高考数学(理数)一轮复习学案10．3《随机事件的概率》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案10．3《随机事件的概率》(含详解)，共8页。

10．3　随机事件的概率


1．随机事件和确定事件
(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．
(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．
必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件S的确定事件．
(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的__________．
(4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．
2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的________，称事件A出现的比例fn(A)＝____________为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的____________fn(A)稳定在某个常数上，把这个____________记作P(A)，称为事件A的____________．
(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为__________．
3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)

定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B______事件A(或称事件A包含于事件B)
____________
相等关系
若B⊇A且A⊇B
____________
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生______事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件
A∪B
(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件
A∩B
(或AB)
互斥事件
若______为不可能事件，则事件A与事件B互斥
A∩B＝______
对立事件
若________为不可能事件，________为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝______
P(A∪B)
＝P(A)＋P(B)
＝________
拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：____________．
(2)必然事件的概率P(E)＝____________．
(3)不可能事件的概率P(F)＝____________．
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝___________________________________________．
推广：如果事件A1，A2，…，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件A1＋A2＋…＋An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An)＝___________________________________．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝________________________________________．

自查自纠：
1．(1)必然事件　(2)不可能事件　(3)随机事件
(4)确定事件　随机事件
2．(1)频数　　(2)频率　常数　概率
(3)小概率事件
3．包含　B⊇A　A＝B　或　且　A∩B　∅　A∩B A∪B　∅　1
4．(1)0≤P(A)≤1　(2)1　(3)0　(4)①P(A)＋P(B)　P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)　②1－P(B)


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生” (　　)
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
解：“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．故选C．
从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是 (　　)
A．至少有一个是红球，至少有一个是绿球
B．恰有一个红球，恰有两个绿球
C．至少有一个红球，都是红球
D．至少有一个红球，都是绿球
解：选项A，C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选项B中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选项D中的两事件是对立事件．故选B．
给出下列三个命题，其中正确命题的个数是
(　　)
①设有一大批产品，已知其次品率为0．1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0 B．1 C．2 D．3
解：要明确在试验中，虽然随机事件发生的频率不是常数，但它具有稳定性，且总是接近于某个常数，在其附近波动，这个常数叫做概率，所以随机事件发生的频率和它的概率是不一样的．由此可知①②③都是不正确的．故选A．
()若某群体中的成员只用现金支付的概率为0．45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0．15，则不用现金支付的概率为_______________．
解：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0．45，P(C)＝0．15，所以P(B)＝0．4．故填0．4．
()为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_______________．(结果用最简分数表示)
解：所有可能的种法共有6种，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为．故填．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　随机事件的概念
　同时掷两颗骰子一次，
(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？
(2)“点数之和在2～13之间”是什么事件？其概率是多少？
(3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？
解：(1)由于点数最大是6，和最大是12，不可能得13，故此事件是不可能事件，其概率为0．
(2)由于点数之和最小是2，最大是12，在2～13之间，它是必然事件，其概率为1．
(3)由(2)知，和是7是有可能的，此事件是随机事件．事件“点数之和是7”包含的基本事件有{1，6}，{2，5}，{3，4}，{4，3}，{5，2}，{6，1}共6个，因此该事件的概率P＝＝．

点　拨：
明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系．判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件S下事件发生与否是对应于条件S而言的．
　　
　一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球，
(1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？
(2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？
(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为0．
(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是．
(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为1．
类型二　对立与互斥的概念
　 (1)袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，则
①恰有1个白球和全是白球；
②至少有1个白球和全是黑球；
③至少有1个白球和至少有2个白球；
④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是对立事件的为 (　　)
A．① B．② C．③ D．④
解：至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，故②中两事件是对立事件．③④不是互斥事件，①是互斥事件，但不是对立事件，因此是对立事件的只有②．故选B．
(2)在5张电话卡中，有3张Y类卡和2张L类卡，从中任取2张，若事件“2张全是Y类卡”的概率是，那么概率为的事件是 (　　)
A．至多有1张Y类卡
B．恰有1张Y类卡
C．都不是Y类卡
D．至少有1张Y类卡
解：至多有1张Y类卡包含“1张Y类卡，1张L类卡”、“2张全是L类卡”两个事件，它是“2张全是Y类卡”的对立事件，因此“至多有1张Y类卡”的概率为．故选A．

