2026届高考数学一轮总复习提能训练练案19导数与不等式恒能成立

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案19导数与不等式恒能成立，共7页。试卷主要包含了已知函数f＝x2ln x.等内容，欢迎下载使用。
1．(2025·福建泉州模拟)已知函数f(x)＝x2ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若存在x>0，使得f(x)≤ax成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)因为f′(x)＝x(2ln x＋1)，x>0，
令f′(x)＝0，解得x＝，
当x∈时，f′(x)0，f(x)单调递增，
则f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)依题意，存在x>0，使得a≥xln x，
令g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x＋1，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))时，g′(x)0，g(x)单调递增，
故g(x)min＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝－eq \f(1,e)，因此a≥－eq \f(1,e)，
故a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(a≥－\f(1,e))))).
2．已知函数f(x)＝eq \f(x2,2)－(m＋1)x＋mln x＋m，f′(x)为函数f(x)的导函数，若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范围．
[解析] 由题意知xf′(x)－f(x)≥0恒成立，
即eq \f(x2,2)－mln x≥0恒成立，∴eq \f(x2,2)≥mln x(x>0)．
【易错点】注意自变量的取值范围
当x＝1时，eq \f(x2,2)≥mln x恒成立，
当x>1时，eq \f(x2,2ln x)≥m；
当0