2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 023-培优进阶 阿波罗尼斯圆（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 023-培优进阶 阿波罗尼斯圆（教用），共15页。
培优进阶 阿波罗尼斯圆
平面内到两个定点A(−a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为常数λ(λ>0,且λ≠1)的点的轨迹是以C(λ2+1λ2−1a,0)为圆心，|2aλλ2−1|为半径的圆，这个圆叫做阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.
点拨当λ=1 时，轨迹为线段AB 的垂直平分线.
例1 多选 在平面直角坐标系xOy中，已知A(−1,0)，B(2,0)，动点P满足|PA||PB|=12，直线l:mx−y+m+1=0，则（ ）
A. 直线l过定点(−1,1)
B. 动点P的轨迹方程为(x+2)2+y2=4
C. 动点P到直线l的距离的最大值为2+1
D. 若点D的坐标为(−1,1)，则|PD|+2|PA|的最小值为10
【答案】ABD
【解析】对于A,直线l:mx−y+m+1=0，即m(x+1)−y+1=0，所以直线l过定点M(−1,1)，A正确；
对于B，设P(x,y)，因为动点P满足|PA||PB|=12，所以(x+1)2+y2(x−2)2+y2=12，整理得x2+y2+4x=0，即(x+2)2+y2=4，所以动点P的轨迹是以C(−2,0)为圆心，r=2为半径的圆，即动点P的轨迹方程为圆C:(x+2)2+y2=4，B正确；
对于C，当直线l与MC垂直时，动点P到直线l的距离取得最大值，为|MC|+r=(−2+1)2+(0−1)2+2=2+2，C错误；
对于D，由|PA||PB|=12，得2|PA|=|PB|，所以|PD|+2|PA|=|PD|+|PB|，又点D在圆C内，点B在圆C外，所以|PD|+2|PA|=|PD|+|PB|≥|BD|=10，当且仅当P为线段DB与圆C的交点时取等号,故D正确.故选ABD.
例2 若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA||PB|=3，则|PA|2+|PB|2的最大值为（ ）
A. 16+83B. 8+43C. 7+43D. 3+3
【答案】A
【解析】以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，取A(−1,0)，B(1,0).设P(x,y)，则(x+1)2+y2(x−1)2+y2=3，整理得(x−2)2+y2=3，所以点P的轨迹方程为(x−2)2+y2=3，则|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x−1)2+y2=2(x2+y2+1).
x2+y2可以看作圆(x−2)2+y2=3上的点(x,y)到原点(0,0)的距离的平方，所以(x2+y2)max=(2+3)2=7+43，所以[2(x2+y2+1)]max=16+83，即|PA|2+|PB|2的最大值为16+83.
归纳总结
解决与阿波罗尼斯圆有关的题目时的注意事项
（1）比例的方向性:|PA||PB|=k与|PB||PA|=k 对应的轨迹不同.
（2）排除特殊情况:当k=1 时,轨迹是中垂线,而非圆,需先判断k 是不是1.
（3）圆心与定点的位置关系:圆心一定在两定点的连线上,且与比例k 的大小直接相关.
培优训练
1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O:x2+y2=1，点A(−12,0)和点B(0,12)，M为圆O上的动点，则2|MA|−|MB|的最大值为（ ）
A. 52B. 172C. 32D. 22
【答案】B
【解析】设点M(x,y)，点C(m,n)满足2|MA|=|MC|，则|MA||MC|=12，
则(x+12)2+y2(x−m)2+(y−n)2=12，整理得x2+y2+2m+43x+2n3y=m2+n2−13，又M在圆O上，所以2m+43=0，2n3=0，解得m=−2，n=0，所以点C(−2,0)，所以2|MA|−|MB|=|MC|−|MB|≤|BC|,当且仅当C,B,M三点共线，且B在C,M之间时取等号，所以2|MA|−|MB|的最大值为|BC|=172.故选B.
2．已知在平面直角坐标系xOy中，A(2,2),B(−4,2)，点P满足|PA||PB|=12.
（1） 求P点的轨迹方程；
（2） 求过点Q(8,−4)且与点P的轨迹相切的直线l的方程.
【解析】
（1） 设P(x,y)，则|PA||PB|=(x−2)2+(y−2)2(x+4)2+(y−2)2=12，
化简得x2+y2−8x−4y+4=0，即(x−4)2+(y−2)2=16.
故P点的轨迹方程为(x−4)2+(y−2)2=16.
（2） 由（1）知，点P的轨迹是圆心为(4,2)，半径为4的圆，
当直线l的斜率不存在时，圆心(4,2)到直线x=8的距离为|8−4|=4，所以直线x=8是该圆的切线.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+4=k(x−8)，即kx−y−8k−4=0，
圆心(4,2)到直线l的距离为|4k−2−8k−4|k2+1=4，解得k=−512，则直线l的方程为5x+12y+8=0.
综上，直线l的方程为x=8或5x+12y+8=0.