高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第06课时随机事件的概率(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第06课时随机事件的概率(原卷版+解析)，共26页。

【回归教材】
1.样本点和样本空间
(1)我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为 ．
(2)全体样本点的集合称为试验E的 ，如果一个随机试验有n个可能的结果w1，w2，…，wn，
则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为 ．
2.概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
3.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是 的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和．
4.事件的关系与运算
5.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： . (2)必然事件的概率P(E)＝ . (3)不可能事件的概率P(F)＝ .
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ ．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝ ．
【典例讲练】
题型一 有限样本空间与随机事件
【例1-1】在100件产品中，有93件一级品，7件二级品，则下列事件：
①在这100件产品中任意选出8件，全部是一级品．
②在这100件产品中任意选出8件，全部是二级品．
③在这100件产品中任意选出8件，不全是二级品．
④在这100件产品中任意选出8件，其中不是一级品的件数小于8．
其中______是必然事件，______是不可能事件，______是随机事件．（填序号）
【例1-2】已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
【例1-3】已知不透明的袋中装有三个黑球（记为，和）、两个红球（记为和），从中不放回地依次随机抽取两球．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间； (2)求抽到的两个球都是黑球的概率．
归纳总结：
【练习1-1】某学校有4名北京冬奥志愿者，其中2名志愿者（记为，）只参加语言服务，2名志愿者（记为，）只参加医疗服务. 现采用不放回简单随机抽样的方法，从这4名志愿者中抽取2人.
(1)写出这个试验的样本空间； (2)求抽取的2人中恰有一人参加语言服务的概率.
题型二 随机事件间的关系
【例2-1】在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A={出现点数1}，B={出现点数3或4}，C={出现的点数是奇数}，D={出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系； (2)求，，，，．
【例2-2】某射手进行一次射击，可能命中0～10环中的一种，记“命中环数大于7环”为事件A，“命中环数为10环”为事件B，“命中环数小于6环”为事件C，“命中环数为6， 7， 8， 9， 10环”为事件D．判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件．
(1)A与B； (2)A与C； (3)B与C； (4)C与D．
归纳总结：
【练习2-1】设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件“中靶”，事件“击中环数大于5”，事件“击中环数大于1且小于6”，事件“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（ ）
A．B与C互斥B．B与C互为对立
C．A与D互为对立D．A与D互斥
【练习2-2】用数字1，2，3组成没有重复数字的三位数，则事件：“这个三位数是奇数”与事件B：“这个数小于213”（ ）
A．不是互斥事件B．是互斥但不对立事件 C．是对立事件D．
题型三 概率的基本性质
【例3-1】已知P(A)=0.4，P(B)=0.2.（1）如果B⊆A，则P(A∪B)=________，P(AB)=________；（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=________，P(AB)=________.
【例3-2】在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则两人中有人患感冒的概率是________.
归纳总结：
【练习3-1】甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30 %，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（ ）
A．0.165B．0.16C．0.32D．0.33
【练习3-2】【多选题】如图所示的电路由，两个系统组成，其中M，N，P，Q，L是五个不同的元件，若元件M，N，P，Q，L出现故障的概率分别为，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．元件M，N均正常工作的概率为B．系统正常工作的概率为
C．系统正常工作的概率为 D．系统，均正常工作的概率为
题型四 随机事件的频率与概率
【例4-1】【多选题】下列说法不正确的是（ ）
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为
【例4-2】一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了1500辆汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有60辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率大约是______．
归纳总结：
【练习4-1】长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________．
【练习4-2】袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024 234 213 012 034 125 035 345 134 304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【完成课时作业（六十八）】
【课时作业（六十八）】
A组 础题巩固
1．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是（ ）
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈；
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈；
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%； D．以上说法都不对．
2．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56% C．46% D．42%
3．气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683 431 257 393 027 556 481
730 113 537 989 据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
4．甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ）
