2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 022-第三节 圆的方程（教用）

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第三节 圆的方程
课标要求
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
回归教材 强基础
1．圆的定义和圆的方程
【答案】定点； 定长； (a,b)； (−D2,−E2)； 12D2+E2−4F
教材挖掘（人教A版选择性必修第一册P89习题T10）
圆的参数方程
在平面直角坐标系中，如果点P的坐标(x,y)满足x=a+rcsθ,y=b+rsinθ,其中θ 为参数，r>0.证明：点P的轨迹是圆心为(a,b)，半径为r的圆.
由此挖掘：若圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2,r>0，则圆上任意一点P(x,y)的坐标可以表示为x=a+rcsθ,y=b+rsinθ,其中θ 为参数.
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆C：(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)的位置关系：
常考结论
1.圆的“直径式”方程
若圆的一条直径的端点分别是A(x1,y1)，B(x2,y2),则圆的方程是(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0.
2.圆的性质
（1）圆心在圆的任意弦的垂直平分线上.
（2）圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆.（ ）
（2） 若圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=m2(m≠0)，则圆心为(a,b)，半径为m.（ ）
（3） 利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系.（ ）
（4） 圆x2+2x+y2+y=0的圆心坐标是(−1,−12).（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） ×
（4） √
2．若圆C:(x−a)2+(y−4a)2=4被直线l:3x−y+2=0平分，则a=（ ）
A. 12B. 1C. 32D. 2
【答案】D
【解析】由题意得，圆心(a,4a)在直线l:3x−y+2=0上，则3a−4a+2=0，解得a=2.故选D.
3．（人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编）已知点A(1,−1)，B(−1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是（ ）
A. x2+y2=2B. x2+y2=2C. x2+y2=1D. x2+y2=4
【答案】A
【解析】解法一：由题意得，线段AB的中点为(0,0)，|AB|=22，所以圆的方程为x2+y2=2.
解法二：以AB为直径的圆的方程为(x−1)⋅(x+1)+(y+1)(y−1)=0，即x2+y2=2.
4．易错 已知点P(1,2)为圆x2+y2+x−4y+m=0外一点，则实数m的取值范围为（ ）
A. (2,+∞)B. (−∞,174)C. (2,174]D. (2,174)
【答案】D
【解析】因为P(1,2)在圆外，所以12+22+1−8+m>0，解得m>2.又x2+y2+x−4y+m=0表示圆，所以12+(−4)2−4m>0，解得m0，解得a>−2，因此，实数a的取值范围是(−2,+∞).
例2 [2022·全国乙卷（理）·14，5分］过四点(0,0)，(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(x−2)2+(y−3)2=13(或(x−2)2+(y−1)2=5或(x−43)2+(y−73)2=659或(x−85)2+(y−1)2=16925)
【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，
若圆过(0,0)，(4,0)，(−1,1)三点，
则F=0,16+4D+F=0,1+1−D+E+F=0,解得F=0,D=−4,E=−6,
所以圆的方程为x2+y2−4x−6y=0，即(x−2)2+(y−3)2=13；
若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，
则F=0,16+4D+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得F=0,D=−4,E=−2,
所以圆的方程为x2+y2−4x−2y=0，即(x−2)2+(y−1)2=5；
若圆过(0,0)，(−1,1)，(4,2)三点，
则F=0,1+1−D+E+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得F=0,D=−83,E=−143,
所以圆的方程为x2+y2−83x−143y=0，
即(x−43)2+(y−73)2=659；
若圆过(−1,1)，(4,0)，(4,2)三点，
则1+1−D+E+F=0,16+4D+F=0,16+4+4D+2E+F=0,解得F=−165,D=−165,E=−2,
所以圆的方程为x2+y2−165x−2y−165=0，即(x−85)2+(y−1)2=16925.
例3 ［2022·全国甲卷（文）·14，5分］设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(x−1)2+(y+1)2=5
【解析】设⊙M的半径为r.
解法一：设点M的坐标为(a,1−2a)，∵ 点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴ 点M到两点的距离相等且为半径r，∴(a−3)2+(1−2a)2=a2+(−2a)2=r，解得a=1，∴M(1,−1)，r=5，∴⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.
解法二：由题可知，点M是以点(3,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线y=3x−4与直线2x+y−1=0的交点，
∴M(1,−1),r=5,∴⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.
