备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点02 常用逻辑用语 学案

易错点02  常用逻辑用语

易错点1：混淆命题的否定与否命题

命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.

命题p的否定是否定命题所作的判断.

而“否命题”是对“若p则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.

易错点2：分不清四种命题的关系

原命题：若p则q;逆命题：若q则p;否命题：若¬p则¬q;逆否命题：若¬q则¬p.

此外，原命题与逆否命题、否命题与逆命题同真同假。

易错点3：充分条件、必要条件颠倒致误

对于两个条件A和B.

如果AB成立，则A是B的充分条件.B是A的必要条件;

如果BA成立，则A是B的必要条件.B是A的充分条件;

如果AB，则A，B互为充分必要条件.

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性.所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.

易错点4：“或”“且”“非”理解不准致误

命题p∨q真p真或q真.命题p∨q假p假且q假(概括为一真即真);

命题p∧q真p真且q真.命题p∧q假p假或q假(概括为一假即假);

¬p真p假.¬p假p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目.也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解.通过集合的运算求解.

            01   混淆命题的否定与否命题

例1．（2015新课标）设命题：，，则为

A．            B．

C．            D．

【警示】 本题考生易错选A或B，选A是因为只否定结论，而选B是只否定条件.

【解析】 命题“，”的否定是“，”，特别注意特征命题与全称命题的互否关系。

【答案】选C.

【叮嘱】特称命题的否定就是全称命题；全称命题的否定是特称命题；在对命题进行否定时，一定要条件和结论都否定。同时还要区分好命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.命题p的否定是否定命题所作的判断。而“否命题”是对“若p则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.

1．命题“，”的否定是（     ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】选C.

【解析】 命题“，”的否定是“，”，特别注意特征命题与全称命题的互否关系。

2．（2014福建）命题“”的否定是

A．       B．

C．      D．

【答案】选C.

【解析】 把量词“”改为“”，把结论否定，故选C．

            02  分不清四种命题的关系

例2．(选修2－1 P6练习(3)改编)命题p的逆命题为：奇函数的图象关于原点对称，则p为(　　)

A．奇函数的图象不关于原点对称

B．若一个函数不是奇函数，则它的图象不关于原点对称

C．若一个函数的图象关于原点对称，则它是奇函数

D．若一个函数的图象不关于原点对称，则它不是奇函数

【警示】本题易错选A ，原因在于分不清四种命题的定义

【解析】命题p为：若一个函数的图象关于原点对称，则它是奇函数，故选C.

【答案】选C.

【叮嘱】原命题：若p则q;逆命题：若q则p;否命题：若¬p则¬q;逆否命题：若¬q则¬p.

此外，原命题与逆否命题、否命题与逆命题同真同假。

1．下列说法错误的是（　 　）

A．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”

B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件

C．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”

D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题

【答案】选C

【解析】若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题.

2．设z是复数, 则下列命题中的假命题是

A．若, 则z是实数        B．若, 则z是虚数

C．若z是虚数, 则        D．若z是纯虚数, 则

【答案】选C

【解析】．

对选项A: ,所以为真．

对选项B: ,所以为真．

对选项C: ,所以为假．

对选项D: ,所以为真．

            03  充分条件、必要条件颠倒致误

例3．（2020年天津卷2）设，则“”是“”的

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【警示】 解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，而错选B.

【解析】由可解得或，故是的充分不必要条件．

【答案】A

【叮嘱】对于两个条件A和B.

如果AB成立.则A是B的充分条件.B是A的必要条件;

如果BA成立.则A是B的必要条件.B是A的充分条件;

如果AB.则A.B互为充分必要条件.

在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断.

1.（2020年北京卷9）已知，则“存在使得”是“”的(   )

 A．充分而不必要条件　 B．必要而不充分条件

 C．充分必要条件　　　 D．既不充分也不必要条件

【答案】选C.

【解析】设命题为“存在使得”，命题为“”．

设，当时，，；

当时，，；则．

由得，或，，由上述论证可知，其等价于，，则．综上，，是的充分必要条件．

2.（2020年浙江卷6）已知空间中不过同一点的三条直线 ，，.则“，，共面”是“，，两两相交”的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 

 C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若“，，两两相交”则“，，在同一个平面”，反之不成立．

            04  含逻辑连接词的命题的真假判断

例4．（2017山东）已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是

A．       B．         C．        D．

【警示】很多考生没分清含“或、且、非”的命题的真假判断，而无从下手；或考虑不全而出错。

【解析】 ，，所以，所以为真命题；若，则，若，则，所以，所以为假命题．所以为真命题．

【答案】选B

【叮嘱】命题p∨q真p真或q真.命题p∨q假p假且q假(概括为一真即真);

命题p∧q真p真且q真.命题p∧q假p假或q假(概括为一假即假);

¬p真p假.¬p假p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目.也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解.通过集合的运算求解.

