2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 011-第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 011-第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系（教用），共15页。试卷主要包含了证明点共线的两种方法等内容，欢迎下载使用。
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求
1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解四个基本事实和一个定理、三个推论，并能运用其判断有关命题的真假，解决一些简单的证明问题.
回归教材 强基础
1.平面的基本性质
点拨 三点不一定能确定一个平面.当三点共线时,过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面.
2.三个推论
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”,可得以下推论：
3．空间中的位置关系
【答案】无数个； 没有
4．基本事实4和等角定理
（1）基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
（2）等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】相等或互补
5．异面直线所成的角
（1）定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O分别作直线a′//a,b′//b,把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
（2）取值范围:_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(0,π2]
常考结论
1.判定异面直线的一个定理
与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线，如图所示，直线AP与l是异面直线.
2.唯一性定理
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
（3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
（4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 若平面α ，β 有一个公共点A，则α ,β 相交于过点A的任意一条直线.（ ）
（2） 两两相交的三条直线一定共面.（ ）
（3） 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合.（ ）
（4） 分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） ×
2．（人教A版必修第二册P128练习T2改编）下列命题正确的是（ ）
A. 空间中任意三个点确定一个平面
B. 一个点和一条直线确定一个平面
C. 平面外的一条直线与平面内的一条直线是异面直线
D. 两两平行的三条直线确定一个或三个平面
【答案】D
【解析】不在一条直线上的三个点才能确定一个平面，A错误；只有点在直线外时二者才能确定一个平面，B错误；平面外的一条直线与平面内的一条直线可能平行、相交、异面，C错误.故选D.
3．（人教A版必修第二册P131练习T4改编）已知平面α//平面β ，直线a//平面α ，直线b//平面β ，则a与b的位置关系可能是（ ）
A. 平行或相交B. 相交或异面
C. 平行或异面D. 平行、相交或异面
【答案】D
4．易错 如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1的所有棱所在的直线中，与直线AA1异面的有（ ）
A. 4条B. 5条C. 6条D. 7条
【答案】A
【解析】观察题图可知，与直线AA1异面的直线有BC,CD,B1C1,C1D1,共4条，故选A.
易错分析
易把直线AA1,CC1看作异面直线而致误.
突破核心 提能力
考点一 平面的基本性质及其应用
例1 如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点.
（1） 求证：E，C，D1，F四点共面；
（2） 求证：直线CE，D1F，DA相交于一点;
（3） 若平面BB1D1D与A1C交于点M,求证：B，M，D1三点共线.
【答案】
（1） 证明 连接CD1，EF，A1B，
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF//A1B，且EF=12A1B.
又∵A1D1//BC,A1D1=BC,
∴ 四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B//CD1,∴EF//CD1,
∴E，C，D1，F四点共面.
（2） 由（1）知EF//CD1，且EF=12CD1,∴ 四边形CD1FE是梯形，
∴ 直线CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，
∵CE⊂ 平面ABCD，D1F⊂ 平面A1ADD1，∴P∈ 平面ABCD，且P∈ 平面A1ADD1.
又∵ 平面ABCD∩ 平面A1ADD1=DA，
∴P∈DA,
∴ 直线CE，D1F，DA相交于一点.
（3） 连接BD1，
∵BD1与A1C均为正方体ABCD−A1B1C1D1的体对角线，
∴BD1与A1C相交，设BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1三点共线，
∵BD1⊂ 平面BB1D1D，∴A1C与平面BB1D1D的交点和A1C与BD1的交点重合，即M与O重合，故B，M，D1三点共线.
归纳总结
1.证明线或点共面的两种方法
（1）首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面,然后证其余的线（或点）在这个平面内.
（2）首先将所有条件分为几部分,然后分别确定平面,再证这些平面重合.
2.证明线共点的常用方法
先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
3.证明点共线的两种方法
（1）先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上.
（2）可证明这些点都是某两个不重合的平面的公共点，从而依据基本事实3证明它们都在这两个平面的交线上.
考点二 空间位置关系的判定
例2 多选 下列推断中，正确的是（ ）
A. 若M∈α ，M∈β ，α∩β=l，则M∈l
B. 若α∩β=l，a⊂α ，b⊂β ，a∩b=A，则A∈l
C. l⊄α ，A∈l⇒A∉α
D. A，B，C∈α ，A，B，C∈β ，且A，B，C不共线⇒α ，β 重合
【答案】ABD
【解析】对于A，若M∈α ，M∈β ，α∩β=l，则由基本事实3可知M∈l，A正确；
对于B，若a⊂α ，b⊂β ，a∩b=A，则A∈α ，A∈β ，因为α∩β=l，所以A∈l，B正确；
对于C，若l∩α=A，则有l⊄α ，A∈l，此时A∈α ，C错误；
对于D，不共线的三点确定一个平面，故α ，β 重合，D正确.故选ABD.