归纳总结
求圆的方程的两种方法
（1）待定系数法：
①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
（2）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程.
考点二 与圆有关的轨迹方程
例4 （2025·江苏连云港模拟）已知线段AB的端点B的坐标是(5,3)，端点A在圆x2+y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为（ ）
A. (x−32)2+(y−32)2=1B. (x−12)2+(y−32)2=1
C. (x−52)2+(y+32)2=1D. (x−52)2+(y−32)2=1
【答案】D
【解析】设A(a,b)，M(x,y)，由M为线段AB的中点，得x=5+a2,y=3+b2,即a=2x−5,b=2y−3,又点A在圆x2+y2=4上，所以a2+b2=4，即(2x−5)2+(2y−3)2=4，化简可得(x−52)2+(y−32)2=1.
例5 由动点P向圆M:(x+2)2+(y+3)2=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，若四边形APBM为正方形，则动点P的轨迹方程为（ ）
A. (x+2)2+(y+3)2=4B. (x+2)2+(y+3)2=2
C. (x−2)2+(y−3)2=4D. (x−2)2+(y−3)2=2
【答案】B
【解析】连接MP,因为四边形APBM为正方形，且|MA|=|MB|=1,所以|MP|=2,故动点P的轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，其方程为(x+2)2+(y+3)2=2.故选B.
例6 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(−1,0)，B(3,0)，则顶点C的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(x−1)2+y2=4(y≠0)
【解析】解法一：设顶点C(x,y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC,所以BC，AC的斜率均存在，所以kAC⋅kBC=−1，又kAC=yx+1，kBC=yx−3，所以yx+1⋅yx−3=−1，即x2+y2−2x−3=0，所以顶点C的轨迹方程为x2+y2−2x−3=0(y≠0)，即(x−1)2+y2=4(y≠0).
解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1,0).由直角三角形的性质，知CD=12AB=2.由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆，因为A，B，C三点不共线，所以应除去点A,B.设C(x,y)，则顶点C的轨迹方程为(x−1)2+y2=4(y≠0).
变式．设定点M(−5,0)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP(O为坐标原点)，则点P的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(x+5)2+y2=4(y≠0)
【解析】设P(x,y)，N(x0,y0)，则线段OP的中点坐标为(x2,y2)，线段MN的中点坐标为(x0−52,y02).由平行四边形的对角线互相平分，得x2=x0−52,y2=y02,
故x0=x+5,y0=y.
因为点N(x+5,y)在圆x2+y2=4上，所以(x+5)2+y2=4.
易知当动点P在x轴上时不满足条件，
所以点P的轨迹方程为(x+5)2+y2=4(y≠0).
归纳总结
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，常采用代入法（或称相关点法）.
（2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不符合题设条件的点或线等.
考点三 与圆有关的最值问题
角度1 利用几何性质求最值
例7 已知实数x，y满足方程x2+y2−4x+1=0.求：
（1） yx的最大值和最小值；
（2） y−x的最大值和最小值；
（3） x2+y2的最大值和最小值.
【解析】
例7 原方程可化为(x−2)2+y2=3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.
（1） yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx=k，即y=kx.
当直线y=kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值（如图1），
此时|2k−0|k2+1=3，解得k=±3.
所以yx的最大值为3，最小值为−3.
（2） y−x可以看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，直线在y轴上的截距b取得最大值或最小值（如图2），
此时|2−0+b|2=3，解得b=−2±6.
所以y−x的最大值为−2+6，最小值为−2−6.
（3） x2+y2表示圆上的一点到原点的距离的平方，由平面几何知识知，x2+y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最大值、最小值（如图3）.
又圆心到原点的距离为2，所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43，最小值是(2−3)2=7−43.
变式．已知实数x,y满足x2+y2−4x−2y−4=0,则x−y的最大值是 （ ）
A. 1+322B. 4C. 1+32D. 7
【答案】C
【解析】解法一：由x2+y2−4x−2y−4=0，得(x−2)2+(y−1)2=9，设x−y=k，则圆心到直线x−y=k的距离d=|2−1−k|2≤3，解得1−32≤k≤1+32，∴x−y的最大值是32+1.故选C.
解法二：由x2+y2−4x−2y−4=0，得(x−2)2+(y−1)2=9，易得其参数方程为x=3csθ+2,y=3sinθ+1,θ 为参数，则x−y=3csθ−3sinθ+1=32cs(θ+π4)+1≤32+1，
故x−y的最大值是32+1.故选C.
