第二章第八节对数函数-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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这是一份第二章第八节对数函数-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案，文件包含第二章第八节对数函数原卷版docx、第二章第八节对数函数解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共36页，欢迎下载使用。

第八节对数函数
知识回顾
1．对数函数的定义
形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质

a>1
0 图象

性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是单调增函数
在(0，＋∞)上是单调减函数

3.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
课前检测
1.下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
① y=logx2；② y=logax(a∈R)；③ y=log8x；④ y=ln⁡x；⑤ y=logx(x+2)；⑥ y=2log4x；
⑦ y=log2(x+1)
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【解析】① y=logx2 不是对数函数
② y=logax(a∈R) 不是对数函数
③ y=log8x 是对数函数
④ y=ln⁡x 是对数函数
⑤ y=logx(x+2) 不是对数函数
⑥ y=2log4x 是对数函数，因为 y=2log4x=log2x，可以写成对数函数的形式。
⑦ y=log2(x+1) 不是对数函数
综上所述，对数函数有3个．
所以C选项是正确的．
【备注】1．判断是否符合对数函数定义的形式．
2．对数式前面有系数是对数函数．

2.函数f(x)=(a2+a-5)loga⁡x为对数函数，则f(18)等于(　　)

A． 3
B．-3
C．-log3⁡6
D．-log3⁡8
【答案】B
【解析】∵函数f(x)=(a2+a-5)loga⁡x为对数函数，
∴{a2+a-5=1a>0a≠1，解得a=2，
∴f(x)=log2⁡x，
∴f(18)=log2⁡18=-3．
故选：B．
3．函数f (x)＝log2(3－ax)在(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是________．
答案　(1,3]
解析　由已知可得解得1 4．已知a＞0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

解析：选B　函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.
5．函数y＝log0.5(4x-3)的定义域为______．
解析：要使函数有意义，须满足log0.5(4x-3)≥04x-3>0
解得＜x≤1.
答案：
课中讲解
考点一.对数函数的图像与性质
例1.【2017年甘肃兰州西固区兰州炼油化工总厂第一中学高一上学期期中考试数学试卷】已知函数 f(x)=loga⁡(2x+b-1)(a>0,a≠1) 的图象如图所示，则 a，b 满足的关系是(　　)

A．0B．0C．0D．0 【答案】B
【解析】令 t=2x+b-1．
∴y=loga⁡t．
∵ 内函数 t=2x+b-1 为单调递增函数．
∴ 外函数 y=loga⁡t 也是单调递增函数．
∴a>1．
∵f(0)>-1．
∴f(0)=loga⁡b>-1．
∴b>a-1．
∴0 【备注】本题考查对数函数的图像及其性质．

变式1.如图为函数 y=m+lognx 的图象，其中 m，n 为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．m<0，n>1
B．m>0，n>1
C．m>0，0D．m<0，0 【答案】D
【解析】当 x=1 时，y=m，由图形易知 m<0．
又 ∵ 函数是减函数．
∴0故选 D

例2.若loga2<0（a>0且a≠1），则函数f(x)=loga(x+1)的图像大致是(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据loga2<0，解得a∈(0,1)；函数的图像f(x)=loga(x+1)由g(x)=logax向左平移一个单位即可，原函数单调递减
【备注】基本初等函数的图像及图像变化

变式2.如图是对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的函数图像分别为C1,C2,C3,C4，则a,b,c,d的关系是(　　)

A．cC．1 【答案】A
【解析】
第一步：判断与1的大小关系
由单调性可知c<1,d<1，a>1,b>1
第二步：作直线y=1
函数值等于1时，自变量的值刚好等于底数，因此，我们可以作一条直线y=1，与图像交点的横坐标即为底数。
作直线y=1与图像交点D,E,F,G，其横坐标分别为c,d,a,b，
第三步：作答
所以有c
例3.方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________．
答案　
解析　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，

由图象知解得0 变式3．已知不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为__________．
解析：由x2－logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．
当a＞1时，显然不成立；

当0＜a＜1时，如图所示，
要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，
所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1.
即实数a的取值范围是.
答案：
例4．当0＜x≤时，＜logax，则实数a的取值范围为________．
解析：若＜logax在x∈上恒成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，
由图象知＜loga，
所以解得＜a＜1.
即实数a的取值范围是.
答案：
变式4．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2＜0 B．x1x2＝0
C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
解析：选D　作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．