1．（2014湖南）已知命题：若，则；命题：若，则．在命题①   ②  ③  ④中，真命题是

A．①③      B．①④      C．②③      D．②④

【答案】选C

【解析】由不等式的性质可知，命题是真命题，命题为假命题，故①为假命题，②为真命题，③为真命题，则为真命题，④为假命题，则为假命题，所以选C．

2．(2012山东)设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是

A．p为真        B．为假        C．为假    D．为真

【答案】选C

【解析】命题p为假,命题q也为假,故选C．

1．已知，命题“若，则或”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（    ）

A．0 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】由于，则，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.

否命题为“若，则且”，如，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题.

所以真命题的个数为.

2．下列关于命题的说法错误的是（    ）

A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件

C．“若为的极值点，则”的逆命题为真

D．命题：，的否定是，

【答案】C

【解析】对于A，由逆否命题的概念可得命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；

对于B，若，则函数在区间上为增函数；若函数在区间上为增函数，则只需满足；所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故B正确；

对于C，“若为的极值点，则” 的逆命题为“若，则为的极值点”，对函数，，但不是函数的极值点，所以原命题的逆命题为假命题，故C错误；

对于D，由全称命题的否定可知命题：，的否定是，，故D正确.

3．在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题：

：若，则此四棱锥的侧面积为；

：若分别为的中点，则平面；

：若都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍.

在下列命题中，为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为异面直线与所成的角为，AD平行于BC，故角PBC=，正四棱锥 中，PB=PC，故三角形PBC是等边三角形；当AB=2，此四棱锥的侧面积为，故是假命题；

取BC的中点G，分别为的中点故得，故平面EFG//平面PAB，从而得到EF//平面PAB，故是真命题；

设AB=a, AC和BD的交点为O，则PO垂直于地面ABCD，PA＝ａ，AO＝，PO＝

O为球心，球的半径为，表面积为 ,又正方形的面积为,故为真．

故为真；        均为假．故答案为A．

4．下列命题正确的是　　

A．命题“若，则”的逆否命题为真命题

B．命题“若，则”的逆命题为真命题

C．命题“，”的否定是“”

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】A

【解析】对于A，原命题为真命题，∴逆否命题为真命题，故正确；

对于Ｂ，逆命题为“若，则”，当时不成立，故错误；

对于C，命题“”的否定是“”,故错误；

对于D，由得到，∴“”是“”的必要不充分条件，故错误.

5．下列命题正确的是（    ）．

A．对于任意的实数，都有

B．存在实数，使得

C．“集合”的充要条件是“对于任意，都有”

D．若集合，则，中至少有一个是空集

【答案】C

【解析】因为当时，，所以A错误；

因为对于任意正实数，都有，所以B错误；

按照子集的定义可知C正确；

因为偶数集合与奇数集合的交集为空集，所以D错误．

6．设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为等价于，

当，时，解得，即，

当，时，解得，即，

当，时，解得.

所以“”是“”的充分不必要条件.

7．“不等式在上恒成立”的充要条件是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，

∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得m，

又∵m⇒△＝1﹣4m＜0，所以m是“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充要条件.

8．下列命题正确的是（    ）

A． B．是的充分不必要条件

C． D．若，则

【答案】B

【解析】x2+2x+3=0的△=﹣8＜0，故方程无实根，即∃x0∈R，x02+2x0+3=0错误，即A错误；

x2＞1⇔x＜﹣1，或x＞1，故x＞1是x2＞1的充分不必要条件，故B正确；

当x≤1时，x3≤x2，故∀x∈N，x3＞x2错误，即C错误；

若a=1，b=﹣1，则a＞b，但a2=b2，故D错误；

9．命题“，”的否定形式是（   ）.

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】命题的否定为:改为,改为,故否定形式为，,故选D.

10．在中，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【答案】C

【解析】中，若，则，但时，，充分性不成立，

若，若，满足，但，必要性也不成立．

应是既不充分也不必要条件．