2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 11-主题综合 概率与统计中的创新题型（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 11-主题综合 概率与统计中的创新题型（教用），共15页。试卷主要包含了新定义题型，知识交汇题型等内容，欢迎下载使用。
有关概率、统计与其他知识交汇的题目、新定义题目是近几年高考的热点内容，通过综合运用函数、数列、新定义等知识解决概率与统计的实际问题，突出知识间的综合应用.
题型一 新定义题型
例1 （2025·湖北襄阳五中模拟）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标(a1,a2,a3)表示，其中ai∈{0,1},i=1,2,3，而在n维空间中(n≥2,n∈N)，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标(a1,a2,a3,⋯,an)，其中ai∈{0,1}(1≤i≤n,i∈N).现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为点(a1,a2,a3,⋯,an)与(b1,b2,b3,⋯,bn)的坐标差的绝对值之和，即|a1−b1|+|a2−b2|+|a3−b3|+⋯+|an−bn|.回答下列问题：
（1） 求出n维“立方体”的顶点数；
（2） 在n维“立方体”的顶点中任取两个，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离.
① 求X的分布列与期望；
② 求X的方差.
【解析】
（1） 在n维坐标(a1,a2,a3,⋯,an)中，ai∈{0,1}(1≤i≤n,i∈N)，
所以共有2n个不同的坐标，即n维“立方体”共有2n个顶点.
（2） ① 当X=k(1≤k≤n,k∈Z)时，在坐标(a1,a2,a3,⋯,an)与(b1,b2,b3,⋯,bn)中有k个坐标值不同，剩下(n−k)个坐标值相同，此时对应的情况有Cnk⋅2n−1种，所以P(X=k)=Cnk⋅2n−1C2n2=Cnk2n−1，
则X的分布列为
所以E(X)=1⋅Cn12n−1+2⋅Cn22n−1+⋯+n⋅Cnn2n−1，
利用倒序相加法得2E(X)=n2n−1(Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn−1+Cnn)=n⋅2n2n−1，
所以E(X)=2n−1⋅n2n−1.
② D(X)=E(X2)−(E(X))2=−(E(X))2+Cn12n−1+4Cn22n−1+⋯+n2Cnn2n−1.
设(1+x)n=Cn0+xCn1+x2Cn2+x3Cn3+⋯+xnCnn，
两边求导得n(1+x)n−1=Cn1+2xCn2+3x2Cn3+⋯+nxn−1Cnn，
两边同乘x后得nx(1+x)n−1=xCn1+2x2Cn2+3x3Cn3+⋯+nxnCnn，
两边求导得n(1+x)n−2(1+nx)=Cn1+22xCn2+32x2Cn3+⋯+n2xn−1Cnn，
令x=1，得Cn1+22Cn2+32Cn3+⋯+n2Cnn=n(n+1)⋅2n−2，
所以D(X)=−(E(X))2+n(n+1)⋅2n−22n−1=−(2n−1⋅n2n−1)2+n(n+1)⋅2n−22n−1=n⋅2n−2(2n−n−1)(2n−1)2.
例2 （2025·福建厦门质检）设随机变量X的概率密度函数为p(x;θ)（当X为离散型随机变量时，p(x;θ)为X=x的概率），其中θ 为未知参数，极大似然法是求未知参数θ 的一种方法.在n次随机试验中，随机变量X的观测值分别为x1，x2，⋯ ，xn，定义L(θ)=p(x1;θ)p(x2;θ)⋯p(xn;θ)为似然函数.若θ=θ时，L(θ)取得最大值，则称θ为参数θ 的极大似然估计值.
（1） 若随机变量X的分布列为
其中0