2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 022-能力提升3 导数与不等式恒（能）成立问题（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 022-能力提升3 导数与不等式恒（能）成立问题（教用），共15页。试卷主要包含了分离参数法求参数的范围，分类讨论法求参数的范围，双变量的恒成立问题等内容，欢迎下载使用。
能力提升3 导数与不等式恒（能）成立问题
含参不等式恒（能）成立问题是高考的“常青树”，利用导数研究含参不等式恒（能）成立问题时，一般能分离参数的先分离参数，若不能分离参数或分离参数后不能求最值，则常用最值转化法和分类讨论法求参数的取值范围.
题型一 分离参数法求参数的范围
例1 （2025·湖北武汉三模）已知函数f(x)=ex−ax.
（1） 若a=1，求f(x)的单调区间；
（2） 当x≥0时,f(x)≥x，求实数a的取值范围.
【解析】
（1） 由题知，当a=1时,f(x)=ex−x，所以f′(x)=ex−1.
令f′(x)=0，得ex−1=0，解得x=0.
当x0，则f(x)在(0,+∞)上单调递增.
综上,f(x)的单调递减区间是(−∞,0)，单调递增区间是(0,+∞).
（2） 当x≥0时,f(x)≥x，即ex−ax≥x，得ex−(a+1)x≥0.
当x=0时，e0−(a+1)×0=1≥0，此时a可以取任意实数.
当x>0时，ex−(a+1)x≥0可化为a≤exx−1，
令g(x)=exx−1(x>0)，得g′(x)=ex⋅x−exx2=ex(x−1)x2，
令g′(x)=0，即ex(x−1)x2=0，解得x=1，
当00，则f(x)≥0⇒(x2−x)lnx−ax≥0⇒(x2−x)lnx≥ax⇒a≤(x−1)lnx在(0,+∞)上恒成立.
令g(x)=(x−1)lnx，
则g′(x)=lnx+x−1x=lnx+1−1x，
因为函数y=lnx，y=1−1x在(0,+∞)上均单调递增，所以g′(x)在(0,+∞)上单调递增，又g′(1)=0，
所以当x∈(0,1)时，g′(x)0，即g(x)在(1,+∞)上单调递增.
所以a≤g(x)min=g(1)=0，所以实数a的最大值为0.
（2） 不等式f(x)+ex≤0在(12,+∞)上有解，即a≥(x−1)lnx+exx在(12,+∞)上有解，
令ℎ(x)=(x−1)lnx+exx，x>12,则ℎ′(x)=lnx+1−1x+(x−1)exx2=lnx+(x−1)(x+ex)x2，
令ℎ′(x)=0，得x=1，
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增；
当x∈(12,1)时，ℎ′(x)12)在x=1处取得最小值，为ℎ(1)=e，所以a≥e，
即实数a的取值范围为[e,+∞).
题型二 分类讨论法求参数的范围
例2 ［2024·全国甲卷（理）·21，12分］已知函数f(x)=(1−ax)ln(1+x)−x.
（1） 若a=−2，求f(x)的极值；
（2） 当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
【解析】
（1） 易知f(x)的定义域为(−1,+∞)，
当a=−2时,f(x)=(1+2x)ln(1+x)−x，
f′(x)=2ln(1+x)+1+2x1+x−1=2ln(1+x)+x1+x，
令m(x)=2ln(1+x)+x1+x(x>−1),则m′(x)=21+x+1(1+x)2，当x>−1时，m′(x)>0恒成立，
所以函数m(x)在(−1,+∞)上单调递增，又因为m(0)=0，
所以当−1