2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 021-第二节 两条直线的位置关系（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 021-第二节 两条直线的位置关系（教用），共15页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。
第二节 两条直线的位置关系
课标要求
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
回归教材 强基础
1．两条直线的位置关系
直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，l3：A1x+B1y+C1=0，l4：A2x+B2y+C2=0（其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线）的位置关系如下表：
【答案】k1=k2且b1≠b2； k1⋅k2=−1； A1A2+B1B2=0
2．三种距离
【答案】|Ax0+By0+C|A2+B2； |C1−C2|A2+B2
常考结论
1.三种直线系方程
（1）与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ 为参数，且λ≠C).
（2）与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx−Ay+λ=0(λ 为参数).
（3）经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ 为参数，此方程可表示l1,但不能表示l2).
2.与对称相关的结论
（1）点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(−x,−y)，关于点(a,b)的对称点为(2a−x,2b−y).
（2）点(x,y)关于x轴的对称点为(x,−y)，关于y轴的对称点为(−x,y).
（3）点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a−x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b−y).
（4）点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=−x的对称点为(−y,−x).
（5）点(x,y)关于y=x+b的对称点为(y−b,x+b)，关于y=−x+b的对称点为(b−y,b−x).
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1//l2.（ ）
（2） 若直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于−1.（ ）
（3） 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.（ ）
（4） 直线外一定点与直线上的点的距离的最小值就是点到直线的距离.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） √
2．［人教A版选择性必修第一册P67习题T8（3）改编］已知直线l经过点(1,−1)，且与直线2x−y−5=0垂直，则直线l的方程为（ ）
A. 2x+y−1=0B. x−2y−3=0
C. x+2y+1=0D. 2x−y−3=0
【答案】C
【解析】∵ 直线l与直线2x−y−5=0垂直，∴ 设直线l的方程为x+2y+c=0，又直线l经过点(1,−1)，∴1−2+c=0，即c=1.∴ 直线l的方程为x+2y+1=0.
3．（人教A版选择性必修第一册P79习题T9改编）若三条直线y=2x，x+y=3，mx+2y+5=0相交于同一点，则m的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】−9
【解析】由y=2x,x+y=3,得x=1,y=2,所以点(1,2)满足方程mx+2y+5=0，即m+2×2+5=0，所以m=−9.
4．易错 直线l1:2x−y+1=0与直线l2:4x−2y−3=0之间的距离为_ _ _ _ _ _ .
【答案】52
【解析】l1:2x−y+1=0可化为4x−2y+2=0，因为l1与l2平行，所以由两条平行直线间的距离公式可得l1与l2之间的距离为|2−(−3)|42+(−2)2=52.
易错分析
求两条平行直线间的距离时，易忽视两直线方程的系数的对应关系而致错.
突破核心 提能力
考点一 两条直线的平行与垂直
例1 已知直线l1:2x−y+1=0与l2:x+ky−3=0垂直，则实数k=（ ）
A. 2B. −2C. 12D. −12
【答案】A
【解析】当k=0时，l2:x=3，此时l1与l2不垂直；当k≠0时，若l1⊥l2，则2−k=0，解得k=2.故选A.
例2 若直线l1：(m−2)x+3y+3=0与直线l2：2x+(m−1)y−2=0平行，则m=（ ）
A. 4B. −4C. 1或−4D. −1或4
【答案】A
【解析】若直线l1：(m−2)x+3y+3=0与直线l2：2x+(m−1)y−2=0平行，则(m−2)(m−1)=3×2=6，整理可得m2−3m−4=0，解得m=4或m=−1.
当m=4时，直线l1：2x+3y+3=0与直线l2：2x+3y−2=0平行，符合题意；
当m=−1时，直线l1：x−y−1=0与直线l2：x−y−1=0重合，不符合题意.
综上所述，m=4.
例3 数学家欧拉发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(0,2)，B(−1,0)，C(4,0)，则△ABC的欧拉线方程为（ ）
A. 4x−3y−6=0B. 3x+4y+3=0
C. 4x+3y−6=0D. 3x+4y−3=0
【答案】C
【解析】因为△ABC的顶点分别为A(0,2)，B(−1,0)，C(4,0)，所以△ABC的重心为G(1,23).因为kAB=2，kAC=−12，所以kAB⋅kAC=−1，所以AB⊥AC，所以△ABC的外心为BC的中点D(32,0).因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC的欧拉线为直线GD，所以△ABC的欧拉线方程为y−023−0=x−321−32，即4x+3y−6=0.故选C.
归纳总结
解决两条直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
考点二 两直线的交点与距离问题
例4 已知直线3x−4y+6=0与直线3x−4y+m=0间的距离为2，则m=（ ）
A. −8或4B. 4C. −4或6D. −4或16
【答案】D
【解析】由题意可知，直线3x−4y+6=0与直线3x−4y+m=0平行，所以m≠6，
因为直线3x−4y+6=0与直线3x−4y+m=0间的距离为2，所以|6−m|32+(−4)2=2，解得m=−4或m=16.故选D.
