2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 012-第四节 直线、平面平行的判定与性质（教用）

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课标要求
1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
2.掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理与性质定理,并会应用.
回归教材 强基础
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
【答案】平面外； 交线
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
【答案】相交直线； 交线
常考结论
1.与平面平行有关的结论
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面,即若α//β ，a⊂α ，则a//β .
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α ，a⊥β ，则α//β .
（3）平行于同一个平面的两个平面平行，即若α//β ，β//γ ，则α//γ .
（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
（5）两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
（6）同一条直线与两个平行平面所成的角相等.
2.三种平行关系的转化
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.（ ）
（2） 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（ ）
（3） 若直线a⊂ 平面α ，直线b⊂ 平面β ，a//b，则α//β .（ ）
（4） 如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．设m，n为两条不同的直线，α ，β 为两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若α//β ,m⊂α ，则m//β
B. 若m⊂α ,n⊂α ,m//β ,n//β ，则α//β
C. 若m//α ,n//α ，则m//n
D. 若m//n,m⊂α ，则n//α
【答案】A
【解析】对于A，由面面平行的定义可知直线m和平面β 无公共点，即m//β ，故A为真命题；
对于B，当m//n时，α//β 不成立，故B为假命题；
对于C，如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1B1//平面ABCD，A1D1//平面ABCD，而A1B1∩A1D1=A1，故C为假命题；
对于D，直线n可能在平面α 内，故D为假命题.故选A.
3．（人教A版必修第二册P170复习参考题T7改编）如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，平面ABB1A1//平面CDD1C1，且AF//C1E，则四边形AEC1F的形状是（ ）
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】A
【解析】∵ 平面ABB1A1//平面CDD1C1，平面ABB1A1∩ 平面AEC1F=AE，平面CDD1C1∩ 平面AEC1F=C1F，∴AE//C1F，又AF//C1E，∴ 四边形AEC1F为平行四边形.故选A.
4．（人教A版必修第二册P134例1改编）如图，在三棱锥A−BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
（1） 四边形EFGH的形状是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 当AC，BD满足_ _ _ _ _ _ _ _ 时，四边形EFGH为菱形；
（3） 当AC，BD满足_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时，四边形EFGH为正方形.
【答案】（1） 平行四边形
（2） AC=BD
（3） AC=BD且AC⊥BD
【解析】
（1） 因为E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点，所以EF//AC//HG,EH//BD//FG,EF=HG=12AC,EH=FG=12BD，所以四边形EFGH为平行四边形.
（2） 若四边形EFGH为菱形，则EF=EH，则AC=BD.
（3） 若四边形EFGH为正方形，则EF=EH且EF⊥EH，则AC=BD且AC⊥BD.
突破核心 提能力
考点一 直线与平面平行的判定与性质
角度1 直线与平面平行的判定
例1 多选 如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，如图，取BC的中点O，连接OQ，则有OQ//AB，又OQ∩ 平面MNQ=Q，所以AB与平面MNQ相交，故A不符合题意；
对于B,因为AB//DC，MQ//DC，所以MQ//AB，又MQ⊂ 平面MNQ，AB⊄ 平面MNQ，所以AB//平面MNQ，故B符合题意；
对于C,因为AB//DC,MQ//DC，所以AB//MQ，又MQ⊂ 平面MNQ，AB⊄ 平面MNQ，所以AB//平面MNQ，故C符合题意；
对于D,因为AB//DC,NQ//DC，所以NQ//AB，又NQ⊂ 平面MNQ，AB⊄ 平面MNQ，所以AB//平面MNQ，故D符合题意.故选BCD.
例2 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF//平面PCE.
证明 如图，设M为PC的中点，连接EM，MF,
则MF//CD，且MF=12CD，
∵E是AB的中点，
∴AE//CD，且AE=12CD，
∴AE//MF，∴ 四边形AEMF是平行四边形，∴AF//EM.
又∵AF⊄ 平面PCE，EM⊂ 平面PCE，∴AF//平面PCE.
角度2 直线与平面平行的性质
例3 如图，E是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的棱C1D1上的点，且BD1//平面B1CE，则CE=_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】连接BC1，与B1C相交于点N，则点N是BC1的中点，连接EN（图略），
因为平面B1CE∩ 平面BC1D1=EN，BD1⊂ 平面BC1D1,BD1//平面B1CE，
所以BD1//EN，可得点E是C1D1的中点，所以CE=CC12+EC12=4+1=5.
例4 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M，N分别是PC，AB的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BDM于HG.求证：
（1） MN//平面PAD；
（2） PA//HG.
【答案】
（1） 证明 取PD的中点K，连接MK，AK，
易知MK为△PCD的中位线，故MK//CD，且MK=12CD，
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，AB=CD，故MK//AN，
又因为N是AB的中点，所以AN=12AB=12CD=MK，所以四边形ANMK为平行四边形，所以AK//MN，
又因为MN⊄ 平面PAD，AK⊂ 平面PAD，所以MN//平面PAD.
（2） 连接AC，交BD于点O，连接MO，
因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，
又因为M是PC的中点，所以MO为△ACP的中位线，所以MO//PA，
又因为MO⊂ 平面BDM，PA⊄ 平面BDM，所以PA//平面BDM，
又因为PA⊂ 平面PAHG，平面PAHG∩ 平面BDM=HG，所以PA//HG.
归纳总结
线面平行问题的解题关键
（1）证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是通过利用几何体的特征与中位线定理、构造平行四边形、寻找比例式等证明两直线平行.
（2）应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
例5 如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
（1） B，C，H，G四点共面；
（2） 平面EFA1//平面BCHG.
【答案】
（1） 证明 ∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH//B1C1.
又∵B1C1//BC，∴GH//BC，∴B，C，H，G四点共面.
（2） ∵ 在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF//BC.
又EF⊄ 平面BCHG，BC⊂ 平面BCHG，∴EF//平面BCHG.
易知A1G//EB，∴ 四边形A1EBG是平行四边形，则A1E//GB.
又A1E⊄ 平面BCHG，GB⊂ 平面BCHG，∴A1E//平面BCHG.
∵A1E∩EF=E，A1E,EF⊂ 平面EFA1,∴ 平面EFA1//平面BCHG.
变式1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D//平面AB1D1”，试求ADDC的值.
【解析】如图，连接A1B交AB1于点O，则O为A1B的中点，连接OD1.
因为平面BC1D//平面AB1D1，平面A1BC1∩ 平面BC1D=BC1，平面A1BC1∩ 平面AB1D1=D1O，
所以BC1//D1O，则A1D1D1C1=A1OOB=1.
因为平面BC1D//平面AB1D1,平面ACC1A1∩ 平面BC1D=C1D,平面ACC1A1∩ 平面AB1D1=AD1,所以C1D//AD1,又A1C1//AC,所以四边形ADC1D1为平行四边形，所以D1C1=AD,又A1C1=AC,所以A1D1=DC,所以A1D1D1C1=DCAD，所以DCAD=1，即ADDC=1.
变式2．在本例中，若将条件“E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A1B1 ,A1C1 的中点”变为“D1 ，D 分别为B1C1 ，BC 的中点”，求证：平面A1BD1// 平面AC1D .
证明 如图所示，连接A1C交AC1于点M，则M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B//DM.
又A1B⊂ 平面A1BD1，DM⊄ 平面A1BD1，
∴DM//平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1//BD，
∴ 四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1//BD1.
又DC1⊄ 平面A1BD1，BD1⊂ 平面A1BD1，
∴DC1//平面A1BD1.
又∵DC1∩DM=D，DC1，DM⊂ 平面AC1D，
∴ 平面A1BD1//平面AC1D.
