2027届高三数学一轮复习训练：课时规范练20　利用导数研究不等式恒(能)成立问题（含答案）

这是一份2027届高三数学一轮复习训练：课时规范练20　利用导数研究不等式恒(能)成立问题（含答案），共14页。试卷主要包含了设函数f=x,g=1+ln x等内容，欢迎下载使用。
1.(15分)已知函数f(x)=ln x-mx2+(1-2m)x+1.
(1)若m=1,求f(x)的极值;
(2)若对于任意x>0,f(x)≤0恒成立,求整数m的最小值.
2.(15分)已知函数f(x)=ax2-ln x+(2a-1)x,其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调区间;
(2)设a>0,若不等式f(x)+e2≥0对x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围.
3.(17分)(2026·江苏苏州高三期中)设函数f(x)=x(a+ex)(a∈R),g(x)=1+ln x.
(1)试求函数y=f'(x)的极值;
(2)若函数y=f(x)+ag(x)(a∈R)在(0,+∞)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围;
(3)若f(x)≥g(x)在(0,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.
4.(17分)(2025·江西宜春高三模拟)已知函数f(x)=tx+mt-x(t>0,且t≠1),其中m∈R.
(1)当m=2时,求f(x)的最小值.
(2)判断函数f(x)的图象是否有对称中心.若有,请求出对称中心;若无,请说明理由.
(3)当m=0时,对任意x∈(-∞,12),都有f(x)≤11-2x,求实数t的取值集合.
参考答案
1.解 (1)当m=1时,f(x)=ln x-x2-x+1,f'(x)=1x-2x-1=-(x+1)(2x-1)x.由于定义域为(0,+∞),所以当00;当x∈(x0,+∞)时,φ(x)0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为g(1e)=0,所以ln(2a)-14a+1+e2≥0⇔g(2a)≥g(1e),所以2a≥1e,即a≥12e,故a的取值范围是[12e,+∞).
3.解 (1)由函数f(x)=x(a+ex),可得f'(x)=a+(x+1)ex,
令m(x)=f'(x)=a+(x+1)ex,可得m'(x)=(x+2)ex,
故当x∈(-∞,-2)时,m'(x)0,函数y=f'(x)单调递增,
所以函数y=f'(x)在x=-2处取得极小值f'(-2)=a-e-2,无极大值.
(2)因为函数f(x)=x(a+ex)(a∈R),g(x)=1+ln x,
所以函数y=f(x)+ag(x)=x(a+ex)+a+aln x,x∈(0,+∞),可得y'=a+(x+1)ex+ax=x+1x(a+xex),
由x>0,可得x+1x>0,且易证y=xex在(0,+∞)内单调递增,又当x=0时,y=xex=0,故有xex∈(0,+∞).
①当a≥0时,可得y'=x+1x(a+xex)>0,函数y=f(x)+ag(x)在(0,+∞)内单调递增,故不存在单调递减区间;
②当a0,函数y=f(x)+ag(x)在(x0,+∞)内单调递增,
所以当a0,
所以q(x)=x2ex+ln x在(0,+∞)内单调递增.
因为q(1e)=e1e-2-10,
根据零点存在定理知,存在唯一x0∈(1e,1),有x02ex0+ln x0=0,即x0ex0=-ln x0x0,
且在(0,x0)内有q(x)0.
由p'(x)=-x2ex+lnxx2=-q(x)x2,得当x∈(0,x0)时,p'(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,p'(x)0,当m=2时,f(x)=tx+2t-x≥2tx·2t-x=22,
当且仅当tx=2t-x,即x=lgt2时取等号,所以f(x)的最小值为22.
(2)设点P(a,b)为函数f(x)图象的对称中心,则f(x)+f(2a-x)=2b恒成立,
所以tx+mt-x+t2a-x+mt-2a+x=2b恒成立,即tx(1+mt-2a)+t-x(m+t2a)=2b恒成立,所以t2x(1+mt-2a)-2btx+(m+t2a)=0恒成立,则1+mt-2a=0,-2b=0,m+t2a=0,即t2a=-m,b=0,当m≥0时,a无解,此时函数f(x)的图象没有对称中心,当m0,则g(x)在(-∞,12−1lnt)内单调递增;
当x∈(0,12−1lnt)时,g(x)>g(0)=0,舍去.
综上,t∈{e2}.