点　拨：
判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件．判断对立与互斥除了用定义外，也可以利用集合的观点来判断．注意：①事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的；②对立是针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系．
　　
　()从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是 (　　)
A．① B．②④ C．③ D．①③
解：从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选C．
类型三　互斥与对立的运用(初步)
　()经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下表，求：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0．1
0．16
0．3
0．3
0．1
0．04
(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0．1＋0．16＋0．3＝0．56．
(2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0．3＋0．1＋0．04＝0．44．
解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0．44．

点　拨：
解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：①直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；②间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－求解，即用正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法往往显得较简便．
　　
　某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解：(1)P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝．
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C．
因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝．
故1张奖券的中奖概率为．
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－(＋)＝．
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为．


1．概率与频率的关系
(1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的．
(2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关．
(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频率的稳定值．
2．互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件是两个不可能同时发生的事件；
②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生．
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B，
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I(全集)，也即A＝∁IB或B＝∁IA；
③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B．
3．求复杂互斥事件概率的方法
一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是 (　　)
A．互斥事件但非对立事件
B．对立事件但非互斥事件
C．互斥事件也是对立事件
D．以上都不对
解：由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．故选A．
2．()某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为 (　　)
A．0．95 B．0．97 C．0．92 D．0．08
解：记“抽检的产品是甲级品”为事件A，“是乙级品”为事件B，“是丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0．92．故选C．
3．()在“二十四节气入选非遗”宣传活动中，从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律，那么甲同学被选中的概率为 (　　)
A． 1 B． C． D．
解：从甲、乙、丙三位同学中任选两人有以下三种情况：(甲，乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，其中含有甲的有两种，所以甲同学被选中的概率为，故选D．
4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
(　　)
A． B． C． D．
解：每个同学参加的情形都有3种，故两个同学各自参加一组的情形有3×3＝9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为P＝＝．故选A．
5．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A∪发生的概率为 (　　)
A． B． C． D．
解：掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以＝1－ P(B)＝1－＝．因为表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A∪)＝ P(A)＋＝＋＝．故选C．
6．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是 (　　)
A． B．
C． D．
解：由题意可知
⇒⇒⇒ 故选D．
7．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0．64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为______________．
解：设P(A)＝x，则P(B)＝3x，又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0．64，所以x＝0．16，则P(A)＝0．16．故填0．16．
8．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．

解：“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P＝＝．
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．
故他属于不超过2个小组的概率是
P＝1－＝．
故填；．
9．抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P(A∪B)．
解法一：因为A∪B的意义是事件A发生或事件B发生，所以一次试验中只要出现1，2，3，5四个可能结果之一时，A∪B就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P(A∪B)＝＝．
解法二：记事件C为“朝上一面的数为2”，则A∪B＝A∪C，且A与C互斥．又因为P(C)＝，P(A)＝，所以P(A∪B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝ ＋＝．
解法三：记事件D为“朝上一面的数为4或6”，则事件D发生时，事件A和事件B都不发生，即事件A∪B不发生．又事件A∪B发生即事件A发生或事件B发生时，事件D不发生，所以事件A∪B与事件D为对立事件．因为P(D)＝＝，所以P(A∪B)＝1－P(D)＝1－＝．
10．一盒中装有12个球，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1个球，求：
(1)取出1个球是红球或黑球的概率；
(2)取出1个球是红球、黑球或白球的概率．
解：记事件A1＝{任取1个球为红球}，A2＝{任取1个球为黑球}，A3＝{任取1个球为白球}，A4＝{任取1个球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝．
方法一：(利用互斥事件的概率公式求概率)
根据题意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，可知，
(1)取出1个球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝．
(2)取出1个球为红球、黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝．
方法二：(利用对立事件求概率)
(1)由方法一知，取出1个球为红球或黑球的对立事件为取出1个球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4．
所以取出1个球是红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝．
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝．
11．()某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
解：(1)设事件A表示“赔付金额为3 000元”，事件B表示“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0．15，P(B)＝＝0．12．由表格知，赔付金额大于投保金额即事件(A＋B)发生，且A、B互斥．所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0．15＋0．12＝0．27．故赔付金额大于投保金额的概率为0．27．
(2)设事件C表示“投保车辆中新司机获赔 4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0．1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0．2×120＝24(辆)．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0．24．因此，由频率估计概率得P(C)＝0．24．
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数/人
x
30
25
y
10
结算时间/
(分钟/人)
1
1．5
2
2．5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1．9(分钟)．
(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1．5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝．
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，
所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝．
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为．