显然x1＜0，x2＜0.
不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，
所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，
此时10x1＜10x2，
即lg(－x1)＜－lg(－x2)，
由此得lg(x1x2)＜0，
所以0＜x1x2＜1，故选D.
考点二.对数函数的性质与应用
例1.函数f(x)=1log12(2x+1)的定义域为(　　)
A．(-12,0]
B．(-12,0)
C．[0,+∞)
D．(0,+∞)
【答案】B
【解析】由题意得：0<2x+1<1，∴-12 【备注】本题考查对数函数定义域

变式1.若函数f(x)=lg⁡(kx2-6kx+8+k)的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
【答案】[0,1)
【解析】∵f(x)=lg⁡(kx2-6kx+8+k)的定义域为R，kx2-6kx+8+k>0恒成立，k=0时成立，k>0时判别式Δ=36k2-4k(k+8)<0，得0
例2.若函数f(x)=log2⁡(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是(　　)
A．(0,34)
B．[0，34)
C．[0，34]
D．(-∞，0]⋃(34，+∞)
【答案】B
【解析】∵函数f(x)=log2⁡(kx2+4kx+3)的定义域为R
∴kx2+4kx+3>0对任意的x恒成立
∴当k=0时3>0对任意的x恒成立，符合题意
当k≠0时要使kx2+4kx+3>0对任意的x恒成立只需{k>0△<0即可，此时0综上所述k∈[0,34)
故选：B．

变式2.设函数 y=4-x2 的定义域为 A，函数 y=ln⁡(1-x) 的定义域为 B，则 A∩B=(　　)
A．(1,2) B．(1,2] C．(-2,1) D．[-2,1)
【答案】D
【解析】本题考查函数的定义域和集合的交集，属基础题，先求出 A，B，注意偶次根号下的式子非负，对数的真数一定为正．
由 4-x2≥0，得 A=[-2,2]．
由 1-x>0 得 B=(-∞,1)．
∴A∩B=[-2,1)．
故选 D
例3.设 x,y,z 为正数，且 2x=3y=5z，则 (　　)
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【解析】令 2x=3y=5z=k(k>1)，则 x=log2⁡k，y=log3⁡k，z=log5⁡k，所以对数函数 2x3y=2lg⁡klg2⋅lg33lg⁡k=lg9lg8>1，则 2x>3y；同理 2x5z=2lg⁡klg2⋅lg55lg⁡k=lg25lg32<1，则 2x<5z，因此 3y<2x<5z．
变式3. (1)若f (x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　A
解析　令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
(2)已知函数f (x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f (x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案　
解析　当a>1时，f (x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f (x)>1在区间[1,2]上恒成立，
则f (x)min＝f (2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，
解得1 当0 由f (x)>1在区间[1,2]上恒成立，
知f (x)min＝f (1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
例4.函数 f(x)=ax+loga⁡(x+1) 在 [0,1] 上的最大值与最小值之和为 a，则 a 的值为(　　)
A．14 B．12
C．2 D．4
【答案】B
【解析】∵ 函数 y=ax 与 y=loga⁡(x+1) 在 [0,1] 上有相同的单调性．
∴ 函数函数 f(x)=ax+loga⁡(x+1) 在 [0,1] 上是单调函数．
则最大值与最小值之和为 f(0)+f(1)=a．
即 1+loga⁡1+loga⁡2+a=a．
即 loga⁡2=-1．
解得 a=12．
故选 B
变式4.已知函数y=log2⁡(x2-2kx+k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)

A．0B．0⩽k<1
C．k⩽0或k⩾1
D．k=0或k⩾1
【答案】C
【解析】
由题意得：
要使y=log2⁡(x2-2kx+k)的值域为R，则要使得x2-2kx+k取到所有的正数
令g(x)=x2-2kx+k，
∴△⩾0
即(-2k)2-4k⩾0
即k⩽0或k⩾1
故选C
例5.已知f(x)={-2ax+3a+1,x<1ln⁡x,x⩾1的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．(-∞,-1] B．(-1,0)
C．[-1,0) D．[-1,0]
【答案】C
【解析】
因为函数的值域为R，又x⩾1时，f(x)⩾0，所以x<1时，函数的值要能取到所有负数，{-2a>0-2a+3a+1⩾0解得-1⩽a<0．故选C．
考点三.比较大小
例1.【2018年陕西西安雁塔区高新一中高一上学期期中考试数学试卷】若0 A．ab>logba>log1ab
B．ab>log1ab>logba
C．logba>log1ab>ab
D．logba>ab>log1ab
【答案】D
【解析】logba>logbb=1=b0>ba>aa>ab>0=log1a1>log1ab

变式1.若0 A．3y<3x
B．logx3C．log4xD．(14)y＞(14)x
【答案】C
【解析】x因为y=3x为增函数，所以3y>3x；
因为y=(14)x为减函数，所以(14)x>(14)y；
因为y=log4x为增函数，所以log4x 【备注】指对数函数性质

例2.设a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9，则a,b,c的大小顺序是 (　　)
A．aC．b 【答案】C
【解析】由指对幂函数的性质得01，所以b故选C．

变式2.若 a=log23，b=log32，c=log132，d=log213，则 a，b，c，d 的大小关系是 (　　)
A． aB． dC． dD． c 【答案】C
【解析】a>log2⁡2=1，0=log3⁡1
例3.已知奇函数 f(x) 在 R 上是增函数．若 a=-f(log2⁡15)，b=f(log2⁡4.1)，c=f(20.8)，则 a,b,c 的大小关系为 (　　)
A．aC．c 【答案】C
【解析】根据 f(x) 为奇函数，得 a=-f(log2⁡15)=f(log2⁡5)，
又20.8<21=2
变式3.若实数a，b满足a>b>1，m=loga⁡(loga⁡b)，n=(loga⁡b)2，l=loga⁡b2，则m，n，l的大小关系为(　　)
A．m>l>n B．l>n>m
C．n>l>m D．l>m>n
【答案】B
【解析】
∵实数a，b满足a>b>1，m=loga⁡(loga⁡b)，n=(loga⁡b)2，l=loga⁡b2，
∴0=loga⁡1∴m=loga⁡(loga⁡b)0l=loga⁡b2=2loga⁡b>n=(loga⁡b)2．
∴m，n，l的大小关系为l>n>m．
故选：B．

【备注】推导出0=loga⁡1本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

例4.设a=60.5，b=0.56，c=log6⁡0.5，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．a>c>b
【答案】A
【解析】
∵a=60.5=6>1，0∴a>b>c．
故选：A．

【备注】比较大小常常利用函数的单调性进行比较，不同函数值常常寻找中间值0与1进行比较．
本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的单调性和值域，属于基础题．

变式4.已知 b>0，log5b=a，lg⁡b=c，5d=10，则下列等式一定成立的是(　　)
A．d=ac B．a=cd
C．c=ad D．d=a+c
【答案】B
【解析】因为 log5b=a，lg⁡b=c，所以 5a=10c=b 对数的概念与运算．又 5d=10，所以
(5d)c=10c=b=5a,
得 a=cd 幂的概念与运算法则．
【备注】可以先把对数式化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质解答．

例5．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b
解析：选B　∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，
∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.
课后习题
一．单选题
1.已知 a>0，b>0，且 ab=1，则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图像可能是 (　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】本题主要考查了求函数图象的问题，利用对数运算将 b 转化为关于 a 的式子，从而判断即可得出结果．
∵ab=1．
∴b=1a．
∴g(x)=-logbx=-log1ax=logax．
则对数函数与指数函数的底数相同，故单调性相同．
从而排除 A，C，D．
故选 B
2.【2018年广东深圳深圳市宝安中学高一上学期期中考试数学试卷】已知 a>0，a≠1，设函数 y=ax-1+2 的图象恒过定点 P，若点 P 也在函数 y=loga⁡x+m 的图象上，则实数 m 的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【分析】：求出定点 P 的坐标，然后代值计算即可．
当 x-1=0 时，即 x=1 时，y=3，
∴ 函数 y=ax-1+2 的图象恒过定点 P(1,3)，
∵ 点 P 也在函数 y=loga⁡x+m 的图象上，
∴3=m．
故选 C
【备注】【点评】：本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题目．

3.【2017年浙江杭州长河高一上学期期中考试数学试卷】函数y=ax-2+loga(x-1)+1(a>0,a≠1)的图像必经过点 (　　)
A．(0,1) B．(1,0)
C．(2,2) D．(2,1)
【答案】C
【解析】当x=2时，ax-2=1，loga(x-1)=0，则y=2，所以函数过定点(2,2)．
【备注】函数的定点问题．
4．函数y＝ln的图象为(　　)

答案　A
解析　易知2x－3≠0，即x≠，排除C，D.
当x>时，函数为减函数；
当x<时，函数为增函数，所以选A.