A．两人都做对的概率是0.72B．恰好有一人做对的概率是0.26
C．两人都做错的概率是0.15D．至少有一人做对的概率是0.98
5．甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，某系统由A，B两个零件组成，零件A中含1个元件，零件B中含2个元件，每个零件中的元件只要有一个能正常工作，该零件就能正常工作；两个零件都正常工作，该系统才能正常工作，每个元件能正常工作的概率都是，且各元件是否正常工作相互独立，则该系统能正常工作的概率为（ ） A． B． C． D．
7．【多选题】一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）A．事件发生的概率为B．事件与事件互斥
C．事件发生的概率为D．事件与事件相互独立
8．河流A与河流B是水库C的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库C就不缺水．根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.7和0.9，同时不缺水的概率是0.65．则水库C不缺水的概率为 ．
9．甲、乙两人组成“梦之队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为p．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．若“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为．
(1)求p的值； (2)求“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率．
B组 挑战自我
1．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．【多选题】甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，记事件“甲独立译出密码”，事件“乙独立译出密码”，则（ ）
A．与为相互独立事件B．与为对立事件
C．两人都译出密码的概率为D．恰有一人译出密码的概率为
3．【多选题】某游戏棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于4，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n站的概率为.则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市： 购买基金：

(1)当时，求的值； (2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围．定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B

并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当 且 ，则称此事件为事件A与事件B的
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B
A∩B＝∅，

投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率
第 6 课时 随机事件的概率
编写：廖云波
【回归教材】
1.样本点和样本空间
(1)我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点．
(2)全体样本点的集合称为试验E的样本空间，如果一个随机试验有n个可能的结果w1，w2，…，wn，
则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间．
2.概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
3.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
4.事件的关系与运算
5.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
【典例讲练】
题型一 有限样本空间与随机事件
【例1-1】在100件产品中，有93件一级品，7件二级品，则下列事件：
①在这100件产品中任意选出8件，全部是一级品．
②在这100件产品中任意选出8件，全部是二级品．
③在这100件产品中任意选出8件，不全是二级品．
④在这100件产品中任意选出8件，其中不是一级品的件数小于8．
其中______是必然事件，______是不可能事件，______是随机事件．（填序号）
【答案】 ③④ ② ①
【分析】根据二级品的件数，结合必然事件和随机事件以及不可能事件的概念，即可判断答案.
【详解】100件产品中，7件是二级品，现从中任意选出8件，当然不可能全是二级品，故②是不可能事件；
一级品至少有1件，最多就是8件，不是一级品的件数最多为7，小于8，故①是随机事件，
③④是必然事件；
故答案为：③④；②；①
【例1-2】已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
(3)
(4)得到的点是第三象限内的点.
【分析】（1）将样本点一一列出在花括号内可得样本空间；
（2）由样本空间可得样本点的个数；
（3）找出横纵坐标都大于的样本点即可；
（4）根据事件中样本点的坐标可得实际意义.
(1)
样本空间为：
(2)
由知这个试验样本点的总数为.
(3)
得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为.
(4)
事件表示得到的点是第三象限内的点.
【例1-3】已知不透明的袋中装有三个黑球（记为，和）、两个红球（记为和），从中不放回地依次随机抽取两球．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间；
(2)求抽到的两个球都是黑球的概率．
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）根据题意，列出样本空间所有可能的情况即可；
（2）列出抽到两个球都是黑球的所有可能情况，利用古典概型的概率公式计算即可．
(1)
试验的样本空间
；
(2)
设事件“抽到两个黑球”，则对于不放回简单随机抽样，
．
因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
因此．
所以抽到的两个球都是黑球的概率为
归纳总结：
【练习1-1】某学校有4名北京冬奥志愿者，其中2名志愿者（记为，）只参加语言服务，2名志愿者（记为，）只参加医疗服务. 现采用不放回简单随机抽样的方法，从这4名志愿者中抽取2人.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求抽取的2人中恰有一人参加语言服务的概率.
【答案】(1)答案见解析； (2).
【分析】（1）将基本事件列举在花括号内即可；
（2）列出2人中恰有一人参加语言服务包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
(1)这个试验的样本空间为
.
(2)设事件“抽取的2人中恰有一人参加语言服务”，
则包含的基本事件有共个，
所以.
题型二 随机事件间的关系
【例2-1】在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A={出现点数1}，B={出现点数3或4}，C={出现的点数是奇数}，D={出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求，，，，．
【答案】(1)答案见解析
(2)，{出现点数1，3或4}，{出现点数1，2，4或6}，{出现点数4}，{出现点数1，3，4或5}．
【分析】（1）写出基本事件{出现的点数i}，表示出题干中的4个事件，从中可以看出4个事件的关系；（2）在第一问的基础上求解事件的交与并.
(1)
在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作{出现的点数i}（其中，2，…，6）．则，，，．
事件A与事件B互斥，但不对立；
事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；
事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；
事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)
，{出现点数1，3或4}，
{出现点数1，2，4或6}，
{出现点数4}，
{出现点数1，3，4或5}．
【例2-2】某射手进行一次射击，可能命中0～10环中的一种，记“命中环数大于7环”为事件A，“命中环数为10环”为事件B，“命中环数小于6环”为事件C，“命中环数为6， 7， 8， 9， 10环”为事件D．判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件．
(1)A与B；
(2)A与C；
(3)B与C；
(4)C与D．
【答案】(1)A， B不是互斥事件
(2)是互斥事件；不是对立事件
(3)是互斥事件；不是对立事件
(4)是互斥事件；是对立事件
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐一判断即可.
(1)
由题意知Ω＝{0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10}， A＝{8， 9， 10}， B＝{10}， C＝{0， 1， 2， 3， 4， 5}， D＝{6， 7， 8， 9， 10}．
因为AB＝{10}≠∅，所以A， B不是互斥事件．
(2)
因为AC＝，所以A， C是互斥事件．又因为A＋C≠Ω，所以A， C不是对立事件．
(3)
因为BC＝，所以B， C是互斥事件．又因为B＋C≠Ω，所以B， C不是对立事件
(4)
因为CD＝，所以C， D是互斥事件．又因为C＋D＝Ω，所以C， D是对立事件．
归纳总结：
【练习2-1】设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件“中靶”，事件“击中环数大于5”，事件“击中环数大于1且小于6”，事件“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（ ）
A．B与C互斥B．B与C互为对立
C．A与D互为对立D．A与D互斥
【答案】A
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个分析判断即可
【详解】对于AB，事件和不可能同时发生，但一次射击中有可能击中环数为1，所以B与C互斥，不对立，所以A正确，B错误，
对于CD，事件A与D有可能同时发生，所以A与D既不互斥，也不对立，所以CD错误，
故选：A
【练习2-2】用数字1，2，3组成没有重复数字的三位数，则事件：“这个三位数是奇数”与事件B：“这个数小于213”（ ）
A．不是互斥事件B．是互斥但不对立事件 C．是对立事件D．
【答案】A
【分析】列举出全部基本事件，即可根据互斥和对立的定义判断，根据古典概型的公式即可求解概率.
【详解】用数字1，2，3组成没有重复数字的三位数有：共有6个，事件包含“”4个基本事件，事件包含的基本事件有“”，故事件中都有123，故不互斥，也不是对立，事件包含的基本事件是“123”，故，
故选：A
题型三 概率的基本性质
【例3-1】已知P(A)=0.4，P(B)=0.2.（1）如果B⊆A，则P(A∪B)=________，P(AB)=________；（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=________，P(AB)=________.
【答案】 0.4 0.2 0.6 0
【分析】（1）根据事件的包含关系计算概率；（2）根据互斥事件的定义计算概率．
【详解】（1）因为B⊆A，所以P(A∪B)=P(A)=0.4，P(AB)=P(B)=0.2.
（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6，P(AB)=0.
故答案为：0.4；0.2；0.6；0．
【例3-2】在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则两人中有人患感冒的概率是________.
【答案】
【分析】由两人中有人患感冒的对立事件为两人中没有人患感冒，故利用对立事件求解即可.
【详解】解：记事件：两人中有人患感冒，则：两人中没有人患感冒.
所以，
所以，
故答案为:.
归纳总结：
【练习3-1】甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30 %，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（ ）
A．0.165B．0.16C．0.32D．0.33
【答案】D
【分析】利用概率的定义求解.
【详解】解：由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，
取到优秀成绩的概率为，
故选：D
【练习3-2】【多选题】如图所示的电路由，两个系统组成，其中M，N，P，Q，L是五个不同的元件，若元件M，N，P，Q，L出现故障的概率分别为，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．元件M，N均正常工作的概率为B．系统正常工作的概率为
C．系统正常工作的概率为D．系统，均正常工作的概率为
【答案】BD
【分析】对于A，利用独立事件的概率公式求解即可，对于B，先求出系统不能正常工作的概率，然后利用对立事件的概率公式求解，对于C，先求出系统不能正常工作的概率，然后利用对立事件的概率公式求解，对于D，利用独立事件的概率公式求解即可，
【详解】设事件A，B，C，D，E分别表示M，N，P，Q，L元件出现故障，则，，，，所以元件M，N均正常工作的概率为，A错误，
系统正常工作的概率为，B正确；
系统正常工作的概率为，C错误；
系统，均正常工作的概率为，D正确.
故选：BD.
题型四 随机事件的频率与概率
【例4-1】【多选题】下列说法不正确的是（ ）
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为
【答案】ABC
【分析】根据概率和频率的概念即可判断答案.
【详解】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B是错的.频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确.
故选：ABC.
【例4-2】一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了1500辆汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有60辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率大约是______．
【答案】0.04##
【分析】由题中所给数据可算出答案.
【详解】因为公司收集了1500辆汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有60辆汽车的挡风玻璃破碎，
所以一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率大约是
故答案为：
归纳总结：
【练习4-1】长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________．
【答案】##0.1
【分析】设该校有a名同学，根据已知条件，求出每天玩手机不超过的学生的人数及其中近视的人数，再利用频率估计概率即可得答案．
【详解】解：设该校有a名同学，则约有0.3a的学生近视，约有0.4a的学生每天玩手机超过，
且每天玩手机超过2的学生中近视的有的学生，
所以有0.6a的学生每天玩手机不超过2且其中有的学生近视，
所以从每天玩手机不超过2的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为．
故答案为：．
【练习4-2】袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024 234 213 012 034 125 035 345 134 304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】A
【分析】求出频率，用频率估计摸到三个球都是蓝球的概率.
【详解】摸到三个球都是篮球的有234，345，估计摸到三个球都是蓝球的概率为.
故选：A
【完成课时作业（六十八）】
【课时作业（六十八）】
A组 础题巩固
1．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是（ ）
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈；
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈；
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%；
D．以上说法都不对．
【答案】C
【分析】根据概率的定义判断即可；
【详解】解：使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为，即使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是，故C正确；
如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，被治愈的人数理论预测值为人，不一定必有人被治愈，故A错误；
如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物被治愈的概率为，也可能不被治愈，故B错误；
故选：C
2．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62%B．56%
C．46%D．42%
【答案】C
【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.
【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，
则，，，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.
故选：C.
【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
3．气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683
431 257 393 027 556 481 730 113 537 989
据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】C
【分析】由随机数组确定表示降雨的随机数组后可得概率．
【详解】表示未来三天恰有一天降雨的有：925，815，683，257，027，481，730，537共8个，
概率为，
故选：C．
4．甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ）
A．两人都做对的概率是0.72B．恰好有一人做对的概率是0.26
C．两人都做错的概率是0.15D．至少有一人做对的概率是0.98
【答案】C
【分析】甲乙两人做题属于相互独立事件，根据独立事件的乘法公式求得两人都做对的概率和两人都做错的概率，判断A,C;根据互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做对的概率，判断B；至少有一人做对的概率等于1减去两人都做错的概率，判断D.
【详解】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，
故两人都做对的概率是 ，所以A 正确；
恰好有一人做对的概率是 ，故B正确；
两人都做错的概率是，故C错误；
至少有一人做对的概率是，故D正确，
故选：C
5．甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知数据直接计算可得.
【详解】由已知可得这家健身房的总好评率为.
故选：B.
6．如图，某系统由A，B两个零件组成，零件A中含1个元件，零件B中含2个元件，每个零件中的元件只要有一个能正常工作，该零件就能正常工作；两个零件都正常工作，该系统才能正常工作，每个元件能正常工作的概率都是，且各元件是否正常工作相互独立，则该系统能正常工作的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出零件和能正常工作的概率即得解.
【详解】解：由题得零件B不能正常工作的概率是，所以零件B能正常工作的概率是，零件A能正常工作的概率为 .
所以该系统能正常工作的概率为．
故选：B．
7．【多选题】一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件发生的概率为B．事件与事件互斥
C．事件发生的概率为D．事件与事件相互独立
【答案】AD
【分析】结合古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】抛掷该正四面体两次，基本事件有种，
依题意：事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，
所以, A选项正确.
