(n！,m！n－m！)
性质
(1)0！＝eq \a\vs4\al(1)；Aeq \\al(n,n)＝eq \a\vs4\al(n！)；
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \a\vs4\al(C\\al(n－m,n))；Ceq \\al(m,n＋1)＝eq \a\vs4\al(C\\al(m,n)＋C\\al(m－1,n))
直接法
适用于没有限制条件的问题
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中
间接法
正难则反，等价转化的方法
题型
解法
“含有”或“不含有”某些元素的组合
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取
“至少”或“至多”含有几个元素的组合
解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理
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