归纳总结
证明面面平行的常用方法
（1）利用面面平行的定义，即证两个平面没有公共点.
（2）利用面面平行的判定定理.
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.
（4）如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.
（5）利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明.
考点三 平行关系的综合应用
例6 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱AB,BB1,A1B1的中点.
（1） 证明：C1G//平面CEF；
（2） 在棱AA1上是否存在点H，使得平面C1GH//平面CEF？若存在，求出A1HA1A的值；若不存在，请说明理由.
【解析】
（1） 证明：连接EG，
因为E,G分别是棱AB,A1B1的中点，所以EG//BB1,EG=BB1，
由长方体的性质可知，BB1//CC1,BB1=CC1，则EG//CC1且EG=CC1，所以四边形CEGC1是平行四边形，所以CE//C1G，
又CE⊂ 平面CEF，且C1G⊄ 平面CEF，所以C1G//平面CEF.
（2） 取棱AA1的中点H，连接GH,C1H，AB1，
因为E,F分别为棱AB,BB1的中点，所以EF//AB1，
因为G,H分别为棱A1B1,A1A的中点，所以GH//AB1，所以GH//EF，
因为EF⊂ 平面CEF，GH⊄ 平面CEF，所以GH//平面CEF，
由（1）可知C1G//平面CEF，
又C1G，GH⊂ 平面C1GH，C1G∩GH=G，所以平面C1GH//平面CEF，故在棱AA1上存在点H，使得平面C1GH//平面CEF，此时A1HA1A=12.
例7 如图所示，平面α//平面β ,点A∈α ,点C∈α ,点B∈β ,点D∈β ,点E，F分别在线段AB，CD上，且AE:EB=CF:FD.
（1） 求证：EF//平面β ；
（2） 若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且异面直线AC，BD所成的角为60∘ ,求EF的长.
【解析】
（1） 证明：①当AB与CD共面时，
由平面α//平面β ,平面α∩ 平面ABDC=AC，平面β∩ 平面ABDC=BD，得AC//BD.∵AE:EB=CF:FD,∴EF//BD.
又EF⊄ 平面β ,BD⊂ 平面β ,∴EF//平面β .
②当AB与CD异面时，如图所示，过点D在平面β 内作DH//AC,且DH=AC.
连接AH,在AH上取一点G，使AG:GH=CF:FD，连接EG，FG，BH，∵AE:EB=CF:FD=AG:GH，∴GF//HD，EG//BH.又EG∩GF=G，BH∩HD=H，且EG,GF⊂ 平面EFG,BH,HD⊂ 平面β ,
∴ 平面EFG//平面β .
又EF⊂ 平面EFG，∴EF//平面β .
（2） 连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF（图略）.
∵E，F分别为AB，CD的中点，∴ME//BD，MF//AC，且ME=12BD=3，MF=12AC=2,
∴∠EMF（或其补角）为异面直线AC与BD所成的角,
∴∠EMF=60∘ 或∠EMF=120∘ .
在△EFM中，
EF=ME2+MF2−2ME⋅MF⋅cs∠EMF，
解得EF=7或EF=19.
归纳总结
利用线面平行或面面平行的性质,可以实现线面平行、面面平行与线线平行的转化.对于求线段长度或线段比例的问题,常用平行线分线段成比例或相似三角形来解决.文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果_ _ _ _ _ _ 一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（线线平行⇒ 线面平行）
l//a，a⊂α ，l⊄α⇒l//α
性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与_ _ _ _ 平行（线面平行⇒ 线线平行）
l//α ，l⊂β ，α∩β=b⇒l//b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内的两条_ _ _ _ _ _ _ _ 与另一个平面平行，那么这两个平面平行（线面平行⇒ 面面平行）
a⊂α ，b⊂α ，a∩b=P，a//β ，b//β⇒α//β
性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条_ _ _ _ 平行（面面平行⇒ 线线平行）
α//β ，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a//b