2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 10-能力提升19 概率与统计的综合应用（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 10-能力提升19 概率与统计的综合应用（教用），共15页。试卷主要包含了频率分布直方图与概率的综合问题，回归分析与概率的综合问题，独立性检验与概率的综合问题等内容，欢迎下载使用。
能力提升19 概率与统计的综合应用
概率与统计是统计学的重要内容，是历年高考的重点、热点，试题多以社会最新时事为背景，以数据分析、统计决策为载体，考查概率运算、分布列、期望、方差、回归分析、独立性检验等综合问题.高考中概率与统计的综合应用常涉及的问题主要有:（1）统计图表与概率的综合问题；（2）回归分析与概率的综合问题；（3）独立性检验与概率的综合问题.
题型一 频率分布直方图与概率的综合问题
例1 （2022·新高考Ⅱ卷·19，12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1） 估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2） 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
（3） 已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【解析】
（1） 平均年龄为(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9（岁）.
（2） 设事件A=“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)”，则P(A)=1−P(A)=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89.
（3） 设事件B=“从该地区中任选一人，此人年龄位于区间[40,50)”，事件C=“从该地区中任选一人，此人患这种疾病”，
则P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B|C)=0.023×10=0.23,
由贝叶斯公式可得，P(C|B)=P(BC)P(B)=P(C)P(B|C)P(B)=0.001×≈0.0014.
故从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，则此人患这种疾病的概率约为0.0014.
针对训练1．为提高学生的环保意识，某大学举办了一次环保知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛分数均分布在[450,950]内，根据调查的结果绘制了竞赛分数的频率分布直方图，如图所示.
（1） 求a的值，并估计该校学生竞赛分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2） 现采用比例分配的分层随机抽样的方式从分数在[750,850)，[850,950]内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中“特优选手”（分数不低于850分的学生被称为“特优选手”）的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.
【解析】
（1） 由频率分布直方图知(0.0015×2+a+0.0025+0.0010)×100=1⇒a=0.0035.
设第70百分位数为m，由题图知前两组的频率为(0.0015+0.0035)×100=0.5，
前三组的频率为(0.0015+0.0035+0.0025)×100=0.75，则m位于第三组数据中，所以m−6500.7−0.5=750−m0.75−0.7⇒m=730，即第70百分位数的估计值为730.
样本平均数为(500×0.0015+600×0.0035+700×0.0025+800×0.0015+900×0.0010)×100=670，
即该校学生竞赛分数的平均数的估计值为670.
（2） 由（1）可知，分数在[750,850)，[850,950]内的两组学生分别有100×0.0015×100=15（人），100×0.0010×100=10（人），
所以各自抽取的人数分别为10×1515+10=6，10×1015+10=4，
则这10人中“特优选手”有4人，
故X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X=0)=C64C104=114，P(X=1)=C63C41C104=821，P(X=2)=C62C42C104=37，P(X=3)=C61C43C104=435，P(X=4)=C44C104=1210，
所以X的分布列为
E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85.
题型二 回归分析与概率的综合问题
例2 近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了本市四所大学2025年的毕业生人数及毕业生中选择自主创业的人数（单位：千人），得到下表：
（1） 已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程y=a+bx；
（2） 假设该市政府给选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.
① 若该市E大学2025年毕业生人数为7000，根据（1）的结论估计该市政府要给E大学选择自主创业的毕业生发放创业补贴的总金额；
② 若A大学的毕业生甲和乙选择自主创业的概率分别为p，2p−1(12