5．(2020·南京质检)若01的解是(　　)
A．x>a B．a1 D．0 答案　B
解析　易得0 6．函数f (x)＝的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
答案　D
解析　函数y＝f (x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f (x)由y＝与t＝g(x)＝x2－4复合而成，
又y＝在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，
所以函数y＝f (x)在(－∞，－2)上单调递增．
7．已知函数f (x)＝且关于x的方程f (x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0,1] B．(0,1) C．[0,1] D．(0，＋∞)
答案　A
解析　作出函数y＝f (x)的图象(如图)，欲使y＝f (x)和直线y＝a有两个交点，则0
二．多选题
8．(多选)关于函数f (x)＝ln，下列说法中正确的有(　　 )
A．f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f (x)为奇函数
C．f (x)在定义域上是增函数
D．对任意x1，x2∈(－1,1)，都有f (x1)＋f (x2)＝f
答案　BD
解析　函数f (x)＝ln＝ln，
其定义域满足(1－x)(1＋x)>0，解得－1 ∴定义域为{x|－1 由f (－x)＝ln＝ln－1＝－ln＝－f (x)，是奇函数，∴B对．
函数y＝－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，
∴f (x)在定义域内是减函数，C不对．
f (x1)＋f (x2)＝ln＋ln
＝ln＝f .∴D对．
三．填空题
9.【2018年浙江杭州十四康桥高一上学期期中考试数学试卷】若函数f(x)=loga(x+m),(a>0，a≠1)恒过定点(2,n)，则m+n的值为________
【答案】-1
【解析】f(x)=loga(x+m)恒过定点(2,n)，则loga(2+m)=n恒成立，即{2+m=1n=0
解得{m=-1n=0

10.已知函数 y=4ax-9-1（a>0 且 a≠1）恒过定点 A(m,n)，则 logm⁡n=________．
【答案】12
【解析】令 x-9=0，解得 x=9，
则 y=4-1=3，
即恒过定点 A(9,3)，
∴m=9，n=3，
∴logm⁡n=log9⁡3=12．
故答案为：12．

11.【2019年10月上海宝山区上海市行知中学高三上学期月考数学试卷】
如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，BC 平行于 x 轴，顶点 A，B 和 C 分别在函数 y1=3loga⁡x，y2=2loga⁡x 和 y3=loga⁡x(a>1) 的图象上，则实数 a 的值为 ________．

【答案】
2

【解析】
设 B(x,2loga⁡x)，
∵BC 平行于 x 轴，
∴C(x',2loga⁡x) 即 loga⁡x'=2loga⁡x，∴x'=x2，
∴ 正方形 ABCD 边长 =|BC|=x2-x=2，解得 x=2．
由已知，AB 垂直于 x 轴，
∴A(x,3loga⁡x)，正方形 ABCD 边长 =|AB|=3loga⁡x-2loga⁡x=loga⁡x=2，即 loga⁡2=2，∴a=2，
故答案为：2．
12．设函数f (x)＝则满足f (x)≤2的x的取值范围是__________．
答案　[0，＋∞)
解析　当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；
当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.
综上可知x≥0.
13．(2019·南通模拟)设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a 答案　(0,1)
解析　由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，∴ab＝1,0
14．已知函数f (x)＝ln，若f (a)＋f (b)＝0，且0 答案　
解析　由题意可知ln＋ln＝0，
即ln＝0，从而×＝1，
化简得a＋b＝1，
故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋，
又0 所以0 四．解答题

15.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x
(1) 若x∈[1,4]，求函数h(x)=[f(x)+1]g(x)的值域；
【答案】[0,2]；
【解析】换元，令t=log2x，则h(x)=(4-2log2x)log2x=-2(t-1)2+2，t∈[0,2]．所以h(x)值域为[0,2]．

(2) 求M=f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|2的最大值．
【答案】1
【解析】M={g(x),f(x)>g(x)f(x),f(x)≤g(x)，由图像可得M的最大值为1
16.已知函数 f(x)=log12(3-2x-x2) ．
(1) 求该函数的定义域；
【答案】(-3,1) ．
【解析】由3-2x-x2>0得
x2+2x-3<0,
解得
-3 所以f(x) 的定义域为 (-3,1) ．

(2) 求该函数的单调区间及值域．
【答案】值域为 [-2,+∞) ．
【解析】令 u=3-2x-x2 ，则
u=-(x+1)2+4.
于是 u 在 (-3,-1] 上单调递增，在 (-1,1) 上单调递减，
又 f(u)=log12u 在 (0,+∞) 上单调递减，
所以f(x) 在 (-3,-1] 上单调递减，在 (-1,1) 上单调递增，
又 0 log12u⩾log124=-2,
故f(x) 的值域为 [-2,+∞) ．
17.已知 f(x)=lg⁡[(a2-1)x2+(a+1)x+1]．