2025高考数学一轮复习-17.2-导数与不等式恒成立(能成立)问题-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-17.2-导数与不等式恒成立(能成立)问题-专项训练【含答案】，共5页。试卷主要包含了已知函数f=ln x-a，设函数f=ex等内容，欢迎下载使用。
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若存在x∈(0,+∞),使不等式f(x)≤g(x)-ex成立,求实数a的取值范围.
2.已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).
(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求实数a的取值范围.
3.设函数f(x)=(1+x-x2)ex(e=2.718 28…是自然对数的底数).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1+2x2恒成立,求实数a的取值范围.
4.已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求实数a的取值范围.
5.设f(x)=ax+xln x,g(x)=x3-x2-3.
(1)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,那么求满足上述条件的最大整数M;
(2)如果对于任意的s,t∈12,2,都有f(s)≥g(t)成立,那么求实数a的取值范围.
6.(2023泰州月考)已知函数f(x)=lnx+ax的最大值是12.
(1)求实数a的值;
(2)设函数g(x)=ex2,若∃x>0,使g(x)≤f(x)+k,求实数k的取值范围.
参考答案
1.解 (1)当a=1时,f(x)=x-ex,则f'(x)=1-ex,所以当x0),则问题转化为a≤lnxx2max(x>0).令h(x)=lnxx2,x>0,h'(x)=x-2xlnxx4=1-2lnxx3,
当00.设g(x)=ln x-a(x-1)x+1,则g'(x)=1x−2a(x+1)2=x2+2(1-a)x+1x(x+1)2,g(1)=0.
①当a≤2时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>0.
②当a>2时,令g'(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.由x2>1和x1x2=1得00.
所以f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上单调递减,在(-2,1)上单调递增.
(2)设F(x)=f(x)-(ax+1+2x2)(x≥0),F(0)=0,F'(x)=(2-x-x2)·ex-4x-a,F'(0)=2-a.
当a≥2时,F'(x)=(2-x-x2)ex-4x-a≤-(x+2)(x-1)ex-4x-2≤-(x+2)(x-1)ex-x-2=-(x+2)[(x-1)ex+1].设h(x)=(x-1)ex+1(x≥0),h'(x)=xex≥0,所以h(x)在[0,+∞)上单调递增,h(x)=(x-1)·ex+1≥h(0)=0,即F'(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,所以F(x)在[0,+∞)上单调递减,F(x)≤F(0)=0,所以f(x)≤ax+1+2x2在[0,+∞)上恒成立.当a0,则g'(x)=aex-1+1x2>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,即f'(x)在(0,+∞)上单调递增.当a=1时,f'(1)=0,则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(1)=1,∴f(x)≥1成立;当a>1时,00),求导得G'(x)=(x2+2x)ex2+1x,当x>0时,G'(x)>0,所以G(x)在(0,+∞)上单调递增.因为G(2e-2)=4e-4·e2e-22+ln2e-22=2(e2e-2-4-1)0,所以存在唯一的x0∈(2e-2,1),使得x02ex02+lnx02=0.当00,所以F(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.由x02ex02+lnx02=0,得x0ex0=2x0ln2x0=ln2x0·eln2x0.构造函数h(x)=xex(x>0),求导,得h'(x)=(x+1)ex>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增.又h(x0)=hln2x0,所以x0=ln 2-ln x0,所以k≥F(x0)=ex02−ln x0+1-ln2x0=1x0−1-x0x0=1.故实数k的取值范围是[1,+∞).