2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 008-第四节 复数（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 008-第四节 复数（教用），共15页。试卷主要包含了通过方程的解，认识复数，设复数z在复平面内对应的点为Z等内容，欢迎下载使用。
第四节 复数
课标要求
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
回归教材 强基础
1．复数的有关概念
（1）复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中实部是_ _ _ _ ，虚部是_ _ _ _ ，i为虚数单位.
（2）复数的分类
复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下：实数(b=0),虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).
（3）复数相等
a+bi=c+di⇔ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (a,b,c,d∈R).
（4）共轭复数
a+bi与c+di互为共轭复数⇔ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (a,b,c,d∈R).
（5）复数的模
向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (a,b∈R).
【答案】a； b； a=c且b=d； a=c且b=−d； a2+b2
2.复数的几何意义
（1）复数z=a+bi(a,b∈R)⇌一一对应复平面内的点Z(a,b).
（2）复数z=a+bi(a,b∈R)⇌一一对应平面向量OZ.
3．复数的四则运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则
①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；
②减法：z1−z2=(a+bi)−(c+di)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
③乘法：z1⋅z2=(a+bi)(c+di)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
④除法：z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i(c+di≠0).
（2）几何意义：复数的加、减法可按向量的加、减法进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ=OZ1+OZ2，Z1Z2=OZ2−OZ1.
【答案】(a−c)+(b−d)i； (ac−bd)+(ad+bc)i
常考结论
1.(1±i)2=±2i;1i=−i；1+i1−i=i;1−i1+i=−i.
2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=−1,i4n+3=−i;i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
3.设z,z1,z2都是复数，n∈N∗.
（1）z⋅z=|z|2=|z|2；
（2）|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|,|z1z2|=|z1||z2|(|z2|≠0)；
（3）|zn|=|z|n；
（4）|z1+z2|2+|z1−z2|2=2|z1|2+2|z2|2.
4.设复数z在复平面内对应的点为Z.
（1）若a≤|z|≤b，则点Z的集合是以原点O为圆心，分别以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
（2）若|z−(a+bi)|=r(a,b∈R,r>0)，则点Z的集合是以(a,b)为圆心，r为半径的圆.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 方程x2+x+1=0没有解.（ ）
（2） 复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.（ ）
（3） 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.（ ）
（4） 若复数z满足|z|=1，则z=±1.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．（人教A版必修第二册P69例1改编）若复数z=(x2−1)+(x−1)i为纯虚数，则实数x=（ ）
A. −1B. 0C. 1D. −1或1
【答案】A
【解析】因为z为纯虚数，所以x2−1=0,x−1≠0,所以x=−1.
3．（人教A版必修第二册P80习题T2改编）在复平面内，向量AB对应的复数是2+i，向量CB对应的复数是−1−3i，则向量CA对应的复数是（ ）
A. 1−2iB. −1+2iC. 3+4iD. −3−4i
【答案】D
【解析】因为CA=CB−AB，所以由复数的几何意义可知向量CA对应的复数是(−1−3i)−(2+i)=−3−4i.
4．［人教A版必修第二册P94复习参考题T1（2）改编］复数5i+2的共轭复数是_ _ _ _ _ _ .
【答案】2+i
【解析】5i+2=5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i，故其共轭复数是2+i.
突破核心 提能力
考点一 复数的概念
例1 （2025· 全国Ⅰ卷·1,5分）(1+5i)i的虚部为（ ）
A. −1B. 0C. 1D. 6
【答案】C
【解析】(1+5i)i=i+5i2=i−5,所以虚部为1，故选C.
例2 （2024· 新课标Ⅱ卷·1,5分）已知z=−1−i，则|z|=（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 2
【答案】C
【解析】∵z=−1−i,∴|z|=(−1)2+(−1)2=2.故选C.
例3 （2022·浙江卷·2,4分）已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位)，则（ ）
A. a=1,b=−3B. a=−1,b=3
C. a=−1,b=−3D. a=1,b=3
【答案】B
【解析】由题意得，a+3i=−1+bi，又a,b∈R，所以a=−1,b=3.故选B.
例4 已知a∈R,i为虚数单位，若(a2−4a+3)+(a−1)i为纯虚数，则a=（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1或3
【答案】C
【解析】由题意得a2−4a+3=0,a−1≠0⇒a=3.
考点二 复数的四则运算
例5 （2025·北京卷·2,4分）已知复数z满足i⋅z+2=2i,则|z|=（ ）
A. 2B. 22C. 4D. 8
【答案】B
【解析】z=2i−2i=(2i−2)(−i)i⋅(−i)=2+2i,故|z|=22+22=22,故选B.
例6 （2025·全国Ⅱ卷·2，5分）已知z=1+i,则1z−1=（ ）
A. −iB. iC. −1D. 1
【答案】A
【解析】因为z=1+i,所以1z−1=1i=−i,故选A.
例7 ［2023·全国甲卷（理）·2，5分］设a∈R,(a+i)⋅(1−ai)=2，则a=（ ）
A. −2B. −1C. 1D. 2
【答案】C
【解析】∵(a+i)(1−ai)=2,∴a−a2i+i−ai2=2,∴2a+(1−a2)i=2,
∴2a=2,1−a2=0,∴a=1.
故选C.
归纳总结
1.复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算.
2.复数的除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数.
考点三 复数的几何意义
例8 （2023· 新课标Ⅱ卷·1，5分）在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】(1+3i)(3−i)=6+8i，故该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限.故选A.
例9 （2025·湖南长沙三模）在复平面内，复数z1对应的点与复数z2=−3+i1−2i对应的点关于实轴对称，则z1=（ ）
A. 1+iB. −1−iC. −1+iD. 1−i
【答案】C
【解析】因为z2=−3+i1−2i=(−3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−5−5i5=−1−i，z1与z2对应的点关于实轴对称，所以z1=−1+i.
例10 已知i是虚数单位，复数z满足|z−i|=1，则|z−3|的最小值为（ ）
A. 3−1B. 1C. 3+1D. 3
【答案】B
【解析】|z−i|=1的几何意义是在复平面内复数z对应的点Z到点A(0,1)的距离为1，即点Z在以点A(0,1)为圆心，1为半径的圆上，|z−3|的几何意义是点Z到点B(3,0)的距离.
连接AB,易知|z−3|取得最小值时，Z为线段AB与圆的交点，故|z−3|min=|AB|−1=2−1=1.故选B.
归纳总结
由于复数、点、向量之间有一一对应的关系，所以可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题更加直观.