2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 035-能力提升7 解三角形中的综合问题（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 035-能力提升7 解三角形中的综合问题（教用），共15页。试卷主要包含了平面几何中的解三角形，最值与范围问题等内容，欢迎下载使用。
能力提升7 解三角形中的综合问题
解三角形在高考中经常以解答题的形式进行考查，多与三角形的周长、面积有关，有时也会与平面向量、三角恒等变换、基本不等式等结合考查，培养了学生灵活运用公式求解的能力、推理论证的能力、数学应用的意识、数形结合的思想等.
题型一 平面几何中的解三角形
例1 ［2023·全国甲卷（理）·16，5分］在△ABC中，∠BAC=60∘ ，AB=2，BC=6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题意，在△ABC中，AB=2，BC=6，∠BAC=60∘ ，由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC，解得AC=3+1.
解法一：因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，所以12AB⋅ACsin60∘=12AB⋅ADsin30∘+12AC⋅ADsin30∘ ，因此3×(3+1)=AD+3+12AD，解得AD=2.
解法二：由角平分线定理得BDDC=ABAC=23+1=3−1，又BC=6，所以BD=6−2,DC=2.设AD=x，在△ADB和△ADC中，由余弦定理的推论可得cs∠ADB=AD2+BD2−AB22AD⋅BD，cs∠ADC=AD2+DC2−AC22AD⋅DC，由于cs∠ADB+cs∠ADC=0，所以x2+(6−2)2−222⋅x⋅(6−2)+x2+(2)2−(3+1)22⋅x⋅2=0，所以x=2，故AD=2.
解法三：由角平分线定理得BDDC=ABAC=23+1=3−1，又BC=6，所以BD=6−2,DC=2，于是AD=26AB+6−26AC=33AB+(1−33)AC,则|AD|2=[33AB+(1−33)AC]2=13|AB|2+(1−33)2|AC|2+2×33×(1−33)AB⋅AC=13×4+4−233×(3+1)2+2×33×(1−33)×(3+1)=4，故|AD|=2，即AD=2.
例2 （2023· 新课标Ⅰ卷·17，10分）已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A−C)=sinB.
（1） 求sinA;
（2） 设AB=5,求AB边上的高.
【解析】
（1） ∵A+B=3C，∴π−C=3C，∴C=π4，
又2sin(A−C)=sinB=sin(A+C)，
∴2sinAcsC−2csAsinC=sinAcsC+csAsinC，∴sinAcsC=3csAsinC，
∵C=π4,∴csC=sinC=22，
∴sinA=3csA，即tanA=3，
∴0