2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 024-第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 024-第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系（教用），共15页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
课标要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
回归教材 强基础
1．直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)与圆M:(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)的位置关系的判断
【答案】=； >； >； =
教材挖掘（人教A版选择性必修第一册P92例2）
切点弦的方程
过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l，求切线l的方程.
由上面题目可以总结出过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
那么，过圆x2+y2=r2(r>0)外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程也为x0x+y0y=r2.证明思路如下：
已知圆的方程是x2+y2=r2(r>0),圆外一点为M(x0,y0),切点为A，B.
设切点为A(x1,y1),根据圆的切线的性质，得过A(x1,y1)的切线方程为x1x+y1y=r2,又点M(x0,y0)在切线上，所以切点A的坐标满足x0x1+y0y1=r2.
同理可得,切点B的坐标也满足类似的式子.
这说明A,B都在直线x0x+y0y=r2上,所以这条直线就是AB的方程.
由此得出切点弦方程的延伸结论如下：
（1）过圆(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2.
（2）过圆(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2.
2．圆与圆的位置关系的判断
（1）几何法
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
（2）代数法
通过两圆的方程组成的方程组的公共解的个数进行判断.
【答案】=； =
3．直线被圆截得的弦长
（1）几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）代数法：设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)相交于M，N两点，则|MN|=1+k2⋅(xM+xN)2−4xMxN.
【答案】2r2−d2
常考结论
圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆的位置关系与公切线的条数
①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；
④外切：3条；⑤外离：4条.
（2）两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0①，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0②，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线的方程由①−②可得，即(D1−D2)x+(E1−E2)y+(F1−F2)=0.
（3）两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)；
②过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠−1)（其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解）.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 若直线的方程与圆的方程组成的方程组有实数解，则直线与圆相交或相切.（ ）
（2） 若两个圆的方程组成的方程组无实数解，则这两个圆的位置关系为外离.（ ）
（3） 若一条直线平分圆的周长，则该直线一定过圆心.（ ）
（4） 若两圆相切，则有且只有一条公切线.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．（人教A版选择性必修第一册P93练习T3改编）直线x−2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A. 3B. 23C. 5D. 25
【答案】B
【解析】因为圆x2+y2=8的圆心为(0,0)，半径为22，所以圆心到直线x−2y+5=0的距离d=|5|12+(−2)2=5，所以|AB|=28−5=23.
3．圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2−8x−6y+16=0的位置关系是（ ）
A. 外切B. 相交C. 外离D. 内切
【答案】A
【解析】圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1=2，圆C2的方程可化为(x−4)2+(y−3)2=9，∴ 圆C2的圆心为C2(4,3)，半径r2=3，
∴|C1C2|=(4−0)2+(3−0)2=5=r1+r2，故两圆外切.
4．易错 已知圆C:(x−2)2+(y−3)2=4和点P(4,−1),过点P作直线l,当直线l与圆C相切时,直线l的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】x=4或3x+4y−8=0
【解析】圆C的圆心为(2,3),半径r=2.∵(4−2)2+(−1−3)2=20>4,∴ 点P在圆外.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=4,此时圆C与直线l相切;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x−4),即kx−y−4k−1=0,
则|2k−3−4k−1|1+k2=2,解得k=−34,所以直线l的方程为3x+4y−8=0.
综上,直线l的方程为x=4或3x+4y−8=0.
易错分析
易忽略过圆外一点可作圆的两条切线而致误.
突破核心 提能力
考点一 直线与圆的位置关系
例1 直线l:mx−y+1−m=0与圆C:x2+(y−1)2=5的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
【答案】A
【解析】解法一（代数法）：由mx−y+1−m=0,x2+(y−1)2=5,消去y,整理得(1+m2)⋅x2−2m2x+m2−5=0,因为Δ=16m2+20>0,所以直线l与圆C相交.
解法二（几何法）：由题意知,圆心C(0,1)到直线l的距离d=|m|m2+1