解法三：令x−y=k，则x=k+y，代入x2+y2−4x−2y−4=0并化简得2y2+(2k−6)y+k2−4k−4=0，∵ 存在实数y，∴Δ≥0，即(2k−6)2−4×2(k2−4k−4)≥0，化简得k2−2k−17≤0，解得1−32≤k≤1+32，故x−y的最大值是32+1.故选C.
角度2 利用对称性求最值
例8 已知N是曲线C:x2+y2−6x−2y+9=0上的动点，P是直线x+2y+2=0上的一个动点，M(−1,2),则|PM|+|PN|的最小值是（ ）
A. 17−1B. 17C. 35−1D. 35
【答案】C
【解析】x2+y2−6x−2y+9=0可转化为(x−3)2+(y−1)2=1，则曲线C是以C(3,1)为圆心，1为半径的圆，
设M(−1,2)关于直线x+2y+2=0的对称点为M′(m,n)，则n−2m+1=2,m−12+2×n+22+2=0,解得m=−3,n=−2,即M′(−3,−2)，
连接M′C，当点P运动到M′C与直线的交点处，点N运动到M′C与圆的交点处时，|PM|+|PN|取得最小值,故|PM|+|PN|≥|PM|+|PC|−1=|PM′|+|PC|−1≥|M′C|−1=35−1，当且仅当P,M′,C三点共线时，等号成立，所以|PM|+|PN|的最小值是35−1，故选C.
变式．已知M，N分别是曲线C1：x2+y2−4x−4y+7=0，C2：x2+y2−2x=0上的两个动点，P为直线x+y+1=0上的一个动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 2D. 3
【答案】D
【解析】曲线C1：x2+y2−4x−4y+7=0可转化为(x−2)2+(y−2)2=1，则曲线C1是以C1(2,2)为圆心，1为半径的圆；曲线C2：x2+y2−2x=0可转化为(x−1)2+y2=1，则曲线C2是以C2(1,0)为圆心，1为半径的圆.
易知|PM|的最小值为|PC1|−1，|PN|的最小值为|PC2|−1，所以|PM|+|PN|的最小值即为|PC1|+|PC2|−2的最小值.
作C2关于直线x+y+1=0对称的点B，设其坐标为(m,n)，则nm−1=1,m+12+n2+1=0,
解得m=−1，n=−2，即B(−1,−2).
连接BC1，当点P运动到BC1与直线的交点处时，|PC1|+|PC2|取得最小值，可得|PC1|+|PC2|=|PC1|+|PB|≥|BC1|=(2+1)2+(2+2)2=5，当且仅当B，P，C1三点共线时，等号成立，所以|PM|+|PN|的最小值为5−2=3.故选D.
角度3 利用函数关系求最值
例9 设点P(x,y)是圆x2+(y−3)2=1上的动点，定点A(2,0)，B(−2,0)，则PA⋅PB的最大值为_ _ _ _ .
【答案】12
【解析】解法一：由题意知PA=(2−x,−y)，PB=(−2−x,−y)，所以PA⋅PB=x2+y2−4，由于点P(x,y)是圆上的点，所以其坐标满足方程x2+(y−3)2=1，即x2=−(y−3)2+1，所以PA⋅PB=−(y−3)2+1+y2−4=6y−12.由圆的方程x2+(y−3)2=1，得2≤y≤4，所以当y=4时，PA⋅PB取得最大值，为6×4−12=12.
解法二：由向量的极化恒等式，得PA⋅PB=PO2−AO2=PO2−4，由于点P在圆x2+(y−3)2=1上，所以当点P的坐标为(0,4)时，PO2取得最大值16，所以PA⋅PB的最大值为16−4=12.
归纳总结
1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法
（1）斜率型：形如μ=y−bx−a 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.
（2）截距型：形如t=ax+by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.
（3）距离型：形如m=(x−a)2+(y−b)2 形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
2.建立函数关系式求最值问题的解题策略
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法或基本不等式等求最值.
3.求解形如|PM|+|PN|（其中M，N均为动点）且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路
（1）“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
（2）“曲化直”：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.定义
平面内到_ _ _ _ 的距离等于_ _ _ _ 的点的集合叫做圆
方程
标准
(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)
圆心为_ _ _ _ _ _ _ _
半径为r
一般
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)
圆心为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
半径为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _