2025高考数学一轮复习-8.2-两条直线的位置关系-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.2-两条直线的位置关系-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为( )
A．25 B．55
C．5 D．255
2．已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝( )
A．4 B．2
C．12 D．14
4．当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为( )
A．2 B．0
C．－1 D．1
5．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A．23 B．25
C．2 D．4
6．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)，若直线l上存在点P，使得|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为( )
A．(－2，－3) B．(－2，3)
C．(2，3) D．(－2，2)
7．光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有( )
A．a＝13，b＝6 B．a＝－3，b＝16
C．a＝3，b＝－16 D．a＝－13，b＝－6
8．已知实数a＞0，b＜0，则3b−aa2+b2的取值范围是( )
A．[－2，－1) B．(－2，－1)
C．(－2，－1] D．[－2，－1]
二、多项选择题
9．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，则直线l2的方程为( )
A．x＝1 B．y＝－1
C．3x＋4y＋1＝0 D．4x＋3y－1＝0
10．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是( )
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是2
三、填空题
11．已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为________．
12．若直线l1：x＋my＋6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，则m的值为________，它们之间的距离为________．
四、解答题
13．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
14．一条光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：
(1)入射光线所在直线的方程；
(2)这条光线从P到Q所经过的路线的长度．
参考答案
1．C [由题意得d＝2−10+31+4＝5.故选C.]
2．B [若l1⊥l2，则(3－a)a－2×1＝0，解得a＝1或a＝2，所以“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选B.]
3．A [直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点，
满足y=−2x+4，y=x+2，解得x=23，y=83，
由于该点在直线y＝kx上，
故2k3＝83，解得k＝4.故选A.]
4．C [直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2，1)，
所以点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，PQ垂直该直线，即m×2−13−2＝－1，所以m＝－1.故选C.]
5．B [因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，
直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为1−312+−22＝25，
3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为c1−c232+42＝c1−c25，
于是有c1−c25＝25，得|c1－c2|＝25.故选B.]
6．B [根据题意画出大致图象，如图．
设点A关于直线x－2y＋8＝0的对称点为A1(m，n)，
则有n−0m−2×12=−1，m+22−2×n+02+8=0，
解得m=−2，n=8．故A1(－2，8)．
此时直线A1B的方程为x＝－2．所以当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，|PA|＋|PB|最小，将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为(－2，3)．故选B.]
7．D [由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点(0，2)关于直线y＝－x的对称点(－2，0)在直线y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6，0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－13.故选D.]
8．A [根据题意，设直线l：ax＋by＝0恒过原点，点A(1，－3)，
那么点A(1，－3)到直线l的距离为
d＝a−3ba2+b2.
因为a＞0，b＜0，所以d＝a−3ba2+b2，且直线l的斜率k＝－ab＞0，当直线l的斜率不存在时，d＝a−3ba2+b2＝1，
所以d＞1.
当OA⊥l时，dmax＝|OA|＝1+3＝2，
所以1＜d≤2，即1＜a−3ba2+b2≤2，
因为3b−aa2+b2＝－a−3ba2+b2，
所以－2≤3b−aa2+b2＜－1.故选A.]
9．AC [因为点B在直线l1：2x＋y－6＝0上，设点B(x0，6－2x0)，因为A(1，－1)，则|AB|＝x0−12+7−2x02＝5，解得x0＝1或x0＝5，则B点坐标为(1，4)或(5，－4)．
当B点坐标为(1，4)时，直线l2的方程为x＝1，
当B点坐标为(5，－4)时，直线l2的方程为y+1−4+1＝x−15−1，即3x＋4y＋1＝0.故选AC.]
10．ABD [∵a·1＋(－1)·a＝0恒成立，
∴l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0，1)；
l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确；
在l1上任取点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，
代入l2：x＋ay＋1＝0，则等式左边不恒等于0，C不正确；
联立ax−y+1=0，x+ay+1=0， 解得x=−a−1a2+1，y=−a+1a2+1，
所以|MO|＝−a−1a2+12+−a+1a2+12＝2a2+1≤2，
所以|MO|的最大值是2，D正确．故选ABD.]
11．2x＋3y－1＝0 [∵P(2，3)在已知的两条直线上，∴2a1+3b1=1，2a2+3b2=1．
∴点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x＋3y－1＝0上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y－1＝0．]
12．－1 823 [由题知，1×3＝m(m－2)且1×2m≠6(m－2)，解得m＝－1，则l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，则两平行直线间的距离为d＝6−232＝823.]
13．解：依题意知kAC＝－2，A(5，1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得2x+y−11=0，2x−y−5=0，所以C(4，3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为x0+52，y0+12，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以2x0−y0−1=0，x0−2y0−5=0，所以B(－1，－3)，所以kBC＝65，所以直线BC的方程为y－3＝65(x－4)，即6x－5y－9＝0.
14．解：(1)设点Q′(x′，y′)为点Q关于直线l的对称点，QQ′交l于点M，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1，∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0.
由x+y+1=0，x−y=0，解得x=−12，y=−12，
∴交点M−12，−12，∴1+x'2=−12，1+y'2=−12，
解得x'=−2，y'=−2， ∴Q′(－2，－2)．
设入射光线与l交于点N，则P，N，Q′三点共线，
又P(2，3)，Q′(－2，－2)，
∴入射光线所在直线的方程为y−−23−−2＝x−−22−−2，
即5x－4y＋2＝0.
(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|
＝2−−22+3−−22＝41，
即这条光线从P到Q所经路线的长度为41