2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 012-第八节 对数函数（教用）

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第八节 对数函数
课标要求
1.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
2.知道对数函数y=lgax(a>0，且a≠1) 与指数函数y=ax(a>0,且a≠1) 互为反函数.
回归教材 强基础
1.对数函数的概念
函数y=lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞).
2．对数函数y=lgax(a>0 ，且a≠1)的图象与性质
【答案】减； 增
点拨（1）当对数函数y=lgax(a>0,且a≠1) 的底数a 的大小不确定时，需分a>1 和00，且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y=x对称.
常考结论
对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y=1，该直线与四个函数图象的交点的横坐标为相应的对数函数的底数,故0y>x.
综上，选项B不可能.故选B.
解法二：令2+lg2x=3+lg3y=5+lg5z=t，
当t=3时，x=2，y=1，z=125，则x>y>z，选项A成立；
当t=5时，x=8，y=9，z=1，则y>x>z，选项C成立；
当t=8时，x=64，y=243，z=125，则y>z>x，选项D成立.故选B.
归纳总结
比较对数大小的方法
角度2 解简单的对数不等式
例5 不等式lg2(2−x)≥−1的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(−∞,32]
【解析】不等式lg2(2−x)≥−1=lg212，所以2−x≥12，
所以x≤32，不等式的解集为(−∞,32].
变式．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(lg12(2x−5))>f(lg29)的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(52,239)∪(7,+∞)
【解析】由函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，函数f(x)单调递减，
得当x>0时，函数f(x)单调递增，
因为f(lg12(2x−5))>f(lg29)，
所以|lg12(2x−5)|>|lg29|，
即|−lg2(2x−5)|>lg29，
即lg2(2x−5)>lg29或lg2(2x−5)9或00.
对于A选项，当a=−6时，μ(x)=2x2−4x−6,μ(x)>0⇒x3，∴f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(3,+∞)，μ(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，根据复合函数的单调性可知，f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，故A正确.
对于B选项，当a=6时，μ(x)=2x2−4x+6,μ(x)>0恒成立，∴f(x)的定义域为R，又μ(x)=2x2−4x+6=2(x−1)2+4，∴μ(x)的值域为[4,+∞)，又lg124=−2，∴f(x)的值域为(−∞,−2]，故B错误.
对于C选项，∵f(x)的值域为R，∴ 内层函数μ(x)的值域包含所有的正实数，即判别式(−4)2−4×2×a≥0，解得a≤2，故C错误.
对于D选项，∵μ(x)=2x2−4x+a的图象关于直线x=1对称，且f(x)=lg12μ(x)，∴ 函数f(x)的图象也关于直线x=1对称，故D正确.故选AD.
变式．多选 已知函数f(x)=lg122x+1|2x−1|，则下列说法正确的是（ ）
A. f(x)的定义域为R
B. f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，单调递减区间为(−∞,0)
C. f(x)的值域为(−∞,−1)
D. 若f(a)>lg213，则a的取值范围为(−∞,−1)∪(1,+∞)
【答案】BD
【解析】对于A选项，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故A选项错误；
对于B选项，当x>0时，f(x)=lg22x−12x+1=lg22x+1−22x+1=lg2(1−22x+1)，
由y=1−22x+1在(0,+∞)上单调递增，y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，得f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，单调递减区间为(−∞,0)，故B选项正确；
对于C选项，当x>0时，由2x+1>2，得0