2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 020-第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程（教用）

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课标要求
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.
回归教材 强基础
1.直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量.
2．直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角.
（2）范围：直线的倾斜角α 的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】0∘≤α0时，直线的斜率k=a2+12a=a+1a2≥2a⋅1a2=22=1，当且仅当a=1时取等号，∴k≥1，即直线的倾斜角的取值范围为[π4,π2)；
当a0，
因为直线l过点M(2,1)，所以2a+1b=1，则1=2a+1b≥22ab，故ab≥8，
当且仅当2a=1b=12时取等号，
故S△AOB的最小值为12×8=4，
此时a=4，b=2，故直线l的方程为x4+y2=1，即x+2y−4=0.
变式1．在本例条件下，当|OA|+|OB|取得最小值时，求直线l的方程.
【解析】由本例解法二知，2a+1b=1，a>0，b>0，
所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)⋅(2a+1b)=3+ab+2ba≥3+22，
当且仅当ab=2ba，即a=2+2，b=1+2时等号成立，
所以当|OA|+|OB|取得最小值时，直线l的方程为x+2y−2−2=0.
变式2．在本例条件下，当|MA|⋅|MB|取得最小值时，求直线l的方程.
【解析】解法一：由本例解法一知A(2−1k,0)，B(0,1−2k)(k0，b>0，2a+1b=1，
所以|MA|⋅|MB|=|MA|⋅|MB|=−MA⋅MB=2(a−2)+b−1=2a+b−5=(2a+b)⋅(2a+1b)−5=2(ba+ab)≥4，
当且仅当a=b=3时取等号，
此时直线l的方程为x+y−3=0.
归纳总结
1.求解直线过定点问题时，一般先将题目给出的方程合并同类项，含参数的作为一项，不含参数的作为另一项，然后利用方程思想得到定点坐标.
2.处理直线方程综合应用的两大策略
（1）求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.
（2）含有参数的直线方程可以看作直线系方程，这时要整理成过定点（或平行）的直线系方程，即能够看出“动中有定”.
提醒：涉及直线的截距时，一般将直线方程设为截距式.条件
公式
直线的倾斜角为θ ，且θ≠90∘
k=tanθ
直线过点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1≠x2
k= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
直线的一个方向向量的坐标为(x,y),且x≠0
k= _ _ _ _ _ _
名称
方程
适用范围
点斜式
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y=kx+b
两点式
y−y1y2−y1=x−x1x2−x1（其中x1≠x2,y1≠y2）
不含垂直于两坐标轴的直线
截距式
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
不含垂直于两坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）
平面直角坐标系内的所有直线都适用
α的大小
0≤α