若两次投掷向下的数字都为，，则事件同时发生，所以与不互斥，B选项错误.
事件表示：“第一次向下的数字为或，且两次向下的数字之和为奇数”，
包含的事件为：，共种，
所以事件发生的概率为.
事件表示：“第一次向下的数字为或，且两次向下的数字之和为偶数”，
包含的事件为：，共种，
所以事件发生的概率为.
事件包含的事件为，，共种，
所以，
所以，即事件与事件相互独立，所以D选项正确.
故选：AD
8．河流A与河流B是水库C的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库C就不缺水．根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.7和0.9，同时不缺水的概率是0.65．则水库C不缺水的概率为 ．
【答案】0.95
【分析】依据和事件的概率计算公式即可求得水库C不缺水的概率.
【详解】记“河流A不缺水”为事件A，
记“河流B不缺水”为事件B，
记“水库C不缺水”为事件C
则，，
故
即水库C不缺水的概率为0.95
9．甲、乙两人组成“梦之队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为p．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．若“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为．
(1)求p的值；
(2)求“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式，求解作答.
（2）将“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的事件分拆成第一轮猜对两个第二轮猜对一个的事件与第一轮猜对一个第二轮猜对两个的事件的和，再利用互斥事件、相互独立事件概率计算作答.
(1)
“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的事件是甲猜对的事件与乙猜对的事件的和，它们互斥，
于是得，解得，
所以.
(2)
由（1）知，“梦之队”每一轮活动中猜对1个谜语的事件概率为，猜对两个谜语的事件概率为，
“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的事件是第一轮猜对两个第二轮猜对一个事件A与第一轮猜对一个第二轮猜对两个的事件B的和，它们互斥，
，，
所以“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率为.
B组 挑战自我
1．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，计算判断A，B，D；分析事件与所含事件判断C作答.
【详解】依题意，，，而，A不正确；
，，B不正确；
事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件和，
事件是必然事件，因此，C正确；
因，，则，即D不正确.
故选：C
2．【多选题】甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，记事件“甲独立译出密码”，事件“乙独立译出密码”，则（ ）
A．与为相互独立事件B．与为对立事件
C．两人都译出密码的概率为D．恰有一人译出密码的概率为
【答案】ACD
【分析】根据相互独立事件的概念判断A、B，再根据独立事件与互斥事件的概率公式计算即可判断C、D.
【详解】因为事件是否发生对事件发生的概率没有影响，故与为相互独立事件，故A正确，B错误；
记事件为“两人都译出密码”，则，故C正确；
记事件为“恰有一人译出密码”，
则，故D正确.
故选：ACD.
3．【多选题】某游戏棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于4，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n站的概率为.则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】依题意，对于A，求出棋子向前跳出一站的概率即可；对于B，求出棋子向前跳出一站，再跳出一站到达第2站，或一次跳出两站到达第2站的概率即可；对于C，当时，棋子要到第站，有两种情况：由第站跳出一站到第站，其概率为，由第站跳出站到第站，其概率为，进而得到结论；对于D，根据C选项，分别求出棋子出现在第站、第站的概率，然后进行比较得到结论.
【详解】对于A，游戏过程中棋子出现在第1站，即棋子向前跳出一站，
此时掷出骰子向上的点数不大于4，其概率，A正确；
对于B，游戏过程中棋子出现在第2站，
即棋子向前跳出一站，再跳出一站到达第2站；或一次跳出两站到达第2站，
其概率，B错误；
对于C，当时，棋子要到第站，有两种情况：
由第站跳出一站到第站，其概率为，
由第站跳出站到第站，其概率为，
，C正确；
对于D，根据C选项，棋子跳到第站的概率为，
由于跳到第站时，自动停止游戏，则，，D正确.
故选：ACD.
4．现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
购买基金：
(1)当时，求的值；
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据随机事件概率的性质，由可得出答案；
（2）先设出各个事件后得出，由题意得，且，从而解出p的取值范围。
（1）解∵“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴．又，∴．
（2）记事件为“甲投资股市且获利”，事件为“乙购买基金且获利”，事件为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，则，且，相互独立．由题意可知，．∴．∵，∴．又，，∴．∴．
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，
P(A)＋P(B)＝1
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率