2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 013-第五节 直线、平面垂直的判定与性质（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 013-第五节 直线、平面垂直的判定与性质（教用），共15页。试卷主要包含了三种垂直关系的转化等内容，欢迎下载使用。
第五节 直线、平面垂直的判定与性质
课标要求
1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
2.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理与性质定理，并会应用.
回归教材 强基础
1．直线与平面垂直
（1） 定义：如果直线l与平面α 内的_ _ _ _ _ _ _ _ 直线都垂直，就说直线l与平面α 互相垂直.
（2） 直线与平面垂直的判定定理与性质定理
【答案】（1） 任意一条
（2） 相交
2．直线和平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
（2）直线和平面所成的角的取值范围:_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】[0,π2]
3．平面与平面垂直
（1） 二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
②二面角的平面角：过二面角棱上的任意一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.
③二面角的平面角的取值范围：_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 平面与平面垂直的判定定理与性质定理
【答案】（1） [0,π]
（2） 垂线；交线
常考结论
1.直线与平面垂直的相关结论
（1）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.
（2）若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.
（4）若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线与另一个平面也垂直.
（5）若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.
2.三垂线定理及其逆定理
（1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直.
（2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与该平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于这条斜线在该平面内的射影.
3.三种垂直关系的转化
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 垂直于同一个平面的两个平面平行.（ ）
（2） 若直线l与平面α 内的无数条直线都垂直，则l⊥α .（ ）
（3） 若直线a⊥ 平面α ，直线b//平面α ，则直线a⊥ 直线b.（ ）
（4） 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．若平面α 与平面β 不垂直，那么平面α 内与平面β 垂直的直线有（ ）
A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条
【答案】A
【解析】假设平面α 内存在直线l满足l⊥β ，又l⊂α ，所以α⊥β ，与题设矛盾，所以平面α 内不存在直线l满足l⊥β ，故选A.
3．（人教A版必修第二册P158例8改编）如图，AB是圆柱上底面圆的直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，AD为该圆柱的母线，则必有（ ）
A. 平面ABC⊥ 平面BCDB. 平面BCD⊥ 平面ACD
C. 平面ABD⊥ 平面ACDD. 平面BCD⊥ 平面ABD
【答案】B
【解析】因为AB是圆柱上底面圆的直径，所以AC⊥BC，因为AD为该圆柱的母线，所以AD⊥BC，又AC∩AD=A，AC，AD⊂ 平面ACD，所以BC⊥ 平面ACD，又BC⊂ 平面BCD，所以平面BCD⊥ 平面ACD.
4．（人教A版必修第二册P152例4改编）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】13
【解析】连接A1C1（图略），易知AA1⊥ 平面A1B1C1D1,所以A1C1为AC1在平面A1B1C1D1上的射影，所以∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角.因为AB=BC=2，所以A1C1=AC=22，又AA1=1，所以AC1=3，所以sin∠AC1A1=AA1AC1=13.
突破核心 提能力
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥ 平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60∘ ，PA=AB=BC，E是PC的中点.证明：
（1） CD⊥AE；
（2） PD⊥ 平面ABE.
【答案】
（1） 证明 在四棱锥P−ABCD中，∵PA⊥ 平面ABCD，CD⊂ 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又AC⊥CD，且PA∩AC=A，PA，AC⊂ 平面PAC，∴CD⊥ 平面PAC.
又AE⊂ 平面PAC，∴CD⊥AE.
（2） 由PA=AB=BC，∠ABC=60∘ ，可得△ABC为正三角形，则AC=PA.
又E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由（1）知AE⊥CD，
又PC∩CD=C，PC，CD⊂ 平面PCD，
∴AE⊥ 平面PCD.
又PD⊂ 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥ 平面ABCD，AB⊂ 平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又AB⊥AD，且PA∩AD=A，PA，AD⊂ 平面PAD，∴AB⊥ 平面PAD.
又PD⊂ 平面PAD，∴AB⊥PD.
又AB∩AE=A，AB，AE⊂ 平面ABE，
∴PD⊥ 平面ABE.
变式．如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥ 平面ABCD，AD//BC，且AB=AD=AA1=2，BD=DC=22.
（1） 求证：AB⊥ 平面ADD1A1；
（2） 求四棱锥C−BDD1B1的体积.