例3 （2025·山东济南三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，如图1，因为PQ//CD//AB//MN，所以M,N,P,Q四点共面，A不符合题意；
图1
对于B，如图2，因为MP//GH//EF//NQ，所以M,N,P,Q四点共面，B不符合题意；
图2
对于C，如图3，因为MP//KL//NQ，所以M,N,P,Q四点共面，C不符合题意；
图3
对于D，如图4，因为PQ⊂ 平面MPQ，N∉ 平面MPQ，M∈ 平面MPQ，M∉PQ，
所以MN与PQ是异面直线，D符合题意.故选D.
图4
变式．如图，在底面半径为1的圆柱OO1中，AB=2，BE⌢=CE⌢,F是AB的中点，则（ ）
A. AE=CF，AC与EF是共面直线
B. AE≠CF，AC与EF是共面直线
C. AE=CF，AC与EF是异面直线
D. AE≠CF，AC与EF是异面直线
【答案】D
【解析】由题意得，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，连接BE（图略），
因为CF=BF2+BC2=12+22=5，
AE=AB2+BE2=22+(2)2=6，所以AE≠CF.因为AC⊂ 平面ABC，EF∩ 平面ABC=F,且F∉AC，所以AC与EF是异面直线.故选D.
归纳总结
判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体（如长方体、四面体等）模型；二是排除法.特别地，对于异面直线的判定常用到结论：过平面外一点A 与平面内一点B 的直线和平面内不经过点B 的直线是异面直线.
考点三 异面直线所成的角
例4 （2022·新高考Ⅰ卷·9,5分）多选 已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则（ ）
A. 直线BC1与DA1所成的角为90∘
B. 直线BC1与CA1所成的角为90∘
C. 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45∘
D. 直线BC1与平面ABCD所成的角为45∘
【答案】ABD
【解析】对于A，连接B1C，易得B1C⊥BC1，四边形A1B1CD为平行四边形，
∴B1C//A1D，∴BC1⊥A1D，
∴ 直线BC1与DA1所成的角为90∘ ，
∴A正确.
对于B，易得A1B1⊥ 平面BB1C1C，
∵BC1⊂ 平面BB1C1C,∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C=B1，B1C，A1B1⊂ 平面A1B1CD，∴BC1⊥ 平面A1B1CD，
又CA1⊂ 平面A1B1CD，∴CA1⊥BC1，
∴ 直线BC1与CA1所成的角为90∘ ，
∴B正确.
对于C，连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连接BO，易得A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，又B1D1∩BB1=B1，B1D1，BB1⊂ 平面BB1D1D，
∴A1C1⊥ 平面BB1D1D，∴OB为BC1在平面BB1D1D内的射影，
∴∠C1BO即为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，在Rt△C1BO中，sin∠C1BO=C1OBC1=12，∴∠C1BO=30∘ ，∴C错误.
对于D，易知CC1⊥ 平面ABCD，∴BC为BC1在平面ABCD内的射影，
∴∠C1BC即为直线BC1与平面ABCD所成的角，易知∠C1BC=45∘ ，∴D正确.故选ABD.
变式．（2025·江苏南京三模）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则异面直线DF与C1E所成角的余弦值是（ ）
A. 1910B. −1910C. −910D. 910
【答案】D
【解析】连接BF，因为C1F=BE,C1F//BE，所以四边形C1FBE为平行四边形，所以BF//C1E，所以∠DFB（或其补角）为异面直线DF与C1E所成的角，
设AB=2，则BD=1，BF=B1F2+BB12=5，
连接EF,DE，则DE=12AC=1，
因为EF//BB1，所以EF⊥ 平面ABC，DE⊂ 平面ABC，所以EF⊥DE，
又EF=BB1=2，
所以DF=EF2+DE2=5，
由余弦定理的推论得cs∠DFB=DF2+BF2−BD22DF×BF=5+5−110=910.
故异面直线DF与C1E所成角的余弦值是910.故选D.
例5 （2025·江西景德镇模拟）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段A1D上的动点，则直线PC1与B1C所成角的取值范围是（ ）
A. [π6,π3]B. [π4,π2]C. [π6,π2]D. [π3,π2]
【答案】D
【解析】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1C1=A1D=C1D，所以△A1C1D为等边三角形.
因为A1D//B1C，所以∠A1PC1（或其补角）为直线PC1与B1C所成的角.
当点P与线段A1D的端点重合时，直线PC1与B1C所成的角取得最小值π3；
当点P与线段A1D的中点重合时，直线PC1与B1C所成的角取得最大值π2.
故直线PC1与B1C所成角的取值范围是[π3,π2].
归纳总结
用平移法求异面直线所成角的步骤
（1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角（或其补角）.
（2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角（或其补角）.
（3）三求：解三角形，求出所作的角.若求出的角是锐角或直角，则它就是所求的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求的角.文字语言
图形语言
符号语言
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
空间中直线与直线的位置关系
共面直线
相交直线:在同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:在同一平面内,没有公共点
异面直线
不同在任何一个平面内，没有公共点
空间中直线与平面的位置关系
直线在平面内
有_ _ _ _ _ _ 公共点
直线在平面外
直线与平面相交:有且只有一个公共点;
直线与平面平行:_ _ _ _ 公共点
空间中平面与平面的位置关系
两个平面平行:没有公共点;
两个平面相交:有一条公共直线