2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 042-主题综合 函数中的创新题型（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 042-主题综合 函数中的创新题型（教用），共11页。试卷主要包含了新定义题型，知识交汇题型等内容，欢迎下载使用。
从高考命题的趋势来看，函数中的创新题型逐渐成为高考中的热点与难点，一般作为压轴题出现.这类题目的综合性强，难度大，并且背景新颖.其求解核心虽仍然依托函数、导数、数列等基础知识，但需要在深入理解函数本质的基础上，能够灵活地运用函数、导数、数列中的思想与方法解决问题，要善于将不同知识板块的内容与方法联系起来，借助数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，通过创新思维解决问题.
题型一 新定义题型
例1 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若函数f(x)的定义域为R，且不等式f(x)>f′(x)对任意x∈R成立，则称函数f(x)是“超导函数”.
（1） 判断f(x)=ex+1是不是“超导函数”，并说明理由；
（2） 若函数g(x)与ℎ(x)都是“超导函数”，且对任意x∈R，都有ℎ′(x)>0，g′(x)ex=f′(x)，
故f(x)是“超导函数”.
（2） 证明：易知函数g(x)与ℎ(x)的定义域均为R,
因为F(x)=g(x)ℎ(x)，所以F(x)的定义域为R,
F′(x)=g′(x)ℎ(x)+g(x)ℎ′(x).
则F(x)−F′(x)=g(x)ℎ(x)−g′(x)ℎ(x)−g(x)ℎ′(x)=[g(x)−g′(x)][ℎ(x)−ℎ′(x)]−g′(x)ℎ′(x)，
由于函数g(x)与ℎ(x)都是“超导函数”，所以g(x)−g′(x)>0，ℎ(x)−ℎ′(x)>0，
又对任意x∈R，都有ℎ′(x)>0，g′(x)F′(x)，
所以函数F(x)是“超导函数”.
（3） 由于φ(x)是“超导函数”，所以对任意x∈R，φ(x)>φ′(x).
令u(x)=φ(x)ex，
则u′(x)=−φ(x)−φ′(x)ex