【解析】
（1） 证明：因为AA1⊥ 平面ABCD，AB⊂ 平面ABCD，所以AA1⊥AB，
因为AB=AD=2，BD=22，所以AB2+AD2=BD2，所以AB⊥AD，
又AA1∩AD=A，AA1,AD⊂ 平面ADD1A1，所以AB⊥ 平面ADD1A1.
（2） 由（1）知AB⊥AD，又AD//BC，BD=DC=22，所以BC=4，
因此BD2+DC2=BC2，所以BD⊥DC，
又AA1⊥ 平面ABCD，AA1//DD1，
所以DD1⊥ 平面ABCD，
又DC⊂ 平面ABCD，所以DD1⊥DC，
又DD1∩BD=D，DD1,BD⊂ 平面BDD1B1，
所以DC⊥ 平面BDD1B1，即DC为四棱锥C−BDD1B1的高，
所以四棱锥C−BDD1B1的体积V=13BB1⋅BD⋅DC=13×2×22×22=163.
归纳总结
证明线面垂直的常用方法
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 （2025·湖南岳阳二模）已知m,n,l为不同的直线，α ,β 为不同的平面，若平面α⊥ 平面β ，且α∩β=l，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若m//α ，则m⊥β
B. 若m⊂α ,n⊂β ，则m⊥n
C. 若m⊂α ，则m⊥β
D. 若m⊂α ，则直线m必垂直于平面β 内的无数条直线
【答案】D
【解析】对于A，若m//α ，则可能有m//β 或m⊂β 或m与β 相交，故A为假命题；
对于B，若m⊂α ,n⊂β ，则只有当m,n中至少有一条直线与l垂直时，才有m⊥n，否则m,n平行或异面或相交但不垂直，故B为假命题；
对于C，若m⊂α ，则只有当m⊥l时，才有m⊥β ，否则m,β 平行或相交但不垂直，故C为假命题；
对于D，当直线n⊂β ，且n⊥l时，n⊥m，满足条件的直线n有无数条，故D为真命题.
例3 ［2023·全国甲卷（文）·18，12分］如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C⊥ 平面ABC，∠ACB=90∘ .
（1） 证明：平面ACC1A1⊥ 平面BB1C1C；
（2） 设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1−BB1C1C的高.
【解析】
（1） 证明：因为A1C⊥ 平面ABC，BC⊂ 平面ABC，所以A1C⊥BC.
因为∠ACB=90∘ ，所以AC⊥BC.
又因为AC∩A1C=C，AC，A1C⊂ 平面ACC1A1，所以BC⊥ 平面ACC1A1.
又因为BC⊂ 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥ 平面BB1C1C.
（2） 如图，过A1作A1H⊥CC1，垂足为H，过C作CM⊥AA1，垂足为M，
由（1）及面面垂直的性质定理，得A1H⊥ 平面BB1C1C，所以A1H为四棱锥A1−BB1C1C的高.由AA1//CC1得CM=A1H.
由（1）知BC⊥A1C，所以∠BCA1=90∘ ，又AB=A1B，∠BCA=90∘ ，所以Rt△BCA≌Rt△BCA1，所以AC=A1C.
由A1C⊥ 平面ABC，AC⊂ 平面ABC，得A1C⊥AC,故△CAA1是等腰直角三角形,
又AA1=2，所以CM=12AA1=1，所以A1H=CM=1,即四棱锥A1−BB1C1C的高为1.
归纳总结
1.证明面面垂直的常用方法
2.面面垂直的性质定理的应用
（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
考点三 垂直关系的综合应用
例4 多选 如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，BC=CD=12，AB=1，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折，使点A到达点P的位置，且PC=32，则（ ）
A. 平面PED⊥ 平面EBCD
B. PC⊥ED
C. 二面角P−DC−B的大小为π4
D. PC与平面PED所成角的正切值为22
【答案】ACD
【解析】对于A，易知DE⊥AB,
所以PD=AD=AE2+DE2=(12)2+(12)2=22，所以在△PDC中，PD2+CD2=PC2，所以PD⊥CD，又CD⊥DE，PD∩DE=D，PD，DE⊂ 平面PED，所以CD⊥ 平面PED，又CD⊂ 平面EBCD，所以平面PED⊥ 平面EBCD，A正确；
对于B，假设PC⊥ED，由于ED⊥CD，且PC∩CD=C，PC，CD⊂ 平面PDC，所以ED⊥ 平面PDC，则ED⊥PD，而∠EDP=∠EDA