2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 087-课时作业79 概率与统计的综合应用（教用）

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（1） 估计这100名志愿者的年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2） 依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人，需要从参加座谈会的年龄在[25,45)内的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示代表中年龄在[25,35)内的人数，求X的分布列及数学期望.
【解析】
（1） 由频率分布直方图可知，前两组的频率之和为(0.01+0.015)×10=0.25，前三组的频率之和为(0.01+0.015+0.035)×10=0.6，所以中位数位于区间[35,45)内，中位数的估计值为35+10×0.5−+507≈42.14.
由频率分布直方图可知，样本平均数的估计值为20×0.01×10+30×0.015×10+40×0.035×10+50×0.03×10+60×0.01×10=41.5.
故估计这100名志愿者的年龄的中位数和平均数分别为42.14和41.5.
（2） 由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在[25,45)内的有20×(0.015+0.035)×10=10人，其中年龄在[25,35)内的有20×0.015×10=3人.
由题知代表中年龄在[25,35)内的人数X服从超几何分布，X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C30C73C103=724，P(X=1)=C31C72C103=2140，P(X=2)=C32C71C103=740，P(X=3)=C33C70C103=1120，
所以X的分布列为
所以E(X)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.
2．（15分）随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，2024年年末全国常住人口城镇化率增长至67.00%.下图为2020—2024年年末常住人口城镇化率的折线图.
（1） 由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率y与年份代码x的关系，求y关于x的经验回归方程y=bx+a；
（2） 从这5年中任取2年，记这2年中常住人口城镇化率超过65.00%的年数为X，求X的分布列与数学期望.
附：经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑ni=1(xi−x)(yi−y)∑ni=1(xi−x)2，a=y−bx.
【解析】
（1） 由题意得x=1+2+3+4+55=3，
y=63.9+64.7+65.2+66.2+67.05=65.4，
∑5i=1(xi−x)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10，
∑5i=1(xi−x)(yi−y)=−2×(−1.5)+(−1)×(−0.7)+0×(−0.2)+1×0.8+2×1.6=7.7，
所以b=∑5i=1(xi−x)(yi−y)∑5i=1(xi−x)2=7.710=0.77，
所以a=y−bx=65.4−0.77×3=63.09.
故y关于x的经验回归方程为y=0.77x+63.09.
（2） 由题图可知，第3，4，5年常住人口城镇化率超过65.00%，
由题意可知，X的可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C30C22C52=110，P(X=1)=C31C21C52=35，P(X=2)=C32C20C52=310，
所以X的分布列为
所以E(X)=0×110+1×35+2×310=65.
3．（2025·河南安阳模拟）（15分）某工厂引进A,B两条智能化生产线，从这两条生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检验，得到的数据如下表：
单位：件
（1） 依据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，分析A，B两条智能化生产线的优质品率是否存在差异；
（2） 用样本的频率估计概率，若B生产线的生产效率是A生产线的2倍，现从A，B两条生产线同一时间段内生产的均匀混合放置的产品里任取一件产品，求其是优质品的概率；
（3） 用样本的频率估计概率，若从B生产线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中优质品的件数，求X的分布列和数学期望.
附:χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
【解析】
（1） 零假设为H0：A，B两条智能化生产线的优质品率不存在差异.
由题表得，χ2=200×(90×20−10×80)2100×100×170×30=20051≈3.922>3.841.
依据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，可以推断H0不成立，即认为A,B两条智能化生产线的优质品率存在差异.
（2） 设事件M=“任取一件产品是A生产线生产的”，事件N=“任取一件产品是B生产线生产的”，C=“任取一件产品是优质品”，
则P(M)=13,P(N)=23,P(C|M)=910,P(C|N)=45，
所以P(C)=P(M)P(C|M)+P(N)P(C|N)=56，
所以任取的一件产品是优质品的概率为56.
（3） 由题意得X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B(3,0.8)，
P(X=0)=C30×0.23=0.008,
P(X=1)=C31×0.81×0.22=0.096，
P(X=2)=C32×0.82×0.21=0.384,
P(X=3)=C33×0.83=0.512，
所以X的分布列为
E(X)=3×0.8=2.4.
4．（2025·浙江宁波九校联考）（15分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为更好地培养学生的创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特地举办了数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分.在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：［40,50），［50,60），⋯ ，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图.
（1） 求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次成绩的中位数；
（2） 在活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题的难度相当，即被同一个人答对的可能性相等.
（i） 任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
（ii） 任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n的值.
【解析】
（1） 由题中频率分布直方图得10a=1−10×(0.005+0.010×2+0.020+0.025)，解得a=0.030，
因为10×(0.005+0.010+0.020)=0.35