例5 直线2x+3y−k=0和直线x−ky+12=0的交点在x轴上，则k的值为（ ）
A. −24B. 24C. 6D. ±6
【答案】A
【解析】解法一：联立2x+3y−k=0,x−ky+12=0,解得x=k2−363+2k,y=k+243+2k,因为直线2x+3y−k=0和直线x−ky+12=0的交点在x轴上，所以y=k+243+2k=0，解得k=−24.故选A.
解法二：直线2x+3y−k=0与x轴的交点的坐标为(k2,0)，直线x−ky+12=0与x轴的交点的坐标为(−12,0)，由题意得k2=−12，解得k=−24.故选A.
例6 （经典高考）点(0,−1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 2
【答案】B
【解析】解法一：点(0,−1)到直线y=k(x+1)的距离d=|k+1|k2+1，因为k2+1≥2k,当且仅当k=1时取等号，所以2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,即|k+1|≤k2+1⋅2，所以d=|k+1|k2+1≤2，故点(0,−1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为2.故选B.
解法二：设P(−1,0),Q(0,−1),易知直线l:y=k(x+1)是过点P(−1,0)且斜率存在的直线，直线l与直线PQ垂直时，点Q(0,−1)到直线l的距离最大，为|PQ|=2，故选B.
考点三 对称问题
角度1 点关于直线的对称
例7 点P(−1,3)关于直线x−y=0的对称点为Q，则点Q的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(3,−1)
【解析】设A(−1,3)关于直线x−y=0的对称点为Q(a,b)，则由对称关系可得b−3a+1×1=−1,a−12−b+32=0,解得a=3,b=−1,所以点Q的坐标为(3,−1).
角度2 直线关于点的中心对称
例8 直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称的直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】2x+11y−38=0
【解析】解法一：由中心对称的性质知，所求直线与已知直线平行，故可设所求的直线方程为2x+11y+c=0(c≠16).由点到直线的距离公式，得|11+16|22+112=|11+c|22+112，即|11+c|=27，解得c=16（舍去）或c=−38.故所求的直线方程为2x+11y−38=0.
解法二：在直线2x+11y+16=0上取一点A(−8,0)，则点A(−8,0)关于P(0,1)对称的点为B(8,2).由中心对称的性质知，所求直线与已知直线平行，故可设所求的直线方程为2x+11y+c=0(c≠16).将B(8,2)代入，解得c=−38.故所求的直线方程为2x+11y−38=0.
角度3 直线关于直线的对称
例9 直线l1：x−y−2=0关于直线l2：x+2y+1=0对称的直线l的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】7x−y−8=0
【解析】由题意知，直线l1与l2相交，由x−y−2=0,x+2y+1=0,解得x=1,y=−1,即l1与l2的交点的坐标为(1,−1).在直线l1上取一点A(0,−2)，设点A关于直线l2对称的点为A′(x,y)，则y+2x×−12=−1,x2+2×y−22+1=0,解得x=65,y=25,
即A′(65,25).所以直线l的方程为y+125+1=x−165−1，即7x−y−8=0.
变式．直线l1：x−y−1=0关于直线l2：x−y+1=0对称的直线l的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】x−y+3=0
【解析】根据题意可设直线l的方程为x−y+c=0(c≠±1)，在直线l1：x−y−1=0上取一点M(1,0)，易得点M关于直线l2：x−y+1=0对称的点为N(−1,2)，将点N的坐标代入方程x−y+c=0，解得c=3，故直线l的方程为x−y+3=0.
归纳总结
对称问题的类型和处理方法
（1）点关于点对称：
利用中点坐标公式找关系求解.
（2）直线关于点对称：
①在已知直线上任取两点,利用点关于点对称，求出对称点的坐标,利用两点式求出直线方程.
②在已知直线上任取一点，求其对称点的坐标,利用关于一点对称的两条直线平行,求出直线方程.
（3）直线关于直线对称：
①若直线与对称轴平行，则可在直线上任取一点，求出该点关于对称轴对称的点的坐标，然后利用点斜式求出直线方程.
②若直线与对称轴相交，则先求出交点的坐标，然后取直线上除交点外一点，求该点关于对称轴对称的点的坐标，最后利用两点式求出直线方程.位置关系
l1 ，l2 满足的条件
l3 ，l4 满足的条件
平行
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
A1B2−A2B1=0，且A1C2−A2C1≠0（或B1C2−B2C1≠0）
垂直
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
相交
k1≠k2
A1B2−A2B1≠0
距离
条件
公式
两点间的距离
点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)
|P1P2|=(x2−x1)2+(y2−y1)2
点到直线的距离
点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d
d= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
两条平行直线间的距离
直线Ax+By+C1=0到直线Ax+By+C2=0的距离为d
d= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _