2022年高考数学一轮复习考点练习20《解三角形的综合应用》(含答案详解)

一轮复习考点练习20《解三角形的综合应用》

一、选择题

1.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)

A.5         B.15           C.5         D.15

2.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　 　)

A.a km        B.a km       C.a km       D.2a km

3.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　 　)

A.北偏东10°          B.北偏西10°

C.南偏东80°          D.南偏西80°

4.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：

①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.

则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　)

A.①②         B.②③        C.①③         D.①②③

5.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A.10海里      B.10海里    C.20海里      D.20海里

6.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)

A.50 m         B.100 m      C.120 m         D.150 m

7.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km).AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)

A.7 km         B.8 km        C.9 km         D.6 km

8.如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是(　　)

A.5(＋)km         B.5(－)km

C.10(－)km         D.10(＋)km

9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ccos B=2a＋b，若△ABC的面积为c，则ab的最小值为(　　)

A.         B.        C.         D.3

10.如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50 m，BC=120 m，于A处测得水深AD=80 m，于B处测得水深BE=200 m，于C处测得水深CF=110 m，则∠DEF的余弦值为(　 　)

A.         B.          C.         D.

11.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　A　)

A.7 km        B.8 km         C.9 km        D.6 km

12.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是、、，则此人将(　　)

A.不能作出满足要求的三角形

B.能作出一个锐角三角形

C.能作出一个直角三角形

D.能作出一个钝角三角形

二、填空题

13.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB=90°，∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°，则P，Q两点间的距离为       m.

14.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，

则BC的长为________.

15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是          km2.

16.沿海某四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80 n mile，BC=(40＋30)n mile，CD=250 n mile，D位于A的北偏东75°方向.现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ，则sin θ=________.

0.答案解析

1.答案为：D；

解析：在△BCD中，∠CBD=180°－15°－30°=135°.

由正弦定理得=，所以BC=15.

在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=15×=15.

2.答案为：B；

解析：由题图可知，∠ACB=120°，由余弦定理，得AB2=AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB

=a2＋a2－2·a·a·=3a2，解得AB=a(km).

3.答案为：D；

解析：由条件及图可知，∠A=∠CBA=40°，又∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，

所以∠DBA=10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.

4.答案为：D；

解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离.

5.答案为：A；

解析：画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB=20海里，∠CAB=30°，

∠ABC=40°＋65°=105°，∴∠ACB=45°，

根据正弦定理得=，解得BC=10(海里).

6.答案为：A；

解析：作出示意图如图所示，设水柱高度是h m，水柱底端为C，

则在△ABC中，A=60°，AC=h，AB=100，在Rt△BCD中，BC=h，

根据余弦定理得，(h)2=h2＋1002－2·h·100·cos 60°，

即h2＋50h－5 000=0，即(h－50)(h＋100)=0，即h=50，故水柱的高度是50 m.

7.答案为：A；

解析：在△ACD中，由余弦定理得：cos D==.

在△ABC中，由余弦定理得：cos B==.

因为∠B＋∠D=180°，所以cos B＋cos D=0，即＋=0，解得AC=7.

8.答案为：C；

解析：由题意知∠BAC=60°－30°=30°，∠CBA=30°＋45°=75°，

所以∠ACB=180°－30°－75°=75°，故AC=AB，

因为AB=40×=20，所以AC=AB=20.

在△ABC中，由余弦定理得，

BC2=AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB=400＋400－2×20×20cos 30°

=400(2－)，故BC===10(－).

9.答案为：B；

解析：由正弦定理及2ccos B=2a＋b，得2sin Ccos B=2sin A＋sin B.

因为A＋B＋C=π，所以sin A=sin(B＋C)，则2sin C·cos B=2sin(B＋C)＋sin B，

即2sin B·cos C＋sin B=0，又0＜B＜π，所以sin B＞0，则cos C=－.

因为0＜C＜π，所以C=，所以sin C=，则△ABC的面积为absin C=ab=c，

即c=3ab，结合c2=a2＋b2－2ab·cos C，可得a2＋b2＋ab=9a2b2.

∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号，∴2ab＋ab≤9a2b2，即ab≥，

故ab的最小值是，故选B.

10.答案为：A；

解析：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，

则DF===10(m)，DE===130(m)，

EF===150(m).

在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF===.

11.答案为：D；

解析：在△ACD中，由余弦定理得：cosD==.

在△ABC中，由余弦定理得：cosB==.

因为∠B＋∠D=180°，所以cosB＋cosD=0，即＋=0，解得AC=7.

12.答案为：D；

解析：设三角形三边长为a，b，c.根据三角形面积相等得S=a×=c×=b×，

∴a=26S，c=10S，b=22S.由大角对大边得26S对应的角最大，

∴cos A==－＜0.

又A∈(0，π)，∴∠A为钝角，故D正确.

13.答案为：900；

解析：由已知，得∠QAB=∠PAB－∠PAQ=30°.

又∠PBA=∠PBQ=60°，∴∠AQB=30°，∴AB=BQ.

又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ=PA.

在Rt△PAB中，AP=AB·tan60°=900，故PQ=900，

∴P，Q两点间的距离为900 m.

14.答案为：8

解析：在△ABD中，设BD=x，则BA2=BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，

即142=x2＋102－2·10x·cos 60°，整理得x2－10x－96=0，解得x1=16，x2=－6(舍去).

在△BCD中，由正弦定理：=，所以BC=·sin 30°=8.

15.答案为：；

解析：如图，连接AC，由余弦定理可知AC==，

故∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠DAC=∠DCA=15°，∠ADC=150°，

=，即AD===，

故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ADC=×1×＋×2×=(km2).

16.答案为：.

解析：如图，设船行驶至F处时收到指令，为正北方向，为正南方向，

则AF=50 n mile，连接AC，CF，过A作AE⊥BC于E，

则AE=80sin 60°=40(n mile)，BE=ABcos60°=40(n mile)，

CE=BC－BE=30n mile，AC==50n mile，

cos∠ACE=，sin ∠ACE=，所以cos ∠ACD=cos(135°－∠ACE)==，

所以∠CAD=90°.

又AF=50 n mile，AC=50 n mile，所以∠AFC=60°，

所以θ=∠CFN=∠AFN－∠AFC=∠MAF－∠AFC=15°，故sin θ=.