2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 07-第四节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 07-第四节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（教用），共15页。试卷主要包含了了解两个事件相互独立的含义，会利用全概率公式计算概率，*贝叶斯公式，956B，故选B等内容，欢迎下载使用。
第四节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
课标要求
1.了解两个事件相互独立的含义.
2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系.
3.会利用全概率公式计算概率.
回归教材 强基础
1．相互独立事件
（1）概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
（2）性质：若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立.
【答案】P(A)P(B)
2．条件概率
（1）概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
（2）两个公式
(i)利用古典概型：P(B|A)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
(ii)概率的乘法公式：P(AB)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (P(A)>0).
（3）性质:条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则
(i)P(Ω|A)=1；
(ii)如果B和C是两个互斥事件，那么P(B∪C|A)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
(iii)设B和B互为对立事件，则P(B|A)=1−P(B|A).
【答案】P(AB)P(A)； n(AB)n(A)； P(A)⋅P(B|A)； P(B|A)+P(C|A)
教材挖掘（人教A版选择性必修第三册P53习题T10）
概率乘法公式的推广
证明：当P(AB)>0时，P(ABC)=P(A)P(B|A)⋅P(C|AB).据此你能发现计算P(A1A2⋯An)的公式吗？
由此归纳：当P(A1A2A3⋯An−1)>0时，P(A1A2A3⋯An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)⋯P(An|A1A2A3⋯An−1).
3．全概率公式
一般地，设A1，A2，⋯ ，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪An=Ω ，且P(Ai)>0，i=1,2，⋯ ，n，则对任意的事件B⊆Ω ，有P(B)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，我们称这个公式为全概率公式.
【答案】∑ni=1P(Ai)⋅P(B∣Ai)
4.*贝叶斯公式
设A1，A2，⋯ ，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪An=Ω ，且P(Ai)>0，i=1，2，⋯ ，n，则对任意的事件B⊆Ω ，P(B)>0，有P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)P(B)=P(Ai)P(B|Ai)∑nk=1P(Ak)P(B|Ak)，i=1,2,⋯ ,n.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 三个事件A,B,C两两独立,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C).（ ）
（2） 条件概率中P(B|A)与P(A|B)的本质相同.（ ）
（3） 若事件A，B相互独立，则P(B|A)=P(B).（ ）
（4） 若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω ，都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） √
2．已知P(B|A)=12，P(AB)=38，则P(A)=（ ）
A. 316B. 1316C. 34D. 14
【答案】C
【解析】由P(AB)=P(B|A)P(A)，可得P(A)=P(AB)P(B|A)=34.故选C.
3．（人教A版必修第二册P253习题T1改编）掷两枚质地均匀的正方体骰子，设A=“第一枚出现的点数小于3”，B=“第二枚出现的点数大于4”，则A与B的关系为（ ）
A. 互斥B. 互为对立C. 相互独立D. 相等
【答案】C
【解析】掷两枚质地均匀的正方体骰子共有36个基本事件，
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}，
B={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)}，
AB={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)}，
所以P(A)=1236=13,P(B)=1236=13,P(AB)=436=19,所以P(AB)=P(A)P(B)，故A,B相互独立.故选C.
4．（人教A版选择性必修第三册P52练习T2改编）两批同种规格的产品，第一批占40%，合格品率为95%；第二批占60%，合格品率为96%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率为（ ）
A. 0.956B. 0.966C. 0.044D. 0.036
【答案】A
【解析】设B=“取到的产品是合格品”，Ai=“取到的产品来自第i批”(i=1,2),
则P(A1)=0.4，P(B|A1)=0.95，P(A2)=0.6，P(B|A2)=0.96，
由全概率公式，可得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.95+0.6×0.96=0.956，
所以这件产品是合格品的概率为0.956.
突破核心 提能力
考点一 相互独立事件
例1 甲、乙两人独立地破译一份密码,若甲能破译的概率是14,乙能破译的概率是23,则甲、乙两人中至少有一人能破译这份密码的概率是（ ）
A. 1112B. 34C. 712D. 16
【答案】B
【解析】解法一：设A=“甲能破译这份密码”,B=“乙能破译这份密码”,M=“甲、乙两人中至少有一人能破译这份密码”,则M=AB∪AB∪AB,其中事件A,B相互独立,事件AB,AB,AB两两互斥,故P(M)=P(AB∪AB∪AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=14×(1−23)+(1−14)×23+14×23=34.
解法二：“甲、乙两人中至少有一人能破译这份密码”的对立事件为“甲、乙两人都不能破译这份密码”,故所求概率P=1−(1−14)×(1−23)=34.
例2 （2021·新高考Ⅰ卷·8，5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】依题意，有放回地随机取两次，共有36种不同结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
其中P（甲）=636=16，P（乙）=636=16，P（丙）=536，P（丁）=636=16，
丁事件包含(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，共6个基本事件.
丙事件包含(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)，共5个基本事件.
易知“甲、丙同时发生”的基本事件有0个，“丙、丁同时发生”的基本事件有0个，“乙、丙同时发生”的基本事件为(6,2)，共1个，∴P（乙丙）=136，
∵P（乙）⋅P（丙）=16×536≠136，∴ 乙与丙不相互独立.
∵ “甲、丁同时发生”的基本事件为(1,6)，共1个，∴P（甲丁）=136，∵P（甲）⋅P（丁）=16×16=136，∴P（甲丁）=P（甲）⋅P（丁），∴ 甲与丁相互独立，故选B.
例3 （2023· 新课标Ⅱ卷·12，5分）多选 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为α(0