2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 023-能力提升4 利用导数证明不等式（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 023-能力提升4 利用导数证明不等式（教用），共15页。试卷主要包含了构造一个函数证明不等式，构造两个函数证明不等式，适当放缩证明不等式等内容，欢迎下载使用。
能力提升4 利用导数证明不等式
利用导数证明不等式问题是高考的常考题型，从近几年高考情况来看，利用导数证明不等式问题常与函数的性质、函数的极值等相结合，题目难度较大，解题方法多种多样，如：构造法、放缩法等，针对不同的题目，灵活使用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果.
题型一 构造一个函数证明不等式
例1 （2023· 新课标Ⅰ卷·19，12分）已知函数f(x)=a(ex+a)−x.
（1） 讨论f(x)的单调性；
（2） 证明：当a>0时，f(x)>2lna+32.
【解析】
（1） 因为f(x)=a(ex+a)−x，所以f′(x)=aex−1，
当a≤0时，f′(x)0时,令f′(x)>0,得x>−lna；令f′(x)0时,f(x)=a(ex+a)−x的最小值为f(−lna)=a(e−lna+a)+lna=1+a2+lna,
令g(a)=1+a2+lna−2lna−32=a2−lna−12,a∈(0,+∞)，
所以g′(a)=2a−1a,
令g′(a)>0,得a>22;令g′(a)2lna+32.
归纳总结
构造一个函数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形：将不等式f(x)>g(a)( 或f(x)0( 或f(x)−g(a)g(a)( 或f(x)max3sinxcsx+2.
【解析】
（1） 函数f(x)=mlnx+1x(m∈R)的定义域为(0,+∞).
当m=0时,f(x)=1x>0恒成立；
当m0时,f′(x)=mx−1x2=mx−1x2，
当x∈(0,1m)时,f′(x)0，所以f(x)在(1m,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(1m)=m−mlnm，
由不等式f(x)≥0恒成立，
得m−mlnm≥0⇔m(1−lnm)≥0⇔
1−lnm≥0⇔03sinxcsx+2，只需证x>3sinxcsx+2.
构造函数g(x)=x−3sinxcsx+2，x>0,
则g′(x)=1−3csx(csx+2)+3sin2x(csx+2)2=1−6csx+3(csx+2)2=(csx−1)2(csx+2)2≥0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以g(x)>g(0)=0，
所以x>3sinxcsx+2，所以xf(x)>3sinxcsx+2.
题型二 构造两个函数证明不等式
例2 已知函数f(x)=alnx+x.
（1） 讨论f(x)的单调性；
（2） 当a=1时，证明：xf(x)0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a0；
当x∈(0,−a)时，f′(x)3a2，
由f′(x)