2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 06-第三节 随机事件与概率（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 06-第三节 随机事件与概率（教用），共15页。试卷主要包含了结合实例，会用频率估计概率等内容，欢迎下载使用。
第三节 随机事件与概率
课标要求
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.
3.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
4.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件的概率的运算法则.
5.结合实例，会用频率估计概率.
回归教材 强基础
1．样本空间和随机事件
（1）样本空间
（2）随机事件
【答案】基本结果； 子集
2．事件的关系和运算
【答案】A∪B或A+B； A∩B或AB
点拨 对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件,则“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
3．古典概型
（1）概率的定义
对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的_ _ _ _ ，事件A的概率用P(A)表示.
（2）古典概型的定义
具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(i)有限性：样本空间的样本点只有_ _ _ _ _ _ ；
(ii)等可能性：每个样本点发生的可能性_ _ _ _ .
（3）古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω 包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=kn=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω 包含的样本点个数.
【答案】概率； 有限个； 相等； n(A)n(Ω)
4．概率的基本性质
性质1：对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(⌀)=0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1−P(A),P(A)=1−P(B).
性质5：如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).
性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，则P(A∪B)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】P(A)+P(B)； P(A)+P(B)−P(A∩B)
5.频率与概率
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
常考结论
若事件A1，A2，⋯ ，An两两互斥，则P(A1∪A2∪⋯ ∪An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An).
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 事件发生的频率与概率是相同的.（ ）
（2） 两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.（ ）
（3） P(A∪B)=P(A)+P(B).（ ）
（4） 若A，B为互斥事件，则P(A)+P(B)=1.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） ×
2．（人教A版必修第二册P235练习T1改编）某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件是（ ）
A. 至少一次中靶B. 只有一次中靶
C. 两次都中靶D. 两次都没有中靶
【答案】C
【解析】射击两次,中靶的次数可能是0，1，2.至多一次中靶，即中靶的次数为0或1，故它的对立事件为两次都中靶.故选C.
3．抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，则两个点数相等的概率为（ ）
A. 16B. 23C. 13D. 12
【答案】A
【解析】抛掷两枚质地均匀的正方体骰子有6×6=36种情况，点数相等的情况有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6种，
则两个点数相等的概率为636=16.
4．（人教A版必修第二册P247习题T13改编）某射击运动员在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射击运动员在一次射击中命中的环数不足8环的概率为（ ）
A. 0.9B. 0.3C. 0.6D. 0.4
【答案】D
【解析】设“该射击运动员在一次射击中命中的环数不足8环”为事件A，则事件A的对立事件A是“该射击运动员在一次射击中命中的环数不小于8环”.
∵ 事件A包括射中10环、9环、8环，且这三个事件两两互斥，
∴P(A)=0.2+0.3+0.1=0.6，
∴P(A)=1−P(A)=1−0.6=0.4，即该射击运动员在一次射击中命中的环数不足8环的概率为0.4.
突破核心 提能力
考点一 随机事件
角度1 随机事件关系的判断
例1 打靶3次，事件Ai表示“击中i次”，其中i=0，1，2，3，那么A=A1∪A2∪A3表示（ ）
A. 全部击中B. 至少击中1次
C. 至少击中2次D. 以上均不正确
【答案】B
例2 某省高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，思想政治、地理、化学、生物学四选二，共有12种选科模式.某同学已选了物理，记事件A=“他选择思想政治和地理”，事件B=“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（ ）
A. 是互斥事件，不是对立事件
B. 是对立事件，不是互斥事件
C. 既是互斥事件，也是对立事件
D. 既不是互斥事件，也不是对立事件
【答案】A
【解析】因为事件A与事件B不能同时发生，所以事件A与事件B是互斥事件，因为该同学还可以选择其他科目组合，所以事件A与事件B不是对立事件.故选A.
例3 （2025·福建福州七校联考）多选 从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（ ）
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是对立事件
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件
【答案】BD
【解析】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是黑球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A错误；
“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，两者可以同时发生，所以不是互斥事件，故B正确；
“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”不同时发生，所以是互斥事件，但还有可能都是红球，所以不是对立事件，故C错误；
“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”不同时发生，且一定会有一个发生，所以是对立事件，故D正确.
故选BD.
归纳总结
判断互斥、对立事件的两种方法
角度2 用频率估计概率
例4 多选 下列说法正确的是（ ）
A. 随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B. 抛掷骰子100次，出现1点18次，则出现1点的频率是950
C. 有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51
【答案】AB
【解析】随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故A正确；抛掷骰子100次，出现1点18次，则出现1点的频率是18100=950，故B正确；有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则不一定抽取到190件正品和10件次品，故C错误；抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，只能得出在100次试验中，抛掷一次该硬币出现正面的频率是0.51，因为试验次数较少，所以无法得出抛掷一次该硬币出现正面的概率，故D错误.
故选AB.
例5 如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100个从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
（1） 试估计40分钟内不能从A地赶到火车站的概率;
（2） 分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
（3） 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间用于从A地赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
【解析】
（1） 由题表知在调查的100人中,40分钟内不能从A地赶到火车站的有12+12+16+4=44（人）,
∴ 用频率估计相应的概率为44100=0.44.
（2） 由题表得，选择L1的有60人,选择L2的有40人,
故由调查结果得频率如下表：
（3） 设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.
由（2）知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(A1)>P(A2),∴ 甲应选择L1.